第5章 特殊平行四边形 单元检测(A卷·夯实基础）-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第5章 特殊平行四边形 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【思路点拨】根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案． 【解析】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有； 对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分； 对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有； 对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有． 综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 2．如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　） A．59° B．62° C．69° D．72° 【思路点拨】根据菱形的性质得：AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，根据等腰三角形的性质可得∠ABD＝31°，由菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE＝31°，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝118°， ∴∠ABD＝＝31°， ∴∠CBE＝31°， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB 【思路点拨】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA＝，OB＝， ∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．如图，已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点，若PC＝AB，则∠PBA等于（　　） A．22° B．22.5° C．25.5° D．30° 【思路点拨】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ACB＝∠CBD＝45°，正方形的四条边都相等可得AB＝BC，然后求出BC＝CP，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBP，然后根据∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP计算即可得解． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠CBD＝45°，AB＝BC， ∵PC＝AB， ∴BC＝CP， ∴∠CBP＝×（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP＝90°﹣67.5°＝22.5°． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【思路点拨】由菱形的性质得AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，则∠BOC＝90°，所以BC＝＝5，而AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD＝5AE＝×6×8，求得AE＝，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4， ∴∠BOC＝90°， ∴BC＝＝＝5， ∵AE⊥BC于点E， ∴S菱形ABCD＝5AE＝×6×8， ∴AE＝， 故选：A． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出BC的长是解题的关键． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．6 B． C． D． 【思路点拨】由矩形的性质得出OA＝OB，由等腰三角形的性质得出AB＝AO＝BO＝6，推出BD＝12，最后由勾股定理计算即可得解． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，∠BAD＝90°，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD，BE＝EO，即AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO＝6， ∴BD＝12， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD上，且DE＝AD，连接AE，若BD＝16，BC＝10，则AE的长为（　　） A．2 B． C． D．10 【思路点拨】由四边形ABCD是菱形，推出，DE＝AD＝BC＝10，AC⊥BD，求出OE的长，由勾股定理即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，， ∵BC＝10，BD＝16， ∴DE＝AD＝10，OD＝8， ∴OE＝DE﹣OD＝2， 在Rt△AOD中，AO2＝AD2﹣OD2＝36， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 8．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 【思路点拨】先根据四边形EFGH是正方形，证明AF⊥BG，再根据AG＝AB，证明GF＝BF，然后设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，根据全等三角形的性质证明AF＝BG＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理求出AB，最后根据正方形的面积公式求出答案即可． 【解析】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴∠GFE＝90°， ∴AF⊥BG， ∵AG＝AB， ∴AF是BG边上的中线， ∴GF＝BF， 设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x， ∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH， ∴AF＝BG＝2x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得： ， ∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 【思路点拨】证四边形AFPE是矩形，得EF＝AP，再由垂线段最短和三角形面积求出AP的长，即可解决问题． 【解析】解：如图，连接AP， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝＝5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， ∵M是EF的中点， ∴PM＝EF＝AP， 根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短， 则PM也最短， 此时，S△ABC＝BC•AP＝AB•AC， ∴AP＝＝＝2.4， 即AP最短时，AP＝2.4， ∴PM的最小值＝AP＝1.2， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP＝EF，③∠PFE＝∠BAP，在此基础上，通过等量代换可证明③，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得结论④正确． 【解析】解：过P作PG⊥AB于点G，如图， ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴GP＝EP， 在△GPB中，∠GBP＝45°， ∴∠GPB＝45°， ∴GB＝GP， 同理，得 PE＝BE， ∵AB＝BC＝GF， ∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB， ∴AG＝PF， ∴△AGP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF， ∴结论①正确； ∵△AGP≌△FPE， ∴∠PFE＝∠GAP ∴∠PFE＝∠BAP， ∴结论③正确； ②延长AP到EF上于一点H， ∴∠PAG＝∠PFH， ∵∠APG＝∠FPH， ∴∠PHF＝∠PGA＝90°， 即AP⊥EF； ∴结论②正确； ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， 又∵∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴PD＝EC， ∴结论④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若正方形ABCD的面积为4，则正方形的对角线AC的长为 　　 ． 【思路点拨】根据正方形的面积等于边长的平方列式求出AB，再根据勾股定理列式计算即可得解． 【解析】∵正方形ABCD的面积为4， ∴AB2＝4， ∴AB＝2， ∴正方形的对角线 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的面积公式，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AC，CD的中点．若MN＝1，则菱形ABCD的周长是 　8　 ． 【思路点拨】先根据三角形中位线定理得到AD＝2MN＝2，然后根据菱形的性质得到菱形ABCD的周长． 【解析】解：∵M，N分别为AC，CD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MN＝AD， ∵MN＝1， ∴AD＝2， ∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了三角形中位线定理． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，则GH的长是 　5　 ． 【思路点拨】连接BE，如图，根据矩形的性质和勾股定理可求出BE，再根据三角形的中位线定理解答即可． 【解析】解：连接BE，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵E为AD中点，AD＝12， ∴， 则在直角三角形ABE中，根据勾股定理可得：， ∵G，H分别为EF，BF中点， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识，连接BE，灵活应用三角形的中位线的性质是解题的关键． 14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为　AC⊥BD　 ．（写出一个即可） 【思路点拨】四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，根据菱形的判定定理证明四边形ABCD为菱形，也可以由四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，根据菱形的定义证明四边形ABCD是菱形，所以添加的条件可以是AC⊥BD或AB＝BC，写出其中一个条件即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形， 故答案为：AC⊥BD． 注：答案不唯 一． 【点睛】此题重点考查菱形的定义及判定定理，正确理解和运用菱形的定义和判定定理是解题的关键． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为　8　 ． 【思路点拨】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝2，通过证明四边形ODEC是菱形，即可求解． 【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝2， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形ODEC是平行四边形，且OC＝OD， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OD＝DE＝CE＝OC＝2， ∴四边形CODE的周长＝4×2＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的矩形，证明四边形ODEC是菱形是本题的关键， 16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AC延长线上，且AC＝2CE，连接EB，过点A作AF⊥EB，垂足为F，AF与DB延长线交于点G，若，则 （I）线段AE的长等于 　　 ； （Ⅱ）线段AG的长等于 　　 ． 【思路点拨】（I）先根据勾股定理求出AC＝，再根据AC＝2CE得CE＝，由此即可得出线段AE的长， （Ⅱ）先证明∠G＝∠E，进而可依据“AAS”判定△AOG和△BOE全等，则AG＝BE，由（I）可知AC＝，AE＝，则OB＝OA＝OC＝，OE＝AE﹣OA＝，由勾股定理得BE＝，据此即可得出线段AG的长． 【解析】解：（I）∵四边形ABCD是正方形，AB＝， ∴BC＝AB＝2√（6），∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，OA＝OC＝OB，OA⊥OB， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝， ∵AC＝2CE， ∴2CE＝， ∴CE＝， ∴AE＝AC+CE＝＝， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示： ∵AF⊥EB，∠ABC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵OA⊥OB， ∴∠AOG＝∠BOE＝90°， 在Rt△AOG中，∠G+∠1+∠BAC＝90°， ∴∠G+∠1+45°＝90°， ∴∠G+∠1＝45° ∵∠BCA是△CBE的外角，∠BCA＝45°， ∴∠E+∠3＝∠BCA＝45°， 又∵∠1＝∠3， ∴∠G＝∠E， 在△AOG和△BOE中， ， ∴△AOG≌△BOE（AAS）， ∴AG＝BE， 由（I）可知：AC＝，AE＝， ∴OB＝OA＝OC＝AC＝， ∴OE＝AE﹣OA＝＝， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE＝＝＝， ∴AG＝BE＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连接AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形． 【思路点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，再证四边形ABFC是平行四边形，然后证BC＝AF，即可得出结论． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∵CF＝CD， ∴CF＝AB， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AD＝AF， ∴BC＝AF， ∴平行四边形ABFC是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE相交于点G． （1）求证：△ADE≌△BAF； （2）求∠DGF的度数． 【思路点拨】（1）根据正方形性质得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，由此可依据“SAS”判定△ADE和△BAF全等； （2）根据全等三角形性质得∠ADE＝∠BAF，再根据∠DAG+∠BAE＝90°得∠DAG+ADE＝90°，由此可得出∠AGD＝90°，据此即可得出∠DGF的度数． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）； （2）∵△ADE≌△BAF， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠DAE＝∠DAG+∠BAE＝90°， ∴∠DAG+ADE＝90°， 在△AGD中，∠AGD＝180°﹣（∠DAG+ADE）＝90°， 即AF⊥DE， ∴∠DGF＝90°． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠DBE＝90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE＝AD＝3，AE＝BD＝2，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【解析】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB＝90°， ∵BE∥AD，AE⊥AD， ∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3， ∴． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∵四边形ADBE是矩形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 20．如图，A，C是菱形BEDF的对角线EF上的两点，且AE＝CF，∠ACB＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求菱形BEDF的面积． 【思路点拨】（1）连接BD交AC于点O，先证明四边形ABCD是菱形，结合∠BCD＝90°即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到AC＝BD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【解析】（1）证明：连接BD交AC于点O，如图： 由题意可得：AC⊥EF，EO＝FO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， 即∠BCD＝90° ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：由题意可得： ∴AC＝BD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3， ∴Rt△ABC中，， ∵AE＝CF＝1， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 21．如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 【思路点拨】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论； （2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝4，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EF＝DE＝2，则OF为△BDE的中位线，得OF＝BD＝，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，进而由勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝4，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EF＝DE＝2， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OF＝BD＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴CF＝CD+DF＝6， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝， 即OC的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O．有下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形． （2）在（1）的条件下，若菱形ABCD的面积为24，BD＝6，求菱形ABCD的边长． 【思路点拨】（1）若选择②AB＝CD，由AB∥CD，AB＝CD，证明四边形ABCD是平行四边形，而AB＝AD，则四边形ABCD是菱形；若选择①AD∥BC，由AB∥DC，AD∥BC，证明四边形ABCD是平行四边形，而AB＝AD，则四边形ABCD是菱形； （2）由菱形的性质得AC⊥BD，由S菱形ABCD＝BD•AC＝24，且BD＝6，得×6AC＝24，求得AC＝8，则OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，根据勾股定理求得AB＝5，所以菱形ABCD的边长是5． 【解析】解：（1）选择②AB＝CD， 证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 注：答案不唯一． （2）∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵S菱形ABCD＝BD•AC＝24，且BD＝6， ∴×6AC＝24， ∴AC＝8， ∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3， ∴AB＝＝＝5， ∴菱形ABCD的边长是5． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 23．如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O，连接CE、AF． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）如图2，若∠BAC＝90°，连接BE、DF分别交AF于点G，交CE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）． 【思路点拨】（1）证△AOE≌△COF（ASA），得EO＝FO，则四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论． （2）由平行四边形的判定与性质分别进行判定即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAC＝∠FCA， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴EF⊥AC，OA＝OC， 在△AOE与△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）． ∴EO＝FO， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形． （2）解：图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）为平行四边形ABFE、平行四边形CDEF，平行四边形BFDE、平行四边形EGFH，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC， 由（1）可知，四边形AFCE为菱形， ∴EF⊥AC， ∴AB∥EF， ∵AD∥BC， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AE＝BF， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴DE＝CF， ∵四边形AFCE是菱形， ∴AE＝CF，AF∥CE， ∴AE＝DE， ∴BF＝DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE∥DF， ∴四边形EGFH是平行四边形． 【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB＝GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若，AG＝2，求EB的长． 【思路点拨】（1）根据正方形性质得AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，进而得∠BAE＝∠DAG，由此可依据“SAS”判定△BEA和△DGA全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设AD与BE相交于点P，根据△BEA和△DGA全等得∠ABE＝∠ADG，再根据三角形内角和定理及∠BPA＝∠DPH得∠DHP＝∠BAD＝90°，由此可得出EB与GD的位置关系； （3）过点E作EK⊥BA，交BA的延长线于点K，证明△AEK是等腰直角三角形得AK＝EK，再由勾股定理得AK＝EK＝√，进而得BK＝AB+AK＝，然后在Rt△BEK中，由勾股定理即可求出EB的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD+∠EAD＝∠EAG+∠EAD， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△BEA和△DGA中， ， ∴△BEA≌△DGA（SAS）， ∴EB＝GD； （2）解：EB与GD的位置关系是：EB⊥GD，理由如下： 设AD与BE相交于点P，如图1所示： 由（1）可知：△BEA≌△DGA， ∴∠ABE＝∠ADG， 在△ABP中，∠ABE+∠BAD+∠BPA＝180°， 在△DPH中，∠ADG+∠DHP+∠DPH＝180°， 又∵∠BPA＝∠DPH， ∴∠DHP＝∠BAD＝90°， ∴EB⊥GD； （3）解：过点E作EK⊥BA，交BA的延长线于点K，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC＝45°， ∴∠GAK＝∠BAC＝45°， ∵四边形AEFG是正方形，AG＝2， ∴AE＝AG＝2，∠GAE＝90°， ∴∠EAK＝∠GAE﹣∠GAK＝45°， ∵EK⊥BA， ∴△AEK是等腰直角三角形， ∴AK＝EK， 由勾股定理得：AE＝＝AK， ∴AK＝EK＝AE＝＝， ∵AB＝， ∴BK＝AB+AK＝， 在Rt△BEK中，由勾股定理得：EB＝＝＝． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 特殊平行四边形 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　） A．59° B．62° C．69° D．72° 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB 4．如图，已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点，若PC＝AB，则∠PBA等于（　　） A．22° B．22.5° C．25.5° D．30° 5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．6 B． C． D． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD上，且DE＝AD，连接AE，若BD＝16，BC＝10，则AE的长为（　　） A．2 B． C． D．10 8．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若正方形ABCD的面积为4，则正方形的对角线AC的长为 　 　 ． 12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AC，CD的中点．若MN＝1，则菱形ABCD的周长是 　 　 ． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，则GH的长是 　 　 ． 14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为　 　 ．（写出一个即可） 15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为　 　 ． 16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AC延长线上，且AC＝2CE，连接EB，过点A作AF⊥EB，垂足为F，AF与DB延长线交于点G，若，则 （I）线段AE的长等于 　 　 ； （Ⅱ）线段AG的长等于 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连接AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形． 18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE相交于点G． （1）求证：△ADE≌△BAF； （2）求∠DGF的度数． 19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 20．如图，A，C是菱形BEDF的对角线EF上的两点，且AE＝CF，∠ACB＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求菱形BEDF的面积． 21．如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O．有下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形． （2）在（1）的条件下，若菱形ABCD的面积为24，BD＝6，求菱形ABCD的边长． 23．如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O，连接CE、AF． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）如图2，若∠BAC＝90°，连接BE、DF分别交AF于点G，交CE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）． 24．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB＝GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若，AG＝2，求EB的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$