专题02 函数及其图象-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题02 函数及其图象思维导图 核心考点聚焦 1. 变量与函数 2. 函数的图象 3. 一次函数 4. 反比例函数 5. 实践与探索 一、变量与函数 1.函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2.自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数；函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数；函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3.函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。 二、平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标的特征： （1）点P（x，y）在第一象限，x>0，y>0。 （2）点P（x，y）在第二象限，x<0，y>0。 （3）点P（x，y）在第三象限，x<0，y<0。 （4）点P（x，y）在第四象限，x>0，y<0。 2.坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点P（x，y）在x轴上，x为任意实数，y=0。 （2）点P（x，y）在y轴上，x=0，y为任意实数。 3.关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）。 （2）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。 （3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。 4.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： （1）点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上，x=y。 （2）点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上，x+y=0。 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。 6.点到坐标轴及原点的距离： （1）点P（x，y）到x轴的距离为|y|。 （2）点P（x，y）到y轴的距离为|x|。 （3）点P（x，y）到原点的距离为。 三、函数的图像 函数图像上的点与其解析式的关系： 1.函数图像上任意一点P（x，y）中的x、y满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值（x，y）都在函数的图像上。 2.判断点P（x，y）是否在函数图像上的方法：将这个点的坐标（x，y）代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么这个点就不在函数的图像上。 四、一次函数 1.一次函数的定义：含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y=kx+b（其中k和b为常数，k≠0）叫做一次函数。 2.正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx（其中k≠0），这样的函数叫做正比例函数。 3.一次函数的图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b；正比例函数y=kx的图像也是一条直线，称为直线y=kx。 4.一次函数的性质： （1）正比例函数的性质：当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升；当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。 （2）一次函数y=kx+b的性质：当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小；当b>0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交；当b<0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。 五、一次函数的应用 1.解决实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意。 （2）找出等量关系：分析题目中数量之间的关系，建立数学模型。 （3）设未知数：用字母表示题目中的未知数。 （4）列出函数关系式：根据题目中给出的条件列出函数关系式。 （5）找出自变量的取值范围：根据题目中给出的实际情况找出自变量的取值范围。 （6）求值：根据自变量的取值和函数关系式求出函数值。 2.分段函数：在实际问题中，有时需要根据不同的条件求出不同的函数关系式，这样的函数通常叫做分段函数。 六、二元一次方程组与一次函数 1.二元一次方程组的图像解法：利用二元一次方程组的解和一次函数图像的关系，将方程组的解转化为求两直线的交点坐标。 2.利用一次函数图像求二元一次方程组的近似解：先画出一次函数的图像，找出两直线的交点，交点的坐标即为方程组的近似解。 七、反比例函数 1.反比例函数的定义：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 2.反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限，当k<0时，图像位于第二、四象限。 3.反比例函数的性质：当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。 难点强化一、从函数图象获取信息 1．小贤向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：s）的函数关系图象如图所示，选项中是各种水壶的主视图，则小贤使用的水壶的形状大致是（    ） A． B． C． D． 2．函数（是常数）的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 难点强化二、几何与函数图象结合 1．如图1，在中，，点从顶点出发，沿过点的某条射线运动到上的一点处，再从该点沿方向运动到顶点．设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．12 B．13 C．17 D．18 2．如图，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，为对角线，一动点从点出发，沿的路径运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，，随变化的函数图象如图，则的长为（   ） A． B． C． D． 难点强化三、一次函数与反比例函数中的最值问题 1．如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．5 2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是 ． 3．【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】 小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________． （2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】 （3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 难点强化四、一次函数与反比例函数中的解决应用 1．无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 48 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (2)现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 2．上部是圆柱形，下部是近似圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为．先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体（单位：）和液体下降高度（单位：），部分数据如下： (1)将表格补全（结果保留小数点后一位）； 0 100 160 200 300 350 400 450 500 0 1.5 2.4 4.5 5.3 6.3 7.8 13.5 (2)通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则______（填“”“”或“”）； ②如图2，两个该种型号的漏斗A和B，它们的底部出液口开关均已关闭，A装满液体，B是空的．先将A中的一部分液体倒入B中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上．此时，A和B的出液口距离桌面的高度均为，A的液面距离桌面的高度为，则B的液面距离桌面的高度约为______（结果保留小数点后一位）． 3．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 难点强化五、一次函数与反比例函数中的特殊三角形 1．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 2．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 难点强化六、一次函数与反比例函数中的特殊四边形 1．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 2．如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：点在反比例函数的图象上； (3)点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标． 3．如图，已知四点都在反比例函数 的图象上，且线段都过原点O，连接． (1)四边形的形状是 ． (2)已知， ①点 C 的坐标为 ； ②若四边形 是矩形，求四边形的面积． 难点强化七、一次函数与反比例函数中的角度问题 1．如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式． (2)点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 2．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接． (1)请写出的解析式和B、C点坐标． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出的面积； ②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式． 3．如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）． (1)连接，，求的度数． (2)若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 难点强化八、一次函数与反比例函数中的定值与不变问题 1．如图：已知在直角坐标系中，点A坐标，点B坐标． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，求证； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； (3)如图2，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点（不与重合），，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 难点强化九、一次函数与反比例函数中的新定义 1．在平面直角坐标系中，对于任意三个点、、我们给出如下定义：“横长”是指三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”是指三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三个点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点． 例如点，，，则、、三点的“横长”，“纵长”，因为，所以、、三点为正方点． 已知：点， (1)在点，，中，能与点、为正方点的是___； (2)点为轴上一动点，若、、三点为正方点，则的值为___； (3)点坐标是，其中，动点满足：点、、三点是横、纵长都为的正方点，请在图②中画出所有符合条件的点组成的图形． 2．定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图15-1，轴，轴，________； （2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 3．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 难点强化十、一次函数与反比例函数中的绝对值 1．问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 2．某数学兴趣小组想探究函数的图象与性质． (1)根据绝对值的意义将函数F的解析式化简： 当时，函数解析式为________， 当时，函数解析式为________； (2)在下边的平面直角坐标系中直接画出函数F的图象； (3)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线（m为常数）与y轴交于点C． ①若直线l与函数F的图象交于P，Q两点（P在Q左侧），且，求m的值； ②若直线l与函数F的图象恰有一个公共点，直接写出m的取值范围________． 3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，_________，_________． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为_________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 真题感知 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 5．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 6．（2024·四川内江·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ； 7．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 9．（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．    10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 11．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 (1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； (2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 12．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数及其图象思维导图 核心考点聚焦 1. 变量与函数 2. 函数的图象 3. 一次函数 4. 反比例函数 5. 实践与探索 一、变量与函数 1.函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2.自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数；函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数；函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3.函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。 二、平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标的特征： （1）点P（x，y）在第一象限，x>0，y>0。 （2）点P（x，y）在第二象限，x<0，y>0。 （3）点P（x，y）在第三象限，x<0，y<0。 （4）点P（x，y）在第四象限，x>0，y<0。 2.坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点P（x，y）在x轴上，x为任意实数，y=0。 （2）点P（x，y）在y轴上，x=0，y为任意实数。 3.关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）。 （2）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。 （3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。 4.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： （1）点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上，x=y。 （2）点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上，x+y=0。 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。 6.点到坐标轴及原点的距离： （1）点P（x，y）到x轴的距离为|y|。 （2）点P（x，y）到y轴的距离为|x|。 （3）点P（x，y）到原点的距离为。 三、函数的图像 函数图像上的点与其解析式的关系： 1.函数图像上任意一点P（x，y）中的x、y满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值（x，y）都在函数的图像上。 2.判断点P（x，y）是否在函数图像上的方法：将这个点的坐标（x，y）代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么这个点就不在函数的图像上。 四、一次函数 1.一次函数的定义：含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y=kx+b（其中k和b为常数，k≠0）叫做一次函数。 2.正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx（其中k≠0），这样的函数叫做正比例函数。 3.一次函数的图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b；正比例函数y=kx的图像也是一条直线，称为直线y=kx。 4.一次函数的性质： （1）正比例函数的性质：当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升；当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。 （2）一次函数y=kx+b的性质：当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小；当b>0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交；当b<0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。 五、一次函数的应用 1.解决实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意。 （2）找出等量关系：分析题目中数量之间的关系，建立数学模型。 （3）设未知数：用字母表示题目中的未知数。 （4）列出函数关系式：根据题目中给出的条件列出函数关系式。 （5）找出自变量的取值范围：根据题目中给出的实际情况找出自变量的取值范围。 （6）求值：根据自变量的取值和函数关系式求出函数值。 2.分段函数：在实际问题中，有时需要根据不同的条件求出不同的函数关系式，这样的函数通常叫做分段函数。 六、二元一次方程组与一次函数 1.二元一次方程组的图像解法：利用二元一次方程组的解和一次函数图像的关系，将方程组的解转化为求两直线的交点坐标。 2.利用一次函数图像求二元一次方程组的近似解：先画出一次函数的图像，找出两直线的交点，交点的坐标即为方程组的近似解。 七、反比例函数 1.反比例函数的定义：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 2.反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限，当k<0时，图像位于第二、四象限。 3.反比例函数的性质：当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。 难点强化一、从函数图象获取信息 1．小贤向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：s）的函数关系图象如图所示，选项中是各种水壶的主视图，则小贤使用的水壶的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，三视图，通过函数图象获取信息并解决问题的能力，能够读懂图象是解题的关键． 根据函数图象得到水壶内水上升的速度不变，即可根据选项作出判断． 【详解】解：∵容器内水的高度（h）随着注水时间（t）的增大而增大，成正比例关系，是一条线段， ∴水壶内水上升的速度不变，则容器应为类似于圆柱的物体， 故选：D． 2．函数（是常数）的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，分，和三种情况判断即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，函数，故选项符合题意； 当时，，可以取任意实数，当时，，且随着的增大或减小，图象无限靠近轴，故选项符合题意； 当时，，当时，，故选项符合题意； ∴图象不可能是， 故选：． 3．如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答是关键． 根据题意，结合，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：根据提起铁块的过程可知，铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变； 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，故此过程中弹簧的度数增加； 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故此过程中弹簧的度数增加到最大后保持不变； 故选：B． 难点强化二、几何与函数图象结合 1．如图1，在中，，点从顶点出发，沿过点的某条射线运动到上的一点处，再从该点沿方向运动到顶点．设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，动点问题的函数图象，当时，，则点P是从点A沿着线段的垂直平分线运动到上，过点A作，由三线合一定理即可得到，，当时，点P从点D向点B运动，则可推出，据此利用勾股定理可求出答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，，即此时满足， ∴点P是从点A沿着线段的垂直平分线运动到上， 如图所示，过点A作， ∵， ∴垂直平分，， ∴， 由函数图象可得，当时，点P从点D向点B运动， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解题的关键． 由题图可知，当时，即与重合，，则，当时，即与重合，，则有，，连接，根据勾股定理求出，再由题图可知，点到的距离为，通过等面积法得出，然后求出的值即可． 【详解】解：由图可知，当时，即与重合，， ∴， ∵是等腰三角形，是底边的中点， ∴， ∴当时，即与重合，， ∴， ∴， 如题图，连接， 有， ∴， ∴， 由题图可知，点到的距离为， ∴， ∴，解得：， 故选：． 3．如图，在矩形中，为对角线，一动点从点出发，沿的路径运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，，随变化的函数图象如图，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解，根据函数图象得出信息是解题的关键． 【详解】解：由函数图象知，当点运动到点时，，此时， ∴， 当时，，此时，如图， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为， 故选：． 难点强化三、一次函数与反比例函数中的最值问题 1．如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ， 故选：A． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，，则，，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，， 则，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】 小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________． （2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】 （3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 【答案】（1）；4；（2）图见解析；①当时，随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为2；（3）4 【分析】本题考查了反比例函数的性质,反比例函数的图象，矩形的性质，二次函数的最值,读懂题目信息，理解函数的图象是解题的关键． （1）根据表格数据即可求出m，n的值； （2）根据表格数据，描点、连线，即可得出函数的图象，结合图象即可写出函数图象的两条性质； （3）由（2）得，当时，y有最小值，y最小值，由此可以得到问题情景的结论． 【详解】解：对于， 当时，； 当时，，解得，， ∴； 故答案为：；4； （2）根据（1）中表格数据描点、连线得， 由图象得：①当时，随的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为2； （3）由图象知：当时，y有最小值，y最小值， 所以，矩形周长的最小值为4． 难点强化四、一次函数与反比例函数中的解决应用 1．无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 48 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (2)现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①8，96，96；②12；③ (2)秒或3秒 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象获取信息，解题的关键是读懂题意，读懂图象． （1）①由待定系数法求出各段的函数解析式，再求函数值，即可填表；②由图象可得列出除以时间即可求解速度；③由①即可得； （2）设乙无人机的距离地面的高度与它飞行的时间的函数关系式为，则代入，，求得，①当时，由题意得；②当时，由题意得：，分别解方程算出时间，注意题干问的是乙无人机出发多久，故还需减去秒． 【详解】（1）解：①当时，设函数关系式为， 代入得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，设， 代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴当时，， 故答案为：8，96，96； ②甲无人机返回时速度为：， 故答案为：12； ③由①可得：； （2）解：， 设乙无人机的距离地面的高度与它飞行的时间的函数关系式为， 则代入，得：， 解得：， ∴， ①当时，由题意得， 解得：， ∴； ②当时，由题意得：， 解得：或（舍）， ∴， 综上：乙无人机出发秒或3秒时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米． 2．上部是圆柱形，下部是近似圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为．先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体（单位：）和液体下降高度（单位：），部分数据如下： (1)将表格补全（结果保留小数点后一位）； 0 100 160 200 300 350 400 450 500 0 1.5 2.4 4.5 5.3 6.3 7.8 13.5 (2)通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则______（填“”“”或“”）； ②如图2，两个该种型号的漏斗A和B，它们的底部出液口开关均已关闭，A装满液体，B是空的．先将A中的一部分液体倒入B中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上．此时，A和B的出液口距离桌面的高度均为，A的液面距离桌面的高度为，则B的液面距离桌面的高度约为______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)3.0 (2)见详解 (3)①；②11.4 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和函数图像的画法，用一次函数解决实际问题，涉及圆柱、圆锥体积的计算，准确理解题意并求出一次函数的解析式是正确解答此题的关键． （1）计算即可发现规律，进而得解； （2）在平面直角坐标系中描出各个点再连线即可； （3）①观察表格或图像即可得答案；②先求出漏斗B中，再结合图象，用待定系数法求出当时，与的函数关系式，利用函数关系式求即可． 【详解】（1）解∶， 应该填3.0， 故答案为：3.0； （2）解：描出各点，连线，如图所示： （3）解：①从表格中可得：从增加到，增加的量； 从增加到，增加的量约为， ， ， 故答案为：； ②由题意得，漏斗A的， 从（1）中表格，得， ∴漏斗B中液体为， ∴漏斗B中 观察图象可得，当时，与可视为一次函数， 设，把和代入，得 ， 解得：， ∴， 当时，， ∴B的液面距离桌面的高度约为， 故答案为： 3．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中， ∴， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 难点强化五、一次函数与反比例函数中的特殊三角形 1．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 2．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，当，时，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点， 同理得：， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点，过作交于点， 同理得：， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 3．我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，两点距离计算公式，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，当时，由勾股定理建立方程求解；当时，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，； （3）解：①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②令，则， ∴， ∴， ∴，，， 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或． 难点强化六、一次函数与反比例函数中的特殊四边形 1．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设点，，分，是对角线，，是对角线，，是对角线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：；   ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴，解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴，解得：，∴ 点D的坐标为； ②当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； ③当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 2．如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：点在反比例函数的图象上； (3)点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及了反比例函数解析式的求解、菱形的性质等知识点，掌握待定系数法求解解析式是解题关键． （1）根据轴，可求出点，即可求解； （2）由点为的中点可推出点与点关于原点对称，即可求解； （3）根据菱形对角线互相垂直平分可得直线为第一、三象限的角平分线，即可求解； 【详解】（1）解：在中，轴，，点， 点． 点在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为； （2）证明：四边形是平行四边形，且是的中点， 点与点关于原点对称， 由（1）得 当时，， 点在反比例函数的图象上； （3）解：四边形是菱形， 与互相平分． ∵点，且是的中点， ∴直线为第二、四象限的角平分线， 直线为第一、三象限的角平分线， 直线的解析式为． 联立 解得或 点的坐标为或． 3．如图，已知四点都在反比例函数 的图象上，且线段都过原点O，连接． (1)四边形的形状是 ． (2)已知， ①点 C 的坐标为 ； ②若四边形 是矩形，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形 (2)；24 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式 ，熟知相关性质是解题的关键。 （1）利用对角线互相平分，即可解答； （2）①利用反比例函数的性质，即可解答；②求出点坐标，即可解答。 【详解】（1）解：设点坐标为 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 与相等， 同理可得，与相等， 四边形为平行四边形， （2）解：根据（1）中原理可得， 反比例函数的解析式为， ， 若四边形是矩形，则， 设，则， 则可得， 解得， ， ，， 四边形的面积． 难点强化七、一次函数与反比例函数中的角度问题 1．如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式． (2)点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出点A的坐标得到的长，则可求出的长得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线和直线解析式求出点D坐标，则可求出，进而可得，再根据三角形面积计算公式求出的长，从而得到点P的坐标；作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长，再求出直线的解析式，进而求出点E坐标即可； （3）先求出直线的解析式；如图所示，取，连接，可证明，即是等腰直角三角形，则，即点M即为直线与直线的交点，求出直线解析式为，联立，解得，则点M的坐标为；如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且，则，则点M为直线与直线的交点，同理求出此时点M的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的坐标为； 如图所示，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：∵将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式； 如图所示，取，连接， ∵， ∴，． ， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点M即为直线与直线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点M为直线与直线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 2．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接． (1)请写出的解析式和B、C点坐标． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出的面积； ②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义可得的解析式 ，在中，求出当时的函数值，在中，求出当时的自变量的值，即可求出点B和点C的坐标； （2）先求出；设直线与y轴交于H，则，根据计算求解即可； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）解；由新定义知，的解析式 ， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴； （2）解：①联立，解得， ∴； 设直线与y轴交于H，则， ∴， ∴； ②设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，即轴， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，设点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， ∴， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， ∴此时点M的坐标为， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则， ∴， ∴同理可得的表达式为： 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． 3．如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）． (1)连接，，求的度数． (2)若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)的值不会变化，其值为 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，一元一次方程，解题的关键是运用方程思想解决几何问题； （1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得， 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得， 或； （3）解：的值不会变化，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， 所以的值不会变化，其值为． 难点强化八、一次函数与反比例函数中的定值与不变问题 1．如图：已知在直角坐标系中，点A坐标，点B坐标． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，求证； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，定值为 【分析】（1）利用等腰三角形的性质即可得到答案； （2）延长到F使，连接，易得，从而得到，易得，即可得到证明； （3）是定值，作于，在上截取，易得，根据等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：∴点A坐标，点B坐标， ， ∵， ； （2）证明：延长到F使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 故； （3）解：是定值，作于，在上截取， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； (3)如图2，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点（不与重合），，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1) (2)或 (3)的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，通过一线三垂直模型构造全等三角形求解即可； （3）作于M，交延长线，证明，则，进而可得是的角平分线，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，当点C在上方时，过点作轴于F，轴于E，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． 