广东省2024-2025学年下学期九年级学情数学质量检查5　

2024-2025学年第二学期广东九年级下册学情数学质量检查5 数 学 说明： 1．全卷共6页，满分120分．测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、准考证号、姓名、考场号、座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选选项． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（   ） A．100° B．135° C．155° D．165° 5．某班10名学生的身高（单位：cm）为：160，165，170，172，175，175，175，180，182，185．描述这组数据的统计量中，能反映大多数学生身高的是（   ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 6．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 7．如图,空心卷筒纸的高度为12cm,外径(直径)为10cm,内径(直径)为4cm,在比例尺为1∶4的三视图中,其主视图的面积是(　　) A． cm2 B． cm2 C．30cm2 D．7．5cm2 8．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0），将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，则b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．“燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 12．因式分解： ． 13．不等式的解集是 ． 14．如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则劣弧的长＝ ． 15．在矩形中，，，平分，连接交于，则 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．计算：． 17．已知，求代数式的值． 18．中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．“世界水日”，月日至日是第三十七届“中国水周”．某学校积极响应“世界水日•中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．小组在甲，乙两个小区各随机抽取户居民，统计其月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息． 信息一： 甲小区月份用水量频数分布表 用水量 频数（户） 信息二：甲，乙两小区月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 中位数 信息三：乙小区月份用水量在第三组的数据为： 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较的大小，并说明理由； (3)若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，估计两个小区月份用水量不低于的总户数； (4)因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取1名同学加入小组，已知小组有名男生和名女生，小组有名男生和名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 20．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． (1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ (2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 21．如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明． （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：． 【深入研究】若，直接写出的值． 23．已知二次函数的图象为抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用表示）； （2）若，在抛物线上， ①若，求证：． ②若抛物线经过，且，，对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为_______． ③若对于任意的，，总有，则的取值范围是_______． 参考答案 1．【答案】B 【详解】解：实数的相反数是：． 故此题答案为B． 2．【答案】C 【分析】根据合并同类项的法则，进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误； B、不能合并，原选项计算错误； C、，正确； D、，原选项计算错误； 故此题答案为C． 3．【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确； C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误； D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误， 故此题答案为B． 4．【答案】D 【分析】作，利用平行线的性质结合三角板的性质求得和的度数，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为D． 5．【答案】C 【分析】根据平均数，中位数和众数反映数据的集中程度，方差反映数据的离散程度，平均数受极端值影响，中位数表示一组数据中等水平，众数表示一组数据的多数水平，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，能反映大多数学生身高的是众数； 故选C． 6．【答案】D 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故此题答案为D． 7．【答案】D 【详解】 故选D． 8．【答案】D 【分析】由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选D． 9．【答案】C． 【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得C的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝x+b即可求得b的值． 【详解】解：∵直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A， ∴解x＝求得x＝±2， ∴A的横坐标为2， ∵OA＝3BC， ∴C的横坐标为1， 把x＝1代入y＝得，y＝4， ∴C（1，8）， ∵将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y＝x+b， ∴把C的坐标代入得4＝1+b，求得b＝7， 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 10．【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴， ∴，， ∴反比例函数的图象必在一、三象限， 一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意． 故此题答案为C． 11．【答案】 【分析】根据科学记数法的表示形式直接求解即可． 【详解】解：. 【方法技巧】科学记数法的表示： 一个数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当这个数的绝对值比10大时，n为正整数，n的值比这个数的整数位数小1；当这个数的绝对值比1小时，n为负整数，|n|就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的零). 12．【答案】 【分析】 根据提公因式法可进行求解． 【详解】解：原式 13．【答案】/ 【分析】先去分母，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，求出来不行式的解集即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得： 14．【答案】πcm． 【分析】 连接OC、OE，作AD⊥BC于D，作OF⊥AC于F，根据正弦的定义求出AD，根据切线的性质得到OC⊥BC，然后求出劣弧所对的圆心角及⊙O的半径，再利用弧长公式计算即可． 【详解】 解：连接OC、OE，作AD⊥BC于D，作OF⊥AC于F， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝AB•sin60°＝， ∵BC为⊙O的切线， ∴OC⊥BC， ∴∠OCE＝90°﹣60°＝30°，OC＝OE＝， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠COE＝180°－30°－30°＝120°， ∴劣弧的长＝＝π， 故答案为：πcm． 【点睛】 本题考查的是三角函数的应用、切线的性质、弧长的计算等，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15．【答案】/ 【分析】延长交的延长线于，根据矩形的性质得到，得到，推出，根据勾股定理得到，求得，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】延长交的延长线于， 四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 16．【答案】 【分析】先进行特殊角的三角函数值，零指数幂和二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17．【答案】 【分析】先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，再求出，据此把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 18．【答案】11.5尺 【分析】利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺． ∴，即(尺)， ∵， ∴，即(尺)， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为(尺)． 答：春分和秋分时日影长度11.5尺． 19．【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)户； (4)． 【分析】（）根据中位数的定义进行计算即可求解； （）根据题意分别求出月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可求解； （）用甲、乙小区的用户数分别乘以用水量不低于的占比，再相加即可求解； （）画树状图，根据树状图即可求解； 【详解】（1）解：∵随机抽取了户居民，故中位数是数据从小到大排列的第个和第个的平均数， 根据频数分布直方图可知：用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户， 故中位数是在第三组中，且是第三组中第个和第个的平均数， ∵乙小区月份用水量在第三组的数据为：， ∴乙小区月份用水量的中位数是， ∴ （2）解：，理由如下： 在甲小区抽取的用户中，月份用水量的平均数为，低于本小区平均用水量的户数户， ∴在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为， 在乙小区抽取的用户中，月份用水量的平均数为，低于本小区平均用水量的户数为户， ∴在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区 平均用水量的户数所占百分比为， ∵， ∴； （3）解：户， 答：估计两个小区月份用水量不低于的总户数为户； （4）解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率为． 20．【答案】(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份 (2)购买牛肉面60份 【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果； （2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份， 由题意知，， 解得，， ∴， ∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份； （2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份， 由题意知，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴购买牛肉面60份． 21．【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，由为的直径，得到，由为的切线，得到，根据点D为弧的中点，得到，再得到，即可得出结论； （2）连接，，即，再得到，证明，得到，即，求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵点D为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 22．【答案】[操作判断]；[ 探究证明]（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；[深入研究] 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [ 探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形； （2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 结合 [ 探究证明]（1）中，，根据勾股定理可求出，由[ 探究证明]（2）知：，则，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [ 探究证明] （1）解：是等腰直角三角形 理由：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：由[ 探究证明]（1）知：，， ∴， 由[ 探究证明]（2）知：， ∴， 由[ 探究证明]（1）知：， ∴， 由翻折得， 又， ∴， ∴，即， 解得． 23．【答案】（1） （2）①见详解；②2；③或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）①由题意可得：，，表示出，结合二次函数的性质即可得解；②求出抛物线的解析式为；从而可得，，求出，令，则，求出，求出当时对应，此时，求出当，时，、的值，计算即可得解；③由①可得，抛物线的对称轴为直线，结合题意得出，求出，得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：①∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵，在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 令，则， ∴， ∵对于某一个实数，若的最小值为1， ∴当时，，解得，此时对应，， 当，时，则，， 解得：或，或， ∴的最大值为； ③由①可得，抛物线的对称轴为直线， ∵对于任意的，，总有， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得：或， 综上所述，的取值范围为：或． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$