第01讲 三角形中的线段和角-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第01讲 三角形中的线段和角思维导图 知识点1 三角形的边和角 一、知识点梳理 1.三角形的定义与元素 三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。它有三个顶点、三条边和三个角。 2.三角形的分类 按边分，三角形可分为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和普通三角形（三条边都不相等）。按角分，三角形可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。 3.三角形的三边关系 对于任意一个三角形，其三边长度a、b、c满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 4.三角形的角度关系 三角形的三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。特殊地，等边三角形的三个内角均为60°，等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的两个锐角互余。 二、易错辨析 1.三角形的三边关系判断 在判断三条线段能否构成三角形时，只需判断两条短边的和是否大于第三边。如果大于第三边，则可以构成三角形。 2.三角形的高的画法 三角形每条边上仅有一条高，画高时要用虚线，并标出直角符号。锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为底和高，钝角三角形有一条高在三角形内部，两条高在三角形外部。 3.等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等。但等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，不能仅凭等腰就判断其角度类型。 三、概念比较 1.等边三角形与等腰三角形 等边三角形是三条边都相等的三角形，也是等腰三角形的一种特例。等腰三角形是两条边相等的三角形，但不一定三条边都相等。 2.直角三角形的勾股定理与普通三角形的三边关系 直角三角形满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。而普通三角形的三边关系则是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点2 三角形的中线、角平分线、高 一、概念比较 1.三角形中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段。一个三角形有三条中线，这三条中线都在三角形的内部，并交于一点，称为三角形的重心。每条中线将三角形分为面积相等的两个子三角形。 2.三角形角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段。三角形的角平分线是线段，而非射线。一个三角形有三条角平分线，它们的交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。 3.三角形高：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。一个三角形有三条高，它们可能位于三角形内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）或三角形外部（钝角三角形）。 二、易错辨析 1.角平分线与三角形的角平分线：角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是线段。在解题时，需明确区分这两个概念。 2.三角形的中线与高：中线是连接顶点和边中点的线段，而高是从顶点向对边作垂线得到的线段。在绘制和识别时，注意它们的方向和位置。 3.钝角三角形的高：钝角三角形的高可能位于三角形外部，这是初学者容易忽视的地方。在作图和分析时，需特别注意。 三、重点记忆 1.三角形的三条中线交于一点，称为重心。重心将每条中线分为两段，其中较长段是较短段的两倍（在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边的一半）。 2.三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。 3.三角形的高是从一个顶点向对边作垂线得到的线段。在锐角三角形中，所有高都在三角形内部；在直角三角形中，有两条高与直角边重合，另一条高是斜边上的高；在钝角三角形中，有两条高在三角形外部。 掌握这些知识点，有助于更好地理解三角形的性质和解决相关问题。 教材习题01 1．如图，点D是的边上任意一点，求证：．    教材习题02 如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 教材习题03 阅读下列材料，并完成相应的任务. 基本性质：三角形中线等分三角形的面积. 如图，是的边上的中线， 则 理由：过点作于点 ∵是的边上的中线. ∴又∵， ∴ ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务： （1）如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________. （2）如图，点是的边上任意一点，点分别是线段，的中点，且的面积为，请同学们借助上述结论求的面积. 考点一、组成三角形的条件 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 2．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 考点二、比较边的大小 1．如图，已知平面上三点． (1)请画出图形 ①画直线；． ②画射线； ③画线段； (2)比较线段　 　线段（填“”“” “=”号），根据是 　 　． 2．如图，点P是△ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小． 3．如图，在平面内有不共线的三个点．    (1)按下列要求作图： 分别作直线、射线，连接． (2)思考：在线段上任取一点（不与点重合），连接． ①若分别是线段和的中点．则线段的长为______； ②比较与的大小，并说明理由． 考点三、画三角形的中线、角平分线、高 1．按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 2．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形． (1)将向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到；（的对应点分别为A、B、C） (2)线段与的关系 ； (3)画边上的中线和高线．（利用网格点和直尺画图） 3．如图，△ABC，按要求完成下列各题： ①画△ABC的中线CD； ②画△ABC的角平分线AE； ③画△ABC的高BF； ④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1 ． 考点四、比较角的大小 1．如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    2．如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 3．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于，试比较和的大小．        考点五、平行线中的角平分线 1．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 2．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分． 3．如图，已知，平分，试说明：． 考点六、三角形中线求面积 1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 2．如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 3．如图，在中，为边上的中线． (1)若的面积为4，则的面积为______； (2)若，比的周长多2，则______． 考点七、角平分线与高的夹角问题 1.如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 2.如图，在中，是边上的高，平分的平分线，若，，求的度数． 3．如图，在中，平分，，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 知识导图记忆 1．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 2．以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 6．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 7．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 8．如图，在中，是边上的中线，的面积是，则的面积为 ． 9．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 10．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 11．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 12．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 13．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 14．如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 15．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 三角形中的线段和角思维导图 知识点1 三角形的边和角 一、知识点梳理 1.三角形的定义与元素 三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。它有三个顶点、三条边和三个角。 2.三角形的分类 按边分，三角形可分为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和普通三角形（三条边都不相等）。按角分，三角形可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。 3.三角形的三边关系 对于任意一个三角形，其三边长度a、b、c满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 4.三角形的角度关系 三角形的三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。特殊地，等边三角形的三个内角均为60°，等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的两个锐角互余。 二、易错辨析 1.三角形的三边关系判断 在判断三条线段能否构成三角形时，只需判断两条短边的和是否大于第三边。如果大于第三边，则可以构成三角形。 2.三角形的高的画法 三角形每条边上仅有一条高，画高时要用虚线，并标出直角符号。锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为底和高，钝角三角形有一条高在三角形内部，两条高在三角形外部。 3.等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等。但等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，不能仅凭等腰就判断其角度类型。 三、概念比较 1.等边三角形与等腰三角形 等边三角形是三条边都相等的三角形，也是等腰三角形的一种特例。等腰三角形是两条边相等的三角形，但不一定三条边都相等。 2.直角三角形的勾股定理与普通三角形的三边关系 直角三角形满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。而普通三角形的三边关系则是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点2 三角形的中线、角平分线、高 一、概念比较 1.三角形中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段。一个三角形有三条中线，这三条中线都在三角形的内部，并交于一点，称为三角形的重心。每条中线将三角形分为面积相等的两个子三角形。 2.三角形角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段。三角形的角平分线是线段，而非射线。一个三角形有三条角平分线，它们的交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。 3.三角形高：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。一个三角形有三条高，它们可能位于三角形内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）或三角形外部（钝角三角形）。 二、易错辨析 1.角平分线与三角形的角平分线：角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是线段。在解题时，需明确区分这两个概念。 2.三角形的中线与高：中线是连接顶点和边中点的线段，而高是从顶点向对边作垂线得到的线段。在绘制和识别时，注意它们的方向和位置。 3.钝角三角形的高：钝角三角形的高可能位于三角形外部，这是初学者容易忽视的地方。在作图和分析时，需特别注意。 三、重点记忆 1.三角形的三条中线交于一点，称为重心。重心将每条中线分为两段，其中较长段是较短段的两倍（在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边的一半）。 2.三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。 3.三角形的高是从一个顶点向对边作垂线得到的线段。在锐角三角形中，所有高都在三角形内部；在直角三角形中，有两条高与直角边重合，另一条高是斜边上的高；在钝角三角形中，有两条高在三角形外部。 掌握这些知识点，有助于更好地理解三角形的性质和解决相关问题。 教材习题01 1．如图，点D是的边上任意一点，求证：．    证明：在中，， 在中，， ∴， 即． 教材习题02 如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． （1）解：如图所示：线段即为所求． （2）解：如图所示：线段即为所求． （3）解：如图所示：线段即为所求． 教材习题03 阅读下列材料，并完成相应的任务. 基本性质：三角形中线等分三角形的面积. 如图，是的边上的中线， 则 理由：过点作于点 ∵是的边上的中线. ∴又∵， ∴ ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务： （1）如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________. （2）如图，点是的边上任意一点，点分别是线段，的中点，且的面积为，请同学们借助上述结论求的面积. （1） 是的边BD上的中线 故答案为：； （2）点是线段的中点 是的边AD上的中线，CE是的边AD上的中线 点是线段的中点 是的边CE上的中线 故的面积为． 考点一、组成三角形的条件 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系， 直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； C．∵，∴能构成三角形，故该选项符合题意； D．∵，∴不能构成三角形．故该选项符合题意； 故选：C． 2．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、3，4，7， ∵， ∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15， ∵， ∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13， ∵， ∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11， ∵， ∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形． 故选：C． 考点二、比较边的大小 1．如图，已知平面上三点． (1)请画出图形 ①画直线；． ②画射线； ③画线段； (2)比较线段　 　线段（填“”“” “=”号），根据是 　 　． 【答案】(1)①见解析②见解析③见解析 (2)＞；三角形的两边之和大于第三边 【分析】（1）①根据直线的定义即可画直线AC； ②根据射线定义即可画射线BA； ③根据线段定义即可画线段BC； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：①直线AC． ②射线BA． ③线段BC． （2）解：AB+AC＞BC，根据：三角形的两边之和大于第三边． 故答案为：＞，三角形的两边之和大于第三边． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握线段的性质：两点之间线段最短． 2．如图，点P是△ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小． 【答案】AB+AC＞BP+CP，证明见解析． 【分析】首先延长BP交AC于点E，进而利用三角形三边关系比较得出即可． 【详解】解：延长BP交AC于点E． 在△ABE中 AB+AE＞BE=BP+PE 在△PEC中 PE+EC＞PC 相加得： AB+（AE+EC）+PE＞BP+PE+PC AB+AC＞BP+CP． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，作出正确的辅助线是解题关键． 3．如图，在平面内有不共线的三个点．    (1)按下列要求作图： 分别作直线、射线，连接． (2)思考：在线段上任取一点（不与点重合），连接． ①若分别是线段和的中点．则线段的长为______； ②比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查线段、射线及直线作图，涉及线段中点定义、三角形三边关系、线段和差倍分关系等，数形结合，表示出线段之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）根据直线、射线及线段作法直接作图即可得到答案； （2）①由线段中点定义，表示线段关系，利用线段和差关系求解即可得到答案；②根据图形表示出线段关系，再由三角形三边关系得到，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   直线、射线，连接即为所求； （2）解：如图所示：    ①分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：； ②解：， 理由如下： ，在中，由三边关系可得， ，即． 考点三、画三角形的中线、角平分线、高 1．