当点C在下方时，过点作轴于F，轴于E，如图： 同理可证明， ，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：的大小不变，总为，理由如下： 作于M，交延长线，如图所示：    ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 难点强化九、一次函数与反比例函数中的新定义 1．在平面直角坐标系中，对于任意三个点、、我们给出如下定义：“横长”是指三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”是指三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三个点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点． 例如点，，，则、、三点的“横长”，“纵长”，因为，所以、、三点为正方点． 已知：点， (1)在点，，中，能与点、为正方点的是___； (2)点为轴上一动点，若、、三点为正方点，则的值为___； (3)点坐标是，其中，动点满足：点、、三点是横、纵长都为的正方点，请在图②中画出所有符合条件的点组成的图形． 【答案】(1) (2)2或 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，图形与坐标，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义逐一判断即可； （2）求得“纵长”为，再分类讨论求得即可解答； （3）设，分别求得的取值范围和的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：点，点，点三点的“横长”，“纵长”， ， 这三点不为正方点； 点，点，点三点的“横长”，“纵长”， ， 这三点为正方点； 点，点，三点的“横长”，“纵长”， ， 这三点不为正方点； 综上所述，能与点、为正方点的是， 故答案为：； （2）解：、、三点的“纵长”为， 、、三点为正方点， “横长”等于“纵长”为， 当时，可得，解得； 当时，“纵长”小于不成立； 当时，可得，解得； 故答案为：2或； （3）解：设， 点、、三点是横、纵长都为的正方点， ，即， ， ， 点、、三点是纵长为， 始终成立， ， 故正方形为所有符合条件的点组成的图形． 2．定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图15-1，轴，轴，________； （2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 【答案】（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； （4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵、，且轴，轴， ∴，，即， ∴，， 根据题意：； 故答案为：4； （2）是定值， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）设，根据定义得， 令，则，令，则， ①当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ②当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ③当时， ∴，， 则，解得：（舍去）； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长， 长度为； （4）设， ∵， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图， 则对角线长为8， ∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 【答案】(1) (2)①满足等式的值即可，答案不唯一，② (3)① ②左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度 【分析】本题考查新的定义，线段的平移，正确理解轴距等点是解题的关键． （1）正确理解轴距等点，逐个计算，即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值，即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点即可列出等式，即可解答； （3）①设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出的最小值；②依据数形结合，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解∶ 到两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为， 故点的轴距等点是． 答案为C． （2）①设点的坐标为， ∵点在第三象限，点与点为轴距等点， ∴，，， 即，满足该等式的值不唯一， 如，． ②由①得，， ∴， ∵点与点仍为轴距等点， ∴，即， ∴， 即， ∴或（不合题意，舍去） 解得， ∴ ∴E， 故答案为． （3）①设， 由，可得，且， ∵，两点为轴距等点， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时为最小值． 故答案． ②如图所示，点，，设线段与交点为E， ∵线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，且 ∴ 当 时，点E在左侧，有 ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在右侧，有 ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在、之间（不包括A、B）， ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在与点A重合，有 ，此时符合条件． 故线段向左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度得到线段． 难点强化十、一次函数与反比例函数中的绝对值 1．问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【答案】(1)函数图象见解析，减小； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了一次函数的性质，函数图象，解一元一次不等式组，利用数形结合的思想解题是关键． （1）描点画图即可；根据图象可得答案； （2）把，代入解析式，解方程即可； （3）解不等式组即可解答； （4）分类讨论，分为或两种情况，逐一计算即可解答． 【详解】（1）解：函数图象如下： ， 根据图象可得当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （2）解：根据题意可得， 可得， 解得或， ，为该函数图象上不同的两点， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 可得，解得， 或可得，解得， 故答案为：或； （4）解：当时，此时， 可得或， 解得或，即 ， 当时，取最大值为； 当时，此时， 根据上述自变量取值范围，可得此时或， ， 当时，， 当时，， 当或，， 故函数的最大值为， 故答案为：． 2．