专题01 幂的运算-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题01 幂的运算思维导图 核心考点聚焦 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方与积的乘方 3. 同底数幂的除法 一、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 二、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 三、积的乘方 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 四、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 五、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 六、负整数指数幂 任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。 难点强化一、幂的运算种的比较大小 1．比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 2．阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 3．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 难点强化二、幂的结果为1的分类 1．已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案． 【详解】解： 第一种情况：时， 解得， 第二种情况：且时，， 解得， 或时，， 故选：D． 2．若，则满足条件的的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了零指数幂和1的幂次方，掌握幂等于1的情况是解题的关键． 根据幂等于1的情况分别进行讨论求解即可． 【详解】解：情况一：底数为时， 当时，即． 此时指数，那么，满足条件； 情况二：底数为，指数为偶数时， 当时，即， 此时指数，，不满足条件； 情况三：指数为，底数不为时， 当时，即， 此时底数，那么，满足条件； 综上，满足条件的的值为或， 故答案为：或． 3．若，求的值． 【答案】0或1或 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是：分情况讨论． 分指数为0，底数为1，底数为，三种情况进行讨论，即可求解， 【详解】解：∵， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述：的值为0或1或． 难点强化三、幂的运算的新定义运算 1．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 2．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 3．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 难点强化四、幂的运算种的规律 1.探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 2．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；② 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； 【详解】（1）①， ②， ③， 故答案为： （2）， 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）①； ② 3．观察下列等式： 第个等式为： 第个等式为： 第个等式为： 第个等式为： .... 根据上述等式含有的规律，解答下列问题： （1）第个等式为：是 （2）第个等式为：是 （用含的代数式表示），并证明 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【分析】（1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式； （2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式． 【详解】解：（1）观察等式可知：第5个等式为：； 故答案为：； （2）第n个等式为：， 证明：左边右边 等式成立． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是从具体的简单的情形考虑，找出等式中变化的数字与序号数的关系，从而抽象出规律式． 难点强化五、幂的运算种的整除问题 1．证明：能被7整除． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，乘法分配律的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可得，再根据乘法分配律的逆运算法则可得原式，据此可证明结论． 【详解】证明： ， ∵能被7整除， ∴能被7整除． 2．已知，. (1)当时，求的值； (2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除． 【答案】(1)0 (2)见详解 【分析】（1）先计算得到，再把代入即可求解； （2）先根据得到， 再计算得到变形为，即可证明的值能被5整除． 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，且，是整数， 的值能被5整除． 【点睛】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键． 3．已知能被10整除，求证：也能被10整除． 【答案】详见解析. 【分析】把原式化成含有的式子即可． 【详解】 能被10整除，也能被10整除， 能被10整除. 【点睛】本题利用了整除的知识和同底数幂的乘法的逆运算，比较简单． 难点强化六、拓展——复数与对数 1．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解； （3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）， ； （3）． 2．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：　　，　　，　　，　　； (2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：　 　（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 【答案】(1)2；4；6；6 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案； （2）根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵， ∴． 故答案为：2；4；6；6． （2）． 证明：设，，则，， 故可得， 根据对数的定义：， 即． 【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法等知识，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 3．阅读下列材料： 一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）． 一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）． (1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________． (2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________； (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论： =_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 【答案】(1)2；4；6 (2) (3) 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，； （3）由特殊到一般，得出结论：． 【详解】（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64 ∴， 故答案为：2，4，6； （2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6， ∴， 故答案为：； （3）由（2）的结果可得， 故答案为：． 【点睛】本题是开放性的题目，借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 真题感知 1．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可． 【详解】解： ∴一个水分子的质量大约是． 故选：C． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；     B. ，该选项正确，符合题意；         C. ，该选项错误，不符合题意；                                D. ，该选项错误，不符合题意．     故选：B． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等知识点，熟知相关运算法则是解本题的关键． 根据同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列运算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算思维导图 核心考点聚焦 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方与积的乘方 3. 同底数幂的除法 一、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 二、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 三、积的乘方 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 四、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 五、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 六、负整数指数幂 任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。 难点强化一、幂的运算种的比较大小 1．比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 2．阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 3．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 难点强化二、幂的结果为1的分类 1．已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 2．若，则满足条件的的值为 ． 3．若，求的值． 难点强化三、幂的运算的新定义运算 1．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 2．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 3．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 难点强化四、幂的运算种的规律 1.探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 2．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 3．观察下列等式： 第个等式为： 第个等式为： 第个等式为： 第个等式为： .... 根据上述等式含有的规律，解答下列问题： （1）第个等式为：是 （2）第个等式为：是 （用含的代数式表示），并证明 难点强化五、幂的运算种的整除问题 1．证明：能被7整除． 2．已知，. (1)当时，求的值； (2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除． 3．已知能被10整除，求证：也能被10整除． 难点强化六、拓展——复数与对数 1．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 2．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：　　，　　，　　，　　； (2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：　 　（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 3．阅读下列材料： 一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）． 一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）． (1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________． (2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________； (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论： =_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 真题感知 1．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列运算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$