专题05 一元一次不等式-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题05 一元一次不等式思维导图 核心考点聚焦 1. 不等式 2. 一元一次不等式的概念 3. 解一元一次不等式 4. 一元一次不等式组 5. 用一元一次不等式解决问题 一、不等式的概念 不等式是用“<”（或“≤”）,“>”（或“≥”）,≠连接的式子。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x>a，x≤a等；另一种是用数轴表示。 二、不等式的基本性质 1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 2. 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式的定义及解法 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 四、一元一次不等式组 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集是几个一元一次不等式的解集的公共部分。解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 五、一元一次不等式的应用 根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案。列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。 难点强化一、一元一次不等式(组)求参 1．若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 ． 3．已知关于x的方程的解是负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，解关于x的不等式． 难点强化二、一元一次不等式(组)的整数解 1．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是 ． 3．已知关于的不等式组 (1)若，求这个不等式组的解集； (2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围． 难点强化三、一元一次不等式(组)的最值 1．若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 2．已知三个实数满足． （1）若，则 （填“”或“”）； （2）若且，则的最小值是 ． 3．（1）已知非负数，，满足， ①请用含的式子分别表示，，并求出的取值范围； ②设，求的最大值与最小值； （2）已知正整数，，满足，，试求，，的值． 难点强化四、一元一次不等式(组)的有、无解 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 3．已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 难点强化五、一元一次不等式(组)与方程(组)结合 1．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 3．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)求这个方程组的解（用含m的式子表示）； (2)若这个方程组的解x，y满足成立，求m的取值范围． 难点强化六、一元一次不等式(组)的解决应用 1．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数最少是多少． 2．国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动． 平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． 平台B： 原总价 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． (1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买． (2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值． (3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案． 3．根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．    素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 难点强化七、一元一次不等式(组)的新定义应用 1．阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为：，的解集为：，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有：______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”． (1)下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 难点强化八、一元一次不等式(组)的取值范围 1．阅读下列材料： 解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1 又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围； （3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示） 2．阅读下列材料： 解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1 又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围； （3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示） 3．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”的过程如下： 解：，又，， 又，同理得： 由得，的取值范围是 请按照上述方法，解答下列问题： 若，且，，求的取值范围； 若，且，，求最大值． 真题感知 1．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组： 5．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组： (1) (2) 6．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 7．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 8．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次不等式思维导图 核心考点聚焦 1. 不等式 2. 一元一次不等式的概念 3. 解一元一次不等式 4. 一元一次不等式组 5. 用一元一次不等式解决问题 一、不等式的概念 不等式是用“<”（或“≤”）,“>”（或“≥”）,≠连接的式子。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x>a，x≤a等；另一种是用数轴表示。 二、不等式的基本性质 1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 2. 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式的定义及解法 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 四、一元一次不等式组 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集是几个一元一次不等式的解集的公共部分。解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 五、一元一次不等式的应用 根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案。列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。 难点强化一、一元一次不等式(组)求参 1．若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，进而根据意义得到，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， ， ， ， 故选：B 2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数不等号方向要改变．由不等式的解集为得且，将原不等式变形可得，结合两边除以可得答案． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集为， ∴且， ∵ ∴ ∴，解得， 故答案为：． 3．已知关于x的方程的解是负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求不等式的解集： （1）先求出方程的解，根据方程的解为负数，得到关于的不等式，进行求解即可； （2）根据解不等式的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵方程的解为负数， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 难点强化二、一元一次不等式(组)的整数解 1．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，根据不等式的解即可求解． 【详解】解：∵关于x的不等式只有3个正整数解，为，， ∴ 故选：A． 2．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集为，结合题意得出整数解为3、4、5，从而即可得出a的取值范围． 【详解】解：解得：， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为3、4、5， ∴， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 3．已知关于的不等式组 (1)若，求这个不等式组的解集； (2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据解集的情况求参数的范围： （1）先求解不等式组得到解集，然后将代入即可； （2）根据（1）求得的解集结合有3个整数解的条件即可解答． 【详解】（1）解：． 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴当时，， ∴不等式组的解集是． （2）∵不等式组的整数解共有3个， ∴由（1）可知： ∴整数解是，0，1， ∴， ∴的取值范围是． 难点强化三、一元一次不等式(组)的最值 1．若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性质等．熟练运用完全平方公式的变形是解题的关键． 先将式子化简为，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最小值为； 即的最大值为，最小值为， 它们的差为． 故选：D 2．已知三个实数满足． （1）若，则 （填“”或“”）； （2）若且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，不等式的性质； （1）根据题意可得，代入得出，根据，推出，即可求解； （2）根据题意得出，代入，进而根据不等式的性质，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴ ∵ ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴ ∴ ∵，, ∴时，的最小值是 故答案为：． 3．（1）已知非负数，，满足， ①请用含的式子分别表示，，并求出的取值范围； ②设，求的最大值与最小值； （2）已知正整数，，满足，，试求，，的值． 【答案】（1）①，；②的最小值为，最大值为；（2），， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式的性质，解二元一次方程，正确解方程和解不等式组是解题的关键． （1）①把x看做已知解方程即可求出y、z的值，再根据x、y、z均为非负数列出不等式组求出x的范围即可；②根据①所求结合用含x的式子表示出，再根据x的取值范围求出的取值范围即可得到答案； （2）根据，推出，则可求出，即，则，再由得到，据此求出b的值，进而求出c的值即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，都是非负数， ∴， 解得； ②∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为，最大值为； （2）∵正整数，，满足， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 难点强化四、一元一次不等式(组)的有、无解 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键．分别解不等式得出，，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 关于的一元一次不等式组有解， ， 解得：． 故选：D． 2．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得，， 故答案为：． 3．已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 难点强化五、一元一次不等式(组)与方程(组)结合 1．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，由不等式的解集得出，进而即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴且a为整数， ∴，，，， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：A． 2．若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至多有3个整数解， ∴， ∴， ， ， 解得， ∵方程有非负整数解， ∴（x为非负整数）， ∴，且为整数， ∴， ∴， ∵， ∴符合条件的所有整数a的值为：0，3，8， ∴符合条件的所有整数a的和是：． 故答案为：11． 3．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)求这个方程组的解（用含m的式子表示）； (2)若这个方程组的解x，y满足成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题为二元一次方程与不等式综合应用，考查了解含参数的二元一次方程组，解一元一次不等式等知识． （1）利用加减分即可求解； （2）把代入不等式得到，解一元一次不等式即可求解． 【详解】（1）解：， ①+②得：，解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵这个方程组的解x，y满足成立， ， 解得． 难点强化六、一元一次不等式(组)的解决应用 1．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数最少是多少． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)他平均每天的送件数最少是160件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出相应的方程组或不等式组． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，列方程组求解即可； （2）设他平均每天的送件数是m件，则他平均每天的揽件数是件，列不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得． 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是m件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得：， 解得：． 是正整数， 的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数最少是160件。 2．国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动． 平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． 平台B： 原总价 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． (1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买． (2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值． (3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案． 【答案】(1) (2) (3)当时，在平台上购买；当时，在平台上购买；当时，在两个平台上购买价格一样 【分析】（1）分别求出小李在两个平台购买的付款数量，再进行比较即可； （2）分别求出平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元，再根据“在两个平台上优惠后价格一样”列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元，当时，得，，然后分三种情况：若；若；若，分别求解即可． 【详解】（1）解：小李要买一件元的该品牌服装， 若选择平台购买，应付款：（元）， 若选择平台购买，应付款：（元）， ∵， ∴他应选择平台购买， 故答案为：； （2）平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴的值为． （3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元， 当时， ，， 若，则，解得：； 若，则，解得：； 若，则，解得：； 当时， ， ， ∴， 综上所述，当时，在平台上购买；当时，在平台上购买，当时，在两个平台上购买价格一样． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程及一元一次不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．    素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 【答案】任务1：A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；任务2：四种；任务3：6杯 【分析】任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，列出二元一次方程，可得，根据m，n均为正整数，即可求解； 任务3：设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料为b杯，则B的加料为杯，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，可得总花费为：，即可得，根据，可得，问题随之得解． 【详解】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元， 由题可知：， 解得：， 即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯， 则， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴解得：，，，， 即有共有四种方案； 任务3：买了6杯 设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯， ∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元， ∴总花费为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b是整数， ∴，， ∴（杯）． 【点睛】本题主要考查了二元次一方程组的应用，以及根据题意解二元一次方程等知识，问题的难点是任务三，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，列出总花费为：，是解答本题的关键． 难点强化七、一元一次不等式(组)的新定义应用 1．阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为：，的解集为：，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有：______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题考查了不等式组的解集定义、解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，正确理解“子方程”概念并求出不等式组的解集是解题关键． （1）分别解出方程①②③和不等式组，判断方程的解是否在不等式组解集的范围内即可； （2）先解关于x的方程，再将求得的x值代入不等式组的解集得到关于k的不等式组，解出即可． 【详解】（1）解：解方程①得： ， 解方程②得： ， 解方程③得： ， 解不等式组得： ， 和都在范围内， 不等式组的“子方程”有①③． 故答案为：①③． （2）解： ，   ， ， 由①得： ， 解得：， 由②得：  ， 解得： ， ， 把代入得： ， 由③得：  ， 解得：， 由④得： ， 解得： ， 的取值范围． 2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 【答案】(1)是； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义即可求解； （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义得出，然后求解集即可； （）由解不等式得，解不等式得，由得，根据“关联方程”定义得出，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由， ， ∴在范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， 故答案为：是； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由得， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：； （3）解： 解不等式得：， 解不等式得：， 由得， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”． (1)下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 【答案】(1)方程只与不等式②存在“完美解”，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程,解二元一次方程组等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解： 解得：； ①不等式的解集为，但不在该解集范围内； ②不等式的解集是，在该解集范围内； ③不等式组的解集是，但不在该解集范围内． 综上所述：方程只与不等式②存在“完美解”． （2）解：解方程组得： ，             ， ∵方程组的解是不等式组的“完美解”， ， ． 难点强化八、一元一次不等式(组)的取值范围 1．阅读下列材料： 解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1 又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围； （3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为3+2m． 【详解】试题分析：(1)、首先求出方程组的解，然后根据解为非负数得出a的取值范围；(2)、根据题意得出a=，然后根据a的取值范围得出b的取值范围，从而得出答案；(3)、根据a=m+b以及a的取值范围得出b的取值范围，然后得出最值. 试题解析：(1)、因为关于x、y的方程组的解都为非负数， 解得：，可得：， 解得：； (2)、由2a﹣b=1，可得：， 可得：，解得：， 所以； (3)、，所以，可得：， 可得：，同理可得：， 所以可得： 最大值为3+2m． 考点：不等式组的应用 2．阅读下列材料： 解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1 又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围； （3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为3+2m． 【详解】试题分析：(1)、首先求出方程组的解，然后根据解为非负数得出a的取值范围；(2)、根据题意得出a=，然后根据a的取值范围得出b的取值范围，从而得出答案；(3)、根据a=m+b以及a的取值范围得出b的取值范围，然后得出最值. 试题解析：(1)、因为关于x、y的方程组的解都为非负数， 解得：，可得：， 解得：； (2)、由2a﹣b=1，可得：， 可得：，解得：， 所以； (3)、，所以，可得：， 可得：，同理可得：， 所以可得： 最大值为3+2m． 考点：不等式组的应用 3．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”的过程如下： 解：，又，， 又，同理得： 由得，的取值范围是 请按照上述方法，解答下列问题： 若，且，，求的取值范围； 若，且，，求最大值． 【答案】(1)；(2)25. 【分析】利用题中方法得到，，然后把两个不等式相加得到的范围；先利用（1）方法得到，再利用b表示得到，然后利用一次函数的性质解决问题． 【详解】， ， ， ，解， 而， ， 同理可得， 得； 利用中的方法得到， 而， 当时，的值最大，最大值为25． 【点睛】本题是阅读理解题，类比题目中所给的运算方法解决问题是解决这类题目的基本思路. 真题感知 1．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 5．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组： （1）加减法解方程组即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，整数和为6 【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，； 由②得，， 移项得，， 解得，， ∴原不等式组的解为：， ∴所有整数解为：， ∴所有整数解的和为：． 7．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 8．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$