某数学兴趣小组想探究函数的图象与性质． (1)根据绝对值的意义将函数F的解析式化简： 当时，函数解析式为________， 当时，函数解析式为________； (2)在下边的平面直角坐标系中直接画出函数F的图象； (3)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线（m为常数）与y轴交于点C． ①若直线l与函数F的图象交于P，Q两点（P在Q左侧），且，求m的值； ②若直线l与函数F的图象恰有一个公共点，直接写出m的取值范围________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）由绝对值的意义即可求解； （2）按照画一次函数力图象的方法，分两段画图即可； （3）①求出直线l与函数F的图象的交点坐标，利用面积相等建立方程即可求得m的值； ②分两种情况：时，考虑l与射线平行的情况；时，考虑l与射线平行的情况；还有一种特殊情况：直线l过点A． 【详解】（1）解：当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 故答案为：； （2）解：函数F的图象如下： （3）解：①如图，连接，过Q作轴于Q，如图； 由题意知，； 解，得； 即； 同理得； ， ，； ， ，， ； ， ， 即， ，而， ， 解得：； ②如图，当时，若直线l与射线平行；此时， 故当时，直线l与F只有一个交点； 如图，当时，若直线l与射线平行；此时， 故当时，直线l与F只有一个交点； 还有一种特殊情况：直线l过点A，此时与F恰好有一个交点， 把点A的坐标代入直线l的解析式中，得， 即； 综上，m的取值范围为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，画一次函数的图象，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，_________，_________． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为_________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 【答案】(1)；0； (2)见详解； (3)①<，<；②；③. 【分析】（1）选择对应的函数解析式，代入求值即可； （2）描点连线即可； （3）①把代入中，得，把代入中，得，然后比较即可；由（2）中的图象可知，当时，或或，当时，，即可比较；②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称，即可求解；③根据题意可得，由，得， ，得或，解得，，然后根据即可求解. 【详解】（1）解：当时，代入得，，即； 当时，代入得，，即 故答案为：；0 （2）解： （3）解：①把代入中．得 把代入中，得 ∴ 由（2）中的图象可知，当时，或或 当时， ∴ 故答案为：<，<. ②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称， ∴. 故答案为：. ③根据题意可得，由，得 ，得或 解得， ， 解得 所以t的值为. 【点睛】本题是新定义题目，考查一次函数的图象和性质，画出函数图象是解题的关键． 真题感知 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 2．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 3．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段． 【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长， 最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短． 故选：B． 4．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 5．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 【答案】64 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 6．（2024·四川内江·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 7．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 【答案】四/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 9．（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．    【答案】5 【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：（米/分）， 小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分）， 由图可知，会议开始时间为出发后（分）， ∴若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分）， 故答案为：5． 10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 【答案】(1) (2)，直线上y随x的增大而增大 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式为，进而得出，结合图象可得直线的特征． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入 ： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立得：， 解得：（舍去），， ∴， 由图可知：直线上y随x的增大而增大． 11．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 (1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； (2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 【答案】(1)； (2)至少需要购进种粽子50盒． 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据“总利润种粽子利润种粽子利润”，即可得出答案； （2）根据题意列出不等关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意， ， 答：关于的函数解析式为； （2）解：， 解得：， 故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进种粽子50盒． 12．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 【答案】(1)16元， 6元 (2)25件， 3590元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的应用和一次函数的性质，根据题意列出式子是本题的关键． （1）根据表格与“A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽”即可列方程求解； （2）设A种组合的数量，表示出B种组合数量，根据“两种组合的总件数不超过95件”列不等式求出A种组合的数量的最大值，再根据题意表示出利润的表达式，根据一次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价元，每个肉粽的进价元． 根据题意可得： ， 解得： ， 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元． （2）解：设该超市应准备件A种组合，则B种组合数量是件，利润为W元， 根据题意得：， 解得：， 则利润， 可以看出利润是的一次函数，随着的增大而增大， ∴当最大时，最大， 即当时，， 答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元． 2 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $$