特殊四边形综合必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考

特殊四边形综合 1．综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，王老师为了让同学们积累数学基本活动经验，以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学变式训练活动． 如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 【操作发现】 （1）将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图②所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，则四边形的形状是________． （2）王老师将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，，三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请同学们判断四边形的形状，并证明自己的结论． 【实践探究】 （3）王老师在（2）的基础上再次进行操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点处，与相交于点，如图④所示，连接，请同学们计算的值． 2．如图1，在矩形中，，，点E在边上运动（不与点B和点C重合），将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，过点F作于点M． (1)求证：． (2)当直线恰好经过点E时，求的长． (3)如图2，连接，试探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 3．已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． (1)如图①，当时，连接，则的长= ； (2)如图②，当边经过点B时，连接，求的长； (3)如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 4．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 5．【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 6．如图，矩形中，是边上一点，且BE，点为边上一动点，连接，过作的垂线交折线段于点．连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)点是的中点． ①如图3，当在线段上时，的最小值为_________________． ②当点从图1的位置运动到点时，点的运动路程长为_________________． 7．【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 8．如图，在矩形中，E，F分别是 上的点，沿着将四边形折叠使得点D落在上，对应线段为与交于点P． (1)如图1，求证：． (2)G是的中点． ①如图2，若，求的长． ②如图3，若点P是的中点，连接，求的值． 9．如图（1），菱形中，，点E为对角线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上． 【猜想证明】 （1）问：与有怎样的数量关系？请结合图（1）加以证明． 【探索发现】 （2）当时，如图（2），延长交的延长线于点G，求证：． 【拓展延伸】 （3）当时，如图（3），延长到点P，使得，连接，若，直接写出的周长最小时线段的长． 10．【情景导入】 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化． 在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究： 【任务分层】 (1)任务一：基础研究 如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____． (2)任务二：综合探究 ①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示） ②当时，以，为边作矩形，若，求的长． (3)任务三：创新应用 如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示） 参考答案 1．（1）菱形；（2）正方形，证明见解析；（3） 本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和平行式变形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再证，则，证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证，再证，先证明是菱形，即可得到结论； （3）先证，再求出的长，然后求出的值即可得到答案． 解：（1）是矩形的对角线， ， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）四边形是正方形，证明如下： 矩形， ， ， ， 由旋转知，， ， ， ，，三点在同一条直线上， ， 由旋转知，， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形； （3）在中，，， ， ， ， ， 根据平移可知，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 2．(1)见解析 (2) (3)存在， （1）由旋转的性质可得，．从而得出．即．又由可得结论； （2）设，则．在中，由勾股定理列出方程．解得：．最后在中，求出的长即可； （3）过点D作，交直线于点H，设交于点N，先证明．列出比例式再代入数据得．求得，，从而得出．再证明．列出比例式再代入数据得．从而得出，．最后求解即可． （1）证明：由旋转知：，． ∴． 即：． 又， ∴． （2）∵． ∴，，． 在中，． ∴． 如图，当直线恰好经过点E时，， 设，则． 在中，， 即：． 解得：． 在中，． （3）存在最小值，理由如下： 过点D作，交直线于点H，设交于点N， ∵，． ∴． ∴． 即：． ∴，， ∴． 又，． ∴． ∴． 即：． ∴，． ∴． 所以当点F与点H重合时，，使存在最小值． 本题属于四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是学会利用相似三角形的性质与判定解决问题，属于中考压轴题． 3．(1) (2) (3) （1）连接，，利用勾股定理得，结合旋转得和，即可求得答案； （2）连接，由旋转性质得，，，即可判定，得，由题意可知，进一步得，利用勾股定理得，即可求得；． （3）连接，交于点O，连接和，由矩形性质得，根据题意得是的中位线，可知点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大； （1）解：连接，，如图： ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵ ∴， ∴． （2）连接，如图， 由旋转性质得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，则， 那么，解得． （3）连接，交于点O，连接和，如图， ∵是矩形， ∴， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大，最大为：． 本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，以及动点问题，圆的基础知识，解题的关键是利用旋转找到对应关系和添加辅助线． 4．(1) (2) (3) （1）由折叠的性质得到，即四边形是“筝形”；再根据菱形的性质结合折叠的性质得到，连接，由E是的中点，得到，推出，求出，得到，即四边形是“筝形”； （2）同理（1）可证四边形是“筝形”，设，则正方形边长为，利用勾股定理求出，连接，证明是直角三角形，利用正切的定义可得，求出，勾股定理求出，即可解答； （3）延长交于点，连接，同理（1）可证四边形是“筝形”，当重合时，四边形是“筝形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此时的长． （1）解：∵四边形是菱形， ∴，即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， 即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即四边形是“筝形”； 综上，图中的“筝形”有； （2）解：同理（1）得：四边形是“筝形”， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 连接， ∵四边形是“筝形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点，连接， 同理（1）可证四边形是“筝形”， 当重合时，四边形是“筝形”， 同理（2）得是直角三角形，， ∴， ∵在矩形中，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 本题考查四边形综合题，涉及菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键． 