第05讲 平面向量的线性运算（2知识点+3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第05讲 平面向量的线性运算 （2知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 知识点02：向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【题型1 实数与向量相乘】 【例1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与向量相乘 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（2025·上海崇明·一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【答案】 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【题型2向量的相关概念】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列判断正确的是（   ） A． B．设为单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 【答案】C 【知识点】实数与向量相乘、向量的相关概念 【分析】本题考查了平面向量，涉及实数与向量相乘，单位向量，零向量，平行向量的判定，向量的模等知识点，熟练掌握平面向量的性质是解题关键． 分别根据实数与向量相乘，单位向量，零向量，平行向量的判定，向量的模知识点一一判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、设为单位向量，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，那么，正确，符合题意； D、如果，那么与不一定是相等向量或相反向量，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 【例2-2】（24-25九年级上·上海崇明·期中）下列说法中，正确的是（   ） A． B．如果，那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果是非零向量，且，那么 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以B错误，不符合题意． C、如果是单位向量，那么，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 【答案】C 【知识点】向量的相关概念、实数与向量相乘 【分析】本题考查向量与实数的运算，向量的线性计算，根据相关运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、不能得到或，错误，符合题意； D、如果（为非零向量），那么，正确，不符合题意； 故选C． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 【答案】D 【知识点】向量的相关概念、实数与向量相乘 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．根据零向量和平行向量的知识分析即可． 【详解】解：A．若是单位向量，时，则，故原说法不正确； B．若，故原说法不正确； C．若（为非零向量），则所有非零实数，使，故原说法不正确； D．若，则或，正确． 故选D． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型3向量与相似综合】 【例3-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)，． (2)图见解析，、． 【知识点】向量的线性运算、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． （1）由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值，继而求得的值，又由，即可求得答案； （2）作出的图形中，在、方向上的分向量分别为、． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，向量在、方向上的分向量如图， ∵过点D作，交于点N，作交于点M， ∴， ∴，， ∴ ∵与方向相同，与方向相同， ∴，， 所以，向量在、方向上的分向量分别为、． 【例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【答案】(1)、； (2)见解析． 【知识点】实数与向量相乘、向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （）利用平行四边形法则画出图形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：如图， ∴、分别是在，方向上的分向量． 【例3-3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知中，． (1)求线段的长： (2)设．请直接写出： ①向量关于的分解式，______； ②向量关于的分解式，______． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，得出，即即可求解． （2）①由题意得，再根据，即可求解． ②由题意得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ，， ． ． （2）①由（）知， 故答案为：． ② ∴ 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用、向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量，相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题． （1）利用三角形法则求出，，再利用相似三角形的性质求出，； （2）利用平行四边形法则画出图形． 【详解】（1）解：，， ，，， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）如图，过点C作交的延长线于点G，，即为所求． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识， （1）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题； （2）利用三角形法则即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，平行四边形中，点E为边上的一点，，与相交于点F，设，． (1)用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)；； (2)见解析 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，则即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵ ∴； ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：；；． （2）解：如图所示，过点F分别作交于G， 交于H，则即为分别在、方向上的分向量． 【变式3-5】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在中，，点D在边上，，． (1)求的长； (2)连接，设，，试用表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算： （1）证明得到，则，由此可得； （2）先求出，再由得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了向量的线性运算，根据、、即可求解． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴ ∴ 故选：D 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行向量，相反向量等知识，解题的关键是平行向量，相反向量的定义，属于中考常考题型．根据相反向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、与是相反的向量，本选项不符合题意； B、与是相反的向量，本选项不符合题意． C、与互为相反向量，本选项不符合题意． D、与是平行向量，方向相同，不是相反向量，本选项符合题意． 故选：D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查平面向量的加减法则，根据三角形法则求出，再根据矩形的性质，即可解决问题，熟练掌握平面向量的加减法则是解决此题的关键． 【详解】∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【知识点】向量的线性运算、实数与向量相乘 【分析】本题考查了向量与实数的运算，向量既有方向性又有大小，解决本题的关键是根据向量的性质进行运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A选项：数与向量的乘积的模等于这个数与向量的模的乘积，，故A选项正确； B选项：数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，，故B选项正确； C选项：，是与的方向相同或相反，，故C选项正确； D选项：向量既有大小，又有方向，若且，则或，故D选项错误． 故选： D． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）若，且，则四边形是（    ） A．等腰梯形 B．不等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】A 【知识点】(等腰)梯形的定义、向量的线性运算 【分析】本题考查了平面向量的几何意义．解答该题的关键是根据已知条件来判断与的方向和长度，从而确定它们的位置关系． 根据平面向量的几何意义，可以由推知且不相等；然后根据已知条件知、是四边形的两条相等的边；据此推断该四边形的形状． 【详解】解：， ，且； 又， ∴， 四边形是等腰梯形． 故选：A． 6．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算、实数与向量相乘、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，向量的和差运算等知识点；由平行四边形的性质、相似三角形判定与性质得，则，从而，则即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【知识点】向量的相关概念、实数与向量相乘 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题为平面向量的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．按向量的运算法则即可得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了向量运算，先由中点得出，根据三角形法则列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：∵是边的中线， ， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，平行四边形中，点在边上，与对角线交于点，设，试用表示，则 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查平面向量、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形法则是解题的关键． 结合平行四边形的性质、相似三角形的判定可得，则可得，进而可得，即；根据，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示 ． 