二次函数综合-面积问题必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数综合--面积问题 1．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图：抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，若点P是线段上的一动点（不与A、B重合），分别以为一边，在直线的同侧作等边三角形和，连接相交于点E，连接．回答以下问题 (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)求三角形的最大面积，并写出此时点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且． （ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值． （ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值． 5．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，抛物线的对称轴交x轴于点F，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在第一象限抛物线对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点D，设点P的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，过点作轴于点，连接，点为线段的中点，过点作轴的平行线交于点，点为线段上一点，连接，若，求点的坐标． 6．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 7．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 12．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 参考答案 1．(1) (2)①面积的最大值为3，此时；②存在， （1）解：， ， 将代入， 解这个方程组，得， ∴此抛物线的解析式：； （2）①设，则 ， ， ， ， ∴当时，面积的最大值为3，此时； ②存在，．理由如下： ， ， ， ， ， 解析式为， 联立 解得（不合题意，舍去），， ． 2．(1) (2) (3)存在，或 （1）解：抛物线经过两点， ，解得， 抛物线的解析式为， （2）如图，作轴交直线于点， 直线经过两点， ，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， ， 当时，面积有最大值，最大值是； （3）存在，理由如下： ， 抛物线的顶点的坐标为， 轴， ， ， ①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：，舍去， ； ②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：或舍去， ， 综上可得点的坐标为或． 3．(1) (2) (3)， （1）解：由题意把点代入， 得，，解得， 抛物线解析式为：． （2）解：∵与为等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ∴， ． （3）解：如图，过点M作轴于点G，过点N作轴于点H， 令代入中，解得， ，则, ∵， ∴ 设，则， ∵是等边三角形，， ∴,, ∴ 同理：， ， ， 当时，S有最大值是, 的最大面积是，此时点P的坐标是． 4．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） （1）解：由题意得，，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：（ⅰ）如图1，设， 直线的函数表达式为． ∵直线经过，， ∴． ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为． （ⅱ）如图2， ∵，，即． ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 解得． 5．(1) (2) (3) （1）解：∵抛物线的对称轴交x轴于点F， ∴对称轴为直线，， ∴当时，，即， ∴， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作于， ∵抛物线的解析式为，点P的横坐标为， ∴设，直线的解析式为， ∴，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴当时，，即， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作轴于，延长交轴于，连接， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，，直线的解析式为， ∵点为线段的中点， ∴， ∴当时，，即， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6．(1)， (2) (3) 解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解． （1）解：延长交轴于， ，， ，， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由折叠得 ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故（）； （3）解：①当时，如图， 此时折叠该纸片后与重叠部分为， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述：． 本题考查了折叠的性质，二次函数的综合应用，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握折叠的性质，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 7．(1) (2)存在，最大值是6 (3)存在，或 （1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则 ，根据抛物线的性质解答即可． (3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． （1）解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 8．(1) (2)9.5 (3)存在， （1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据扫过区域的面积为，求解即可； （3）当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． （1）解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． 由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和， 即； （3）解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ∴． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 9．(1)； (2)该矩形周长的最大值是； (3)存在，点坐标为或或． （1）由函数图象顶点坐标设函数解析式为，再将点坐标代入即可求出函数解析式； （2）由该二次函数的对称轴是，设点的坐标为，点，结合矩形周长的计算公式表示出周长关于的函数解析式后，根据二次函数的最值即可得解； （3）由题意得，当矩形周长最大时，点与点重合，求出的面积及直线解析式，设点坐标为，过作垂直于轴，交于点，则，结合图象可得，再解方程即可得到点的横坐标，从而得到点的坐标． （1）解：设解析式为， 抛物线经过，代入上式得：， 二次函数表达式为：，或． （2）解：依题得：该二次函数的对称轴是， 设点的坐标为，则点， 则，， 矩形的周长， ， ， ， 当时，周长有最大值，最大值为． （3）解：点坐标为：或或． 二次函数表达式为， ， 当矩形周长最大时，点与点重合， 又此时的面积是矩形面积的， ， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 设点坐标为， 过作垂直于轴，交于点，则， ， 则， 即：， 解得，，， 故点坐标为：或或． 本题考查的知识点是待定系数法求解析式、的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、解一元二次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 10．(1) (2)点P的坐标为或； (3)或与抛物线没有公共点 （1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． （1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则， 解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则， 解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， 整理得：， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则， 解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 11．(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 （1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． （1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 12．(1)， (2)的最大值的， (3)或 （1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，， ∴， 解得：， ∴， 当时，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为，点的坐标为； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交轴于点，设， 则点的横坐标为． 设直线的解析式为，过点，， ∴，，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，且点的横坐标为， ∴将代入，得：， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴开口朝下且， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∵原抛物线为：， ∴向左平移个单位后为：， 当时，得：， ∴， 当点在下方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点在的上方时， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（不合题意舍去）或， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$