圆的综合题必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考

圆的综合题 1．如图，在中，是边上的点．过点作交于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点D，E，F的与边另一个公共点为，连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 2．已知是的内接三角形，，，点是上一点，连接、、． (1)如图1，若为的直径，求的度数； (2)如图2，若，过点作的切线交的延长线于点，若，求的长． 3．如图，是的直径，C，D为上两点，平分，交于点E．过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：． (2)若，求的长． 4．如图，已知与相交于点，为的两条弦，连接并延长，交的延长线于点，交于点．连接，，，，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长． 5．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 6．如图，在中，，D是上的一点，且满足，以为直径的分别与相交于点E，F． (1)求证：直线是的切线． (2)连接，若，，求的长． 7．如图是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，． (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 8．如图，内接于，，，于点，点在圆上（位于异侧），，连结． (1)求证：①；②； (2)当时，求的长； (3)当时，用含有的代数式表示． 9．如图1，为的外接圆，且，点为圆外一动点，且满足，连结，交于点，交于点，连结． (1)若经过圆心，求的长； (2)求证：平分； (3)如图2，若，设，请用含的代数式表示． 10．如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点． (1)求证：是的切线； (2)当，，时，求的长． 11．如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． (1)证明：； (2)求的长； (3)若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 12．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 参考答案 1．(1)证明见解析 (2) （1）根据垂直的意义可得，从而可得，，根据同角的余角相等可得，再根据圆内接四边形的性质得出，从而可得出结论成立； （2）先根据等边对等角证得，从而可得，于是可求得再根据圆内接四边形的性质得出，结合，可证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后利用正切求得 ，从而可得，进而求得，再利用线段差求得，利用勾股定理求得，再说明是的直径，求得的半径． （1）证明：， ， ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 四边形是的内接四边形， ， 由（1）知， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， 点在上，且， 是的直径， 的半径为． 2．(1) (2) （1）解：∵， ∴， 若为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵所对圆心角是，所对圆周角是， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴， ∴，即可， 解得，（负值舍去）， ∴． 3．(1)见解析 (2) （1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 4．(1)证明见解析 (2) （1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， 由（）可知，为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．(1)直线与相切，理由见解析 (2)6 （1）解：直线与相切，理由如下： 连接，则：，    ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 6．(1)见解析 (2)2 （1）证明：过点C作于点M，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．(1) (2) (3)平行四边形，证明见解析 （1）由切线的性质得出，求出，得出，由圆周角定理可得． （2）证出，由垂径定理得出，证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出，，求出，即可得出即可； （3）根据（1）（2）得到的相关结论证明、，然后根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可解答． （1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴． （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等边三角形的相关知识是解题的关键． 8．(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 本题考查了圆的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是利用圆中弧、角的关系以及直角三角形的相关性质进行推理和计算． （1）①设，根据为的直径，得到，利用所对的圆周角相等，最后得到，从而；②连结，则，证明，得到，得到； （2）设，则，证明，得到，建立方程求解； （3）设，则，得到，再结合三角函数的定义求解． （1）证明：（1）①设， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连结，则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，，设，则， 连结，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得（舍） ∴的长为． （3）解：设，则，， ∴， ∴ 9．(1)4 (2)见解析 (3) （1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用勾股定理求解即可； （2）证法1：导角：设，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质推导出，再结合圆周角定理得到即可得出结论； 证法2：隐圆先证明是以为圆心，为半径的圆上，由圆周角定理得到，，进而得到可得结论； （3）法一：证明，利用相似三角形的判定得到，，再根据平行线分线段成比例得到，过作于点，利用等腰三角形的性质得到，再利用余弦定义求解即可； 法二：可利用三角形的角平分线性质，结合（2）中结论得到，设，则，过点作，利用等腰三角形的性质和余弦定义得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． （1）是直径， ． 在中，， 由勾股定理得：，即， ； （2）证法1：导角： 设， ， ， ， ， ， ∵． ， 又， ， 是的平分线． 证法2：隐圆 是以为圆心，为半径的圆上， 其中是圆心角，是同弧所对的圆周角 ． 而在圆中，， 是的平分线； （3）法一：， 又， 由（2）得 ． 又∵， ， ，又， ∴ ． 且 ， ， ， ， 过作于点， ， ， 在中，． 法二：平分， ， ， 设，则 过点作， ，， ， ， ， ， ． 本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用设参数推导角的关系，以及多种方法解答，体现“一题多解”的思想是解答的关键． 10．(1)见解析； (2)． 本题考查了圆周角定理，切线的判定，角所对直角边是斜边的一半，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． （1）证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(1)见详解 (2) (3) （1）连接，根据圆周角定理得出，证明，即可证明． （2）连接，利用垂径定理求得，利用相似三角形的判定和性质求得，再证明，利用勾股定理求得的长，据此求解即可； （3）用勾股定理求得的长，证明，再证明，推出，连接，推出，利用勾股定理分别求得和的长，据此即可求解． （1）证明：连接， ， ， ， ， ． （2）解：连接，分别交、于点、， ∵是的中点， ∵矩形内接于， 为的直径， ∵是弦的中点，， ∴， ∴， ∵半径为3， ∵， （3）解：∵， 连接， ∵为的直径， 又， ， ， ， ． 本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 （1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． （1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，   ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则，   ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$