三角形综合必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考

三角形综合 1．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 2．在中，，动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方匀速运动，速度为，连接，将沿翻折，得．设运动时间为t（s）（）．解答下列问题： (1)当四边形为菱形时，求t的值； (2)连接，，设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，以E为圆心为半径作圆E，使得圆E与相切？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 3．综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．    (1)探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 4．我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 5．在中，，D是上一点．，，连接． (1)当时，如图①，线段之间的数量关系是______； (2)当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 6．已知：在中，，，点D在边AB上，且，点E是边AC上一动点，将沿DE折叠得到，点A的对应点为点F． (1)如图1，若CD平分，DF交AC于点G． ①求证：； ②当时，求的值； (2)如图2，若点E为AC中点，且，求CD的长． 7．如图，在中，，点在边上，连接，为上一点，连接并延长交于点，已知． (1)求证：； (2)连接，若． （）如图，当为的中点时，求的值； （）请就图的情形求证：． 8．（1）阅读思考： 问题：如图1，点是等边边上一点，过点作于点，点关于的对称点为，连接，，延长交于点，探究线段与的数量关系． 小明的思路如下：由对称性可得，．由等边三角形性质知，，则，所以和的位置关系为_____①_____，有．在中有，在中有，所以和的数量关系为_____②_____． 填空：请在①和②两处填上正确的结论分别为__________、__________． （2）探究证明： 如图2，小华同学将（1）的等边改为一般的等腰，已知，．交射线于点，其它条件不变，请你猜想与的数量关系，并就图2说明理由．（结果包含） （3）解决问题： 如图3，在四边形中中，对角线平分，，，，，点是射线上一点，过点作，分别交射线，于点，，连接．若时，直接写出的长．    9．综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别交于点．再将该纸片沿所在直线折叠，使点的对应点落在的延长线上，折痕分别交于点，如图2所示，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若为的中点，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点的对应点落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 10．综合与实践 问题提出： （1）如图①，在中，，，在内作正方形，其中点在边上，点在边上，点，在边上，设线段的长为，的面积为，求与之间的函数关系式． 问题解决： （2）如图②．某公园有一块五边形空地，政府规划提升林荫设计，让公园更遮荫，又结合地域文化需要设计遮阳棚，经过勘测，得到，，米，，根据当地文化需求，将遮阳棚的形状设计为三角形，且的顶点，，分别在边，，上，为的中点，．为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可能大．请问：是否存在符合设计要求的面积最大的？若存在，求出的最大面积；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1)见解析 (2)①见解析；② （1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． （1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 本题考查的是菱形的性质、解直角三角形、直线和圆的位置关系及列函数关系式， （1）根据菱形性质得出，根据列方程解出即可； （2）过E点作于F，先求出，根据求出，进而列出关系式； （3）假设存在，过点E做于点M，得出，求出，当圆E与相切时，，进而列方程解决． （1）解：当四边形为菱形时，连接交于点O， 则， 在中，， ， 由题意得， ∴， ∴ ∴，即， 解得：； （2）解：过E点作于F，由轴对称得：垂直平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：假设存在，过点E做于点M，由题意得：四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 当圆E与相切时，， ∴， 解得， ∵， ∴不存在以E为圆心为半径的圆E与相切． 3．(1) (2) (3) 本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． （1）解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； （3）解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴．    4．（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） （1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． 5．(1) (2)图②结论：，图③结论：，证明见解析 本题主要考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）根据，，得，由，即知，从而，有，故； （2）①如图，过点E作交的延长线于点，求出，由可得结论；②如图，过点E作交于点，方法同① （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点E作交的延长线于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵, ∴, ∴, ∴ ②如图，过点E作交于点， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 6．(1)①见解析，②； (2) （1）①证明即可得到，再结合角平分线可得，即可得到； ②由翻折可得DF=AD=5，∠F=∠A，由EF∥CD，可得∠F=∠FDC，∠FEC=∠ACD，即可得到GF=GE，GC=GD，即CE=DF=CD=5，再根据△ABC∽△CBD，得AC=7.5，进而可以解决问题； （2）E为AC中点，且可得F是BC中点，根据DF=AD=5、BD=4、BF=3即可得到∠B=90°，根据勾股定理即可求出CD的长． （1）①∵，， ， ∴， ∴， ∴． ∵CD平分， ∴， ∴． ②∵， ， ∴． 由翻折得：DF=AD=5，∠F=∠A． ∵EF∥CD， ∴∠F=∠FDC，∠FEC=∠ACD， ∵， ∴． ∴GF=GE，GC=GD， ∴GF+GD=GE+GC． 即CE=DF=CD=5， ∵， ∴，即． 解得AC=7.5， ∴AE=AC-CE=2.5． ∴； （2）∵E为AC中点，且， ∴． ∴． ∵AD=DF=5，BD=4， ∴． ∴∠B=90°． ∴． 本题考查了相似三角形的判定与性质、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是证明△ABC∽△CBD． 7．(1)见解析 (2)（i）；（ii）见解析 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）（i）过点作交延长线于点，则，，得到，，设，则，，则，由（1）可得：，，再由勾股定理逆定理求解即可； （ii）在上取点，使，连接，过点作的平行线交延长线于点，先证明，由得到，导角证明，由相似得到，设，则，则，再由等边对等角结合三角形的外角即可证明． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（）解：∵点为的中点， ∴， 过点作交延长线于点， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （ii）证明：在上取点，使，连接，过点作的平行线交延长线于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴． 8．（1），（2），理由见解析（3）或 （1）根据对称性可得，，根据等边三角形的性质可得，结合平行线的判定和性质可得，根据含角的直角三角形的性质，正弦值的计算方法即可求解； （2）根据对称性可得，根等腰三角形的性质可得，根据平行线的判定和性质可得，在，中，根据正弦值的计算方法即可求解； （3）根据分两种情况，第一种，点在线段上；第二种，点在外，结合（1），（2）的证明方法即可求解． 解：（1）∵点关于的对称点为， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，则， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下， ∵，点关于的对称点为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （3），对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵过点作， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴分两种情况讨论： 第一种情况，点在线段上，    根据（2）中的结论可得，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在线段外，，过点作于点，      由上述证明可得，， ∴，， ∴四边形是矩形，即， 已知，，，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形的综合，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 9．（1）四边形是矩形，见解析；（2），见解析；（3）面积的最大值为6， （1）由折叠的性质，得，结合，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由（1），知四边形是矩形，证明，推出，由折叠的性质，得，，证明即可得出结论； （3）先求出，设，则．易得，则，求出，即可得到，根据二次函数的性质即可解答． （1）解：四边形是矩形． 理由：由折叠的性质，得． 又， 四边形是矩形； （2）解：，， 理由：如解图，连接． 由（1），知四边形是矩形，则． 为的中点， ． ． ． 由折叠的性质，得． ． ． ． 又， ． ． ． ，． （3）解：如图， ， ， 由（1）知四边形是矩形， 设， ∴，， ∴， ∴， ． ． ， 当时，的最大值为6， 此时． 本题考查折叠的性质，矩形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 10．（1）；（2）存在，平方米 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握特殊角的三角函数值和二次函数的性质是解题关键． （1）根据正方形，，从而根据三角形面积公式列函数关系式； （2）过点作，过点作，过点作，过点作，过点作，过点作，结合特殊角的三角函数值和割补法求得三角形面积，从而利用二次函数的性质分析其最值． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∵在中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴，即与之间的函数关系式为． （2）存在． 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则．则四边形是矩形， 在中，∵，米， ∴，（米）， （米）． ∵在五边形中，， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，米． ∵米， ∴米，∴米． 设米． ∵， ∴． 在中，∵， ∴（米），（米）． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在中，∵（米）， ∴（米）， （米）． ∵四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）． ∵米， ∴， ∴， ∴米，米，米，米． ∵，， ∴是等边三角形． 设米． ∵， ∴（米），． 在中，∵， ∴（米）． 设与交于点， 则，，米． 又∵为的中点， ∴是的中位线， ∴（米），（米）， ∴米，米， ∴米． ∵，， ∴ 平方米， （平方米）． ∵米， ∴ 平方米， ∴ ． ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 答：存在符合设计要求的面积最大的，的最大面积为平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $$