暑假作业07 二元一次方程组的解法（要点梳理+9大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二元一次方程组的解法 要点一、二元一次方程组的相关概念 （1）二元一次方程：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解. （3）二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. （4）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点二、二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程组的思想： （2）解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 · 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； 将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出（或）的值； 把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； 用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. · 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； 将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点三、三元一次方程组 （1）定义：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. （2）三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： 利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、二元一次方程的定义 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解决问题的关键是正确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义进行判定即可． 【详解】A，，y的指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． B，是三元一次方程，故此选项不符合题意． C，是二元一次方程，故此选项符合题意． D，，指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．若关于的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 3．已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 4．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的系数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴． 题型二、二元一次方程的解 5．下列各组，的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．将选项中的，值代入方程中，等式成立的就是方程的解，反之，不是方程的解． 【详解】解：A、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意； B、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意； C、当时，是方程的解，故本选项符合题意； D、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意， 故选：C． 6．已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解，代入计算是关键． 根据题意，把方程的解代入得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是二元一次方程的解， ∴， ∵， ∴原式， 故选：C ． 7．把方程写成用含的式子表示的形式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，将看作已知数求出即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于a的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：2． 题型三、已知二元一次方程组的解求参数 9．已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 10．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 11．已知方程组的解满足x，y互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，先根据方程组整理得，再结合x，y互为相反数，列式求解即可得到值．本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， x，y互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 12．已知关于的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用加减消元法把方程组变形为，得到，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解∶ 得， ， ， ， ， 故答案为：． 13．若关于、的方程组的解与相等，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得：，根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型四、代入消元法 14．用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组利用代入消元法变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得：， 故选：B． 15．解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 【详解】解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 16．把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 17．用代入法解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入法的计算是关键． （1）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解； （2）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解； （3）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解； （4）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解． 【详解】（1）解： 把①代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解： ①变形得，， 把③代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； （3）解： 把①代入②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为； （4）解： ①变形得，， 把③代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为． 题型五、加减消元法 18．已知方程组，则的值是（　　） A．5 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了特殊法解二元一次方程组，理解方程的特征及所求式子与方程组的关系是解题的关键．根据方程组的特征，利用加减法即可得到答案． 【详解】解：， ①②得， ∴ 故选：A． 19．当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，通过判断所解的、值是否相等即可得出原来多项式，即可判断哪个是否正确，所以此题的关键是要掌握解二元一次方程组．解组成的各个方程组，根据方程组的解逐个判断即可． 【详解】解：当分别等于3、5时，代数式的值是5、11， 代入得：， 解得：； 当分别等于5、7时，代数式的值是11、17， 代入得：， 解得：； ∴当分别等于3、5、7时，多项式的值分别为5，11，17， 而当时，多项式的值为， 当时，错误， 故选：A． 20．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，先根据两个方程组的解相同得新的方程组，根据一个方程组求出相同的解，再代入求出的和． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴方程组和方程组也有相同的解， 解方程组，得， 方程组的①②，得即， 当时，， ∴． 故答案为：． 21．用适当方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得③， 将③代入①得，， 原二元一次方程组的解为； （2）解： ①④得，③， ②得，④， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 原二元一次方程组的解为． 题型六、二元一次方程组的特殊解法 22．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把方程组变形为，再根据方程组的解为进行求解即可． 【详解】解：将方程组变形得 ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 23．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 24．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，仔细阅读题目信息，理清方程组求解的方法思路是解题的关键． （1）根据题目信息，两个方程相减求出的值，然后再利用加减消元法求解； （2）根据题目信息以及（1）的结论猜想方程组的解． 【详解】（1）解：， ①②得，， 所以，③， 将③，得④， ②④，得， 把代入③得，， 方程组的解是； （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：， ①②得，， 所以，③， 将③，得④， ②④，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 题型七、二元一次方程组的错解复原问题 25．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 26．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（  ） A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，虽然看错了c，但题中两组解都符合方程①，代入方程①可得到一个关于a和b的二元一次方程组，用适当的方法解答即可求出a和b，至于c，可把正确结果代入方程②，直接求解即可，熟练掌握解方程组的方法是解决此题的关键． 【详解】把和分别代入，得， 得：， 将代入①解得：， 把代入得：， ∴， 故选：B． 27．甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组及二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，． 故答案为：，． 28．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及负指数幂、零次幂，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴． 29．对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值． 【详解】解：方程组为． 由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解， 则有，解之，得． 又因方程组的解是， 所以，， 解得，． 故所求方程组为． 题型八、同解方程组 30．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 31．已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴； 故选：D． 32．已知方程组和方程组的解相同，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：联立得：， 得：，即， 把代入①得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 则， 故答案为：0． 33．关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组．根据同解方程组可得方程组，可求出，再带入，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴， 解得：， 把代入，得： ， 解得：． 34．已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在． （1）根据二元一次方程组的解的定义进行解答即可； （2）根据方程解的定义得到二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：因为关于x，y的方程组与方程组有相同的解， 所以这两个方程组的解也是方程组的解， 解得； （2）把分别代入方程与方程，得 解得 题型九、三元一次方程组 35．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法． 三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：方程组， 三个方程相加得：， ∴， 故选：A． 36．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程组的求解，解题的关键是运用合适的消元方法化简方程组。 （1）通过去分母等操作化简后消元求解； （2）三元一次方程组通过方程间的加减消元逐步化为二元一次方程组再求解。 【详解】（1）解：， ，得：， ③， ，得：， 将代入③，得：， 解得：， 故方程组的解为； （2）解： 得：， 得：， ， 得：， 解得：， 将代入④得：； 将代入③得：， 则方程组的解为． 37．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）把③代入②得，再把，代入①得，即可得到方程组的解； （2）①×2－②×3得，把代入①得到，即可得到方程组的解． 【详解】（1）解： 把③代入②得，， 解得， 把，代入①得，， 解得， ∴ （2） ①×2－②×3得，， 把代入①得，， 解得， ∴ 1．下列四对数值，哪对是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把各个选项中的x、y的值代入原方程，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是二元一次方程的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是二元一次方程的解，不符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是二元一次方程的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，故是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 2．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组两方程左右两边相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得：， 整理得：， 代入得：， 解得：． 故选：B． 3．已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程求出的值即可判断①；把代入方程组，两方程相加求出的值可判断②；把两方程相加求出，进而代入求出的值即可判断③；解方程组求出方程组的解，再求出的值即可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①把代入，得， ∴，故①正确； ②当时，方程组为， ，得， ∴，即的值互为相反数，故②正确； ③， ，得， ∴， 若，则， ∴，故③正确； ④解方程组，得， ∴， ∴的值与的值无关，故④正确； 综上，结论正确的是①②③④， 故选：． 4．若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【答案】0 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且，且， ∴， ∴； 故答案为：0． 5．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解定义是解题的关键，注意整体思想的运用．根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，即可得到，再整体代入即可求得． 【详解】解：把代入二元一次方程，得， ∴． 故答案为：． 6．如果方程组和解的相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组解的定义，转化为关于的方程组，求出即可解决问题． 【详解】解：由题意得，， 解得， ， 解得，， ． 故答案为：． 7．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 先利用等式的基本性质把方程组变形为：，然后根据已知条件，列出关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：方程组变形为：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴方程组的解为， 由①得：， 由②得：， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 8．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是关键． （1）运用代入消元法计算即可； （2）运用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 9．解下列二元一次方程组 (1)（代入法） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）利用代入消元法解方程组的步骤求解即可； （2）先将原方程组整理为，再由加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 由②得， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：把方程组整理为：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴方程组的解为： 10．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 1．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 2．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二元一次方程组的解法 要点一、二元一次方程组的相关概念 （1）二元一次方程：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解. （3）二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. （4）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点二、二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程组的思想： （2）解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 · 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； 将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出（或）的值； 把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； 用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. · 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； 将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点三、三元一次方程组 （1）定义：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. （2）三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： 利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、二元一次方程的定义 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 3．已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 4．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 题型二、二元一次方程的解 5．下列各组，的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 6．已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C． D．7 7．把方程写成用含的式子表示的形式为 ． 8．是方程的解，则 ． 题型三、已知二元一次方程组的解求参数 9．已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 11．已知方程组的解满足x，y互为相反数，则 ． 12．已知关于的方程组，若，则的值为 ． 13．若关于、的方程组的解与相等，求的值． 题型四、代入消元法 14．用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（   ） A． B． C． D． 15．解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 16．把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 17．用代入法解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 题型五、加减消元法 18．已知方程组，则的值是（　　） A．5 B．1 C．0 D． 19．当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 20．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为 ． 21．用适当方法解下列方程组 (1) (2) 题型六、二元一次方程组的特殊解法 22．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 23．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 24．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由． 题型七、二元一次方程组的错解复原问题 25．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（  ） A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，， 27．甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 28．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 29．对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 题型八、同解方程组 30．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 32．已知方程组和方程组的解相同，则 ． 33．关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 34．已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 题型九、三元一次方程组 35．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．解方程组： (1) (2) 37．解下列方程组： (1)； (2)． 1．下列四对数值，哪对是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 2．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 5．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 6．如果方程组和解的相同，则 ． 7．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 8．解方程组： (1)； (2)． 9．解下列二元一次方程组 (1)（代入法） (2) 10．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 1．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 2．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$