5．（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． （1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案； （2）过点B作，且，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案； （3）过点A作，且，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可． 解：（1）如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点O是对角线上的动点， ∴当三点共线时，最短， ∴最小值为13． （2）过点B作，且，连接，，交于点G． ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴，     ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M． ∵四边形是正方形，， ∴，，．     ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴，     在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 6．(1) (2) (3)①  ② （1） 证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点作于点， 同（1）可证 根据相似三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出，即可求解； （3）①连接， 过作于， 于， 交于， 证明，得出 ，可证明，利用平行线分线段成比例可求出，根据勾股定理可得出，则，故当最小时，最小，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则转化为求的最小值，当与重合时，取最小值为6，即可求解； ②由①可知在直线上运动， 当时，运动到最低点，当运动到和在处时，运动到最高点，即最高点为最低点为，则运动的路程长为如图，延长交于，可得四边形是矩形， 则，同理①可证，根据三角形中位线定理可求出，证明， 可求出，同理证明四边形是矩形，得出然后根据线段的和差求出即可求解． （1）解： ∵矩形， ，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： 过点作于点， ， ∵四边形为矩形， ， ∴四边形、均为矩形， ， 同（1）得， ； （3）解： ①连接， 过作于， 于， 交于， 则四边形是矩形， ， ∵矩形， ， ， ∵是中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ∴当最小时， 最小， ，是中点， ， ∵当与重合时，取最小值为， ∴的最小值为3， ∴的最小值为 ， 故答案为：； ②解：由①可知在直线上运动， 当时，运动到最低点，当运动到和在处时，运动到最高点，即最高点为， 最低点为，则运动的路程长为，如图， 延长交于， 则四边形是矩形， ， 同理可证， 由（1）知， ， 是的中点， ， ， ， ， 即 ， (负值舍去)， 同理四边形是矩形， ， ， ， ∴点的运动路程长为9， 故答案为：． 本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，点的轨迹的探究等知识，明确题意，添加合适辅助线，探究处点的运动轨迹是解题的关键． 7．问题情境：，；思考尝试：，理由见解析；实践探究：；拓展迁移： 问题情境：证明，得到，进而推导出，得到，即可得到； 思考尝试：证明四边形为平行四边形，得到，由勾股定理得到，即可得到， 实践探究：过点作，并使得，证明，得到，进而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到， 拓展迁移：由作图可得，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，最小，即的长最小，由勾股定理求出，再根据即可求解． 解：问题情境：∵等腰和等腰， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 思考尝试：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 实践探究：如图3，过点作，并使得，则，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 拓展迁移：∵， ∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大， ， ∴此时最小，即的长最小， ， ， ， ， ， ， ∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为， 故答案为：． 本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆相关知识点，掌握以上知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 8．(1)证明见解析 (2)①3；② （1）由矩形和折叠的性质得到由折叠可知．再证明，据此可证明结论； （2）①由矩形的性质得到．则．由折叠的性质可得，，则，由勾股定理，得即．解得，则．      证明．解得，据此可得答案．                           ②如图，连接，延长交于点Q．设，则．证明．得到．则，．由勾股定理得，则可得到．进而可求出，证明．得到，据此可得答案． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知． ， ∴． ． （2）解；①四边形是矩形， ． G是的中点， ． 由折叠的性质可得，，则， 在中，由勾股定理，得，即． 解得， ∴．                             由（I）知， ∴． ，即， 解得． ．                           ②如图，连接，延长交于点Q． 设，则． 由折叠的性质可得， ， ∴， P是的中点， ． 又， ． ∴． ， ∴． 在中，， ∴． 在中，．            ， ． 又， ∴． ， ． 本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 9．（1），见解析；（2）见解析；（3）的周长最小时线段的长为12 （1）连接，证明，得到，，旋转，得到，等边对等角，等量代换得到，8字形得到，平行线的性质，得到，等量代换得到即可； （2）易得四边形是正方形，连接，易得，等边对等角，等角的余角相等，推出，进而得到，作交于点H，得到，，即可得证； （3） 在上截取，连接，证明，得到当的周长最小时，的周长最小，根据的周长为，得到当点N，E，C共线时，的周长最小，证明，得到，过点A作于点Q，利用三角函数求出的长，进而求出的长即可． 解：（1）． 证明：如图（1），连接，设交于点M． 四边形为菱形， ，，． 又， ， ，． ∵旋转， ， ， ， ． 又， ， ， ， ． （2）证明：四边形是菱形，由（1）可知：， 四边形是正方形， ，． 如图（2），连接，同法（1）可得：， ． 又，， ， ． 作交于点H，则，，， ∵， ， ∵，，， ∴， ． （3）如图（4），在上截取，连接． ， ， ． 又， ， 当的周长最小时，的周长也最小． 同（1）可知：， 的周长为， 当点N，E，C共线时，的周长最小，如图（5）． ， ， ， ． 过点A作于点Q，则，， ， ， ． 10．(1) (2)①；② (3) （1）解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵过点作的垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 与（1）同理可证：， ∴， 故答案为：； ②当时，以，为边作矩形， 过作，交于点，交于点，过作的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 延长与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， 解得：， ∴， 又在矩形中，， ∴， 又， ∴， 又在矩形中，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴， 与①同理可证：， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形， 当点在点时， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴； 当点在点时， 过点作于， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴对角线扫过的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$