按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作三角形的高线和中线，正确掌握钝角三角形高线作法是解题关键． （1）延长，过点A作即可； （2）找到中点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求． 2．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形． (1)将向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到；（的对应点分别为A、B、C） (2)线段与的关系 ； (3)画边上的中线和高线．（利用网格点和直尺画图） 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)见解析 【分析】本题考查了平移变换作图和平移的性质； （1）将A、B、C按平移条件找出它们的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）由平移的性质即可得到结论； （3）用直尺结合网格特点作图即可． 【详解】（1）如图所示， （2）由平移得性质可得：且； （3）边上的中线和高线如图所示； 3．如图，△ABC，按要求完成下列各题： ①画△ABC的中线CD； ②画△ABC的角平分线AE； ③画△ABC的高BF； ④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1 ． 【答案】见解析. 【详解】分析：（1）首先确定AB中点，再连接CD即可； （2）利用量角器∠A的度数，在算出平分时的角度，以A为端点画射线，与BC的交点记作E； （3）延长CA，利用直角三角板，一条直角边与AC重合，沿AC平移，是另一直角边过B，再以B为端点沿直角边画射线交CA得延长线于F； （4）在BF上截取BB1=3cm，再过A、C画BF的平行线，使AA1=CC1=BB1=3cm，然后再连接A1、B1、C1即可． 详解：如图所示： ． 点睛：此题主要考查了平移作图和复杂作图，关键是掌握三角形的高、角平分线、中线定义，正确确定A、B、C三点平移后对应点位置． 考点四、比较角的大小 1．如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    【答案】图①，图② 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，即可得出结果． 【详解】图①：解：∵， ∴． 图②：解：∵， ∴． 2．如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】根据三角形外角的定义及性质可知，解答即可．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 同理：， ∵，，， ∴． 3．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于，试比较和的大小．        【答案】 【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知．又因为，，所以． 【详解】解：∵、、为三角形的角平分线， ∴， ， ． ∴ ． ∴． 又∵，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为． 考点五、平行线中的角平分线 1．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 2．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定和性质，由垂直的定义得出，即可得出，由平行线的性质得出， ，再结合已知条件可得出，即可的证. 【详解】证明，（已知）， （垂直定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）， 即平分 3．如图，已知，平分，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，先证明，结合已知可得，再结合对顶角的性质可得结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 考点六、三角形中线求面积 1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， ． 2．如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形的面积． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点O，已知的面积为14， ∴． 又∵的面积为3， ∴． 【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积问题．解答该题时，需要利用“数形结合”的数学思想． 3．如图，在中，为边上的中线． (1)若的面积为4，则的面积为______； (2)若，比的周长多2，则______． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了三角形中线的应用，掌握相关结论是解题关键． （1）设边上的高为，根据、、即可求解； （2）根据、即可求解 【详解】（1）解：∵为边上的中线． ∴ 设边上的高为 ∴ ∵ ∴ 故答案为：2 （2）解： ∵为边上的中线． ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 考点七、角平分线与高的夹角问题 1．如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，是边上的高，平分的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和为，三角形的角平分线和高的定义是解题的关键．先利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，再利用高的定义得到，得到的度数，最后再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分的平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 3．如图，在中，平分，，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义等知识，熟知三角形内角和定理是解答此题的关键． （1）先证明，再由三角形内角和定理列式计算即可； （2）由角平分线的定义得，再由（1）可知，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的度数为； （2）解：∵平分，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 答：的度数为． 知识导图记忆 1．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 2．以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中较短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答． 【详解】A．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D．由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意． 故选：D． 3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 5．如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相同的两部分成为解题的关键． 根据是的中线得，同理可得，然后根据，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是上的一点， ∴， ∴． 故选C． 6．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键； 此题可根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 故答案为：（答案不唯一） 7．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 8．如图，在中，是边上的中线，的面积是，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是熟悉三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分的知识点．根据三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分即可求解． 【详解】解：∵中，是边上的中线，的面积是， ∴的面积为． 故答案为：12． 9．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 10．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 11．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 12．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 13．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． 14．如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 15．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$