【答案】 【知识点】梯形中位线定理、等腰梯形的性质定理、向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形性的判定及性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的中位线，向量加减运算等，由等腰梯形的性质得，由相似三角形的判定及性质，可得，由向量的和差得，即可求解；掌握相似三角形性的判定及性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的中位线，向量加减运算，能用向量加减表示出所求向量是解题的关键． 【详解】解：，， ， 四边形是等腰梯形， 、是中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查的知识点是向量的线性运算、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握向量的线性运算．首先由四边形是平行四边形，求得，，又由点是边的中点，，求得与，再利用三角形法则求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， 点是边的中点，， ，， ． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    【答案】 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题主要考查三角形的重心、向量知识、相似三角形的判定和性质，根据题意得D是的中点，，即可求得和，结合平行得到，有，则即可． 【详解】解：∵点G为的重心， ∴D是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 【答案】 【知识点】向量的线性运算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 【答案】(1) (2)，作图见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，可得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得，利用三角函数的知识即可求得、的长，继而求得． （2）利用平面向量的运算法则求解即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ； （2）解：． 如图：即为所求． ． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一点，，设． (1)填空：向量_____； (2)填空：向量______；并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量的式子表示，画图不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1) (2)，图见解析 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查向量的线性计算，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，求出，根据，进行计算即可； （2）根据，进行计算，利用平行四边形的法则，作，则即为所求． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）可知：， ∴； 故答案为：， 如图，即为所求； 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，分别是边和上的中线，连接交于点E，过点D作，若． (1)设，，用，表示向量______；______； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查向量的线性计算，相似三角形的判定和性质： （1）中线得到，证明，得到，，求出，三角形法则求出，证明，求出即可； （2）根据相似三角形的性质求出，的长，用求出的长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边和上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：，， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)求的长 (2)若设，，试用，的线性组合表示向量． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性计算： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据三角形法则，求出，进而求出，再利用三角形法则，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，． (1)直接写出的长； (2)设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示． (3)________（用向量、表示）． 【答案】(1)7 (2)，图见解析 (3) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，向量的线性运算： （1）根据平行线分线段成比例定理，由，可得，再证，，根据对应边成比例，可得，，代入数值计算可得答案； （2）利用平行四边形法法则画分向量； （3）先根据用向量、表示出，再结合表示出． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，， ，， ，， ，， ； （2）解：作交于点H，在和方向上的分向量如下图所示： ，， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）解：， 又， ， ． 20．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． (1)填空：______；（直接写出答案） (2)设，，那么______，______（用向量、表示） (3)，作出在和方向上的分向量；（不用写作图过程，但要写结论） 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【知识点】向量的线性运算、由平行判断成比例的线段、利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）利用三角形法则计算即可； （3）分别过点作的平行线，构造平行四边形，则与共起点的两个向量记为分向量． 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为，． （3）解： 如图，分别为在和方向上的分向量． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质，与判定平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平面向量的线性运算 （2知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 知识点02：向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【题型1 实数与向量相乘】 【例1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【变式1-2】（2025·上海崇明·一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【变式1-3】（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【题型2向量的相关概念】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列判断正确的是（   ） A． B．设为单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 【例2-2】（24-25九年级上·上海崇明·期中）下列说法中，正确的是（   ） A． B．如果，那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果是非零向量，且，那么 【变式2-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【题型3向量与相似综合】 【例3-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【例3-3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知中，． (1)求线段的长： (2)设．请直接写出： ①向量关于的分解式，______； ②向量关于的分解式，______． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 【变式3-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【变式3-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，平行四边形中，点E为边上的一点，，与相交于点F，设，． (1)用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【变式3-5】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在中，，点D在边上，，． (1)求的长； (2)连接，设，，试用表示． 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则或 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）若，且，则四边形是（    ） A．等腰梯形 B．不等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 6．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是 ． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，平行四边形中，点在边上，与对角线交于点，设，试用表示，则 ． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示 ． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么 ． 13．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一点，，设． (1)填空：向量_____； (2)填空：向量______；并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量的式子表示，画图不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量） 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，分别是边和上的中线，连接交于点E，过点D作，若． (1)设，，用，表示向量______；______； (2)求的长． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)求的长 (2)若设，，试用，的线性组合表示向量． 19．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，． (1)直接写出的长； (2)设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示． (3)________（用向量、表示）． 20．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． (1)填空：______；（直接写出答案） (2)设，，那么______，______（用向量、表示） (3)，作出在和方向上的分向量；（不用写作图过程，但要写结论） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$