精品解析：2025年河南省鹤壁市中考数学调研试卷（5月份）

2025年河南省鹤壁市中考数学调研试卷（5月份） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 2025年《区域全面经济伙伴关系协定》（）正式生效满三年．据郑州海关统计，三年间，河南省项下599家进出口企业累计获关税减让6.6亿元，将数据“6.6亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 河南是名副其实的天下粮仓，“市场上三分之一的方便面、四分之一的馒头、五分之三的汤圆、十分之七的水饺都是河南生产的”，将“天下粮仓”写为篆书如下，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 如图所示，圆形转盘被等分成三个扇形，并分别标有数字，0，．随机转动转盘两次（指向边界处重转），转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（ ） A. B. 4 C. D. 4.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比小的正整数______． 12. 某气象局统计了甲、乙两座城市周一到周五的每日最高气温数据，两城市的平均最高气温都是10℃，则两座城市五天时间内每日最高气温更为稳定的是________（选填“甲”或“乙”）城市． 13. 不等式组的解集是________． 14. 如图所示，在单位长度为1的网格中，一段圆弧经过A，B，C三点，其中A，C为格点，点B在小正方形的边上，过的铅直格线是圆的切线，则的长为________． 15. 如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为________，最大值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年初，河南全省共发生电动自行车火灾96起，从已调查完毕起火原因看，绝大部分的火灾源于电动车夜间充电导致的电路故障；广大初中生作为电动车的使用群体之一，教会他们安全充电成为校园消防的重要任务．驻马店某中学制作了时长100分钟的电动车安全充电以及普及消防知识的教育视频并组织学生周末观看，政教处随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表． 部分学生观看教育视频时长频数分布表 组别 时长x/分钟 频数 A 20 B 40 C ▲ D 60 E 10 部分学生观看教育视频时长扇形统计图 结合以上信息，回答下列问题： （1）本次调查属于________调查，本次调查的样本容量为________； （2）样本数据的中位数落在________组； （3）根据调查结果，请你对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议． 18. 在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．求古塔的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，） 19. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 20. 盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元． （1）求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ （2）若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ （3）若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 21. 如图所示，在等腰中，，以为直径作，与边交于点P． （1）用无刻度直尺和圆规过点P作，垂足为Q（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，说明为切线； （3）若，，求的正切值． 22. 飞碟射击（图1），是一种用枪械射击抛在空中作为飞靶的圆形黏土碟的射击运动，在飞碟射击中，飞碟从前方的一个发射器发射出去，运动员需要从固定的站位射击飞碟．某次试验中，以飞碟发射器为坐标系原点O，横轴表示水平地面建立平面直角坐标系（图2）．飞碟的飞行路线可用抛物线刻画，其中t为飞碟弹出后的飞行时间，h为飞碟发射后距离水平地面的高度（子弹飞行时间忽略不计）． （1）飞碟发射________秒后能达到最大高度（用含有b的代数式表示）； （2）若飞碟发射1秒之后，飞行高度为，求抛物线的解析式； （3）在（2）的基础上，若规定运动员要在飞碟距离地面96米处将其击落，第一次瞄准后没有击发，该运动员说“我4秒后射击仍然可以将其击落”，请判断她的说法是否正确？ 23. 如图1所示，在，，，，D为斜边上不与端点重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接． 【初步探究】 （1）在点D的移动过程中，的度数发生变化吗？请说明理由． 【尝试应用】 （2）如图2所示，若为等腰三角形，请求出线段的长． 【深度求索】 （3）在（1）的基础上，若为直角三角形，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省鹤壁市中考数学调研试卷（5月份） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 2025年《区域全面经济伙伴关系协定》（）正式生效满三年．据郑州海关统计，三年间，河南省项下599家进出口企业累计获关税减让6.6亿元，将数据“6.6亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：6.6亿元． 故选D． 3. 河南是名副其实的天下粮仓，“市场上三分之一的方便面、四分之一的馒头、五分之三的汤圆、十分之七的水饺都是河南生产的”，将“天下粮仓”写为篆书如下，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形关于一条直线对折，左右两边能完全重合，则该图形就是轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法和乘法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法和乘法，合并同类项，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与根的关系是解答本题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：原方程整理得：， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：或， 故选：D． 7. 如图所示，圆形转盘被等分成三个扇形，并分别标有数字，0，．随机转动转盘两次（指向边界处重转），转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 0 共有9种等可能的结果，其中转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的结果有：，，，，共4种， ∴转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率为． 故选：B． 8. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．由菱形性质先判定，可得，所以．再由，可得，故，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10. 如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（ ） A. B. 4 C. D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比小的正整数______． 【答案】1或2． 【解析】 【分析】先估算出在哪两个整数之间，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴比小的正整数有1，2， 故答案为：1或2． 【点睛】题目主要考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟练运用用“夹逼法”估算无理数大小范围． 12. 某气象局统计了甲、乙两座城市周一到周五的每日最高气温数据，两城市的平均最高气温都是10℃，则两座城市五天时间内每日最高气温更为稳定的是________（选填“甲”或“乙”）城市． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查折线图，直接根据折线图的波动情况，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，甲城市的每日最高气温波动较小，乙城市的每日最高气温波动较大， 故两座城市五天时间内每日最高气温更为稳定的是甲； 故答案为：甲． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元一次不等式组的解法解答即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 如图所示，在单位长度为1的网格中，一段圆弧经过A，B，C三点，其中A，C为格点，点B在小正方形的边上，过的铅直格线是圆的切线，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的性质，垂径定理的应用，求解弧长，根据弦的垂直平分线的性质，切线的性质确定圆心，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，取格点，作直线， 由正方形的性质可得：是的垂直平分线， ∵过的铅直格线是圆的切线， ∴圆心是的交点， ∵，， ∴的长为， 故答案为： 15. 如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为________，最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，勾股定理，旋转性质，三角形中位线判定和性质三角形三边关系，是解题的关键． 求出，，取的中点O，连接，则，可得，得点P是在以点O为圆心，以长为半径的圆上运动，得的最小值为，最大值为． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵D为边的中点， ∴， 取的中点O，连接， 则， ∵P是的中点， ∴， ∴在绕点A旋转的过程中，点P是在以点O为圆心，以长为半径的圆上运动， ∵， ∴当点P在上时，取得最小值， 为； ∵， ∴当点P在延长线上时，取得最大值， 为． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数计算和分式混合运算，解题关键是熟练掌握相关法则，准确进行计算； （1）先求立方根、绝对值和零次幂，再计算加减即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 2025年初，河南全省共发生电动自行车火灾96起，从已调查完毕起火原因看，绝大部分的火灾源于电动车夜间充电导致的电路故障；广大初中生作为电动车的使用群体之一，教会他们安全充电成为校园消防的重要任务．驻马店某中学制作了时长100分钟的电动车安全充电以及普及消防知识的教育视频并组织学生周末观看，政教处随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表． 部分学生观看教育视频时长频数分布表 组别 时长x/分钟 频数 A 20 B 40 C ▲ D 60 E 10 部分学生观看教育视频时长扇形统计图 结合以上信息，回答下列问题： （1）本次调查属于________调查，本次调查的样本容量为________； （2）样本数据的中位数落在________组； （3）根据调查结果，请你对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议． 【答案】（1）抽样；200 （2）C （3） 从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间低于40分钟，说明学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，中位线等知识，解题的关键是： （1）根据抽样调查和普查的区别即可得出答案，根据B组频数除以B组所占百分比即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）提出一个合理建议即可． 【小问1详解】 解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为， 故答案为：抽样；200； 【小问2详解】 解：C组的频数为， ∵样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，，， ∴样本数据的中位数落在C组， 故答案为：C； 【小问3详解】 略 18. 在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．求古塔的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】古塔的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用．利用坡度比，在中，设，，由勾股定理列方程求解即可得到和，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：作于点，作交的延长线于点， 则四边形是矩形， 在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即， 解得（负值已舍）， ，， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 19. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，的最大值为，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，则，根据三角形的公式可求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值为， 此时点P的坐标为 20. 盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元． （1）求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ （2）若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ （3）若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元． （2）共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆； （3）购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得：，据此即可求解； （2）设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得：，即：；根据均为正整数，即可求解； （3）设利润为，则，可推出随着的增大而增大，据此即可求解； 【小问1详解】 解：设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得： ，解得：， ∴甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元． 【小问2详解】 解：设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得： ， 即： ∵均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆； 【小问3详解】 解：设利润为， 则， ∴随着的增大而增大， 故当时，元； 即：购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元. 21. 如图所示，在等腰中，，以为直径作，与边交于点P． （1）用无刻度直尺和圆规过点P作，垂足为Q（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，说明为切线； （3）若，，求的正切值． 【答案】（1）作图如图所示， （2）如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为切线； （3）的正切值为 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）证明，可推出结论； （3）根据直径所对的圆周角为直角得出，再根据等腰三角形三线合一的性质推出的长，再证明，推出，即可推出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如上图，连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的正切值为． 22. 飞碟射击（图1），是一种用枪械射击抛在空中作为飞靶的圆形黏土碟的射击运动，在飞碟射击中，飞碟从前方的一个发射器发射出去，运动员需要从固定的站位射击飞碟．某次试验中，以飞碟发射器为坐标系原点O，横轴表示水平地面建立平面直角坐标系（图2）．飞碟的飞行路线可用抛物线刻画，其中t为飞碟弹出后的飞行时间，h为飞碟发射后距离水平地面的高度（子弹飞行时间忽略不计）． （1）飞碟发射________秒后能达到最大高度（用含有b的代数式表示）； （2）若飞碟发射1秒之后，飞行高度为，求抛物线的解析式； （3）在（2）的基础上，若规定运动员要在飞碟距离地面96米处将其击落，第一次瞄准后没有击发，该运动员说“我4秒后射击仍然可以将其击落”，请判断她的说法是否正确？ 【答案】（1） （2） （3） 正确，理由如下： 由（2）得， 当时，， 解得：， ∵，间隔时间为4秒， ∴她的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解； （2）将代入，求出即可； （3）将代入，求出，即可求出时间间隔． 【小问1详解】 解：∵， ∴时，离地面的高度最大， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，将代入，得， 解得：， 故函数解析式为：； 【小问3详解】 略 23. 如图1所示，在，，，，D为斜边上不与端点重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接． 【初步探究】 （1）在点D的移动过程中，的度数发生变化吗？请说明理由． 【尝试应用】 （2）如图2所示，若为等腰三角形，请求出线段的长． 【深度求索】 （3）在（1）的基础上，若为直角三角形，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）在点D的移动过程中，的度数不会发生变化， 理由如下： 由折叠的性质得：， ∴， ∴在点D的移动过程中，的度数不会发生变化． （2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要查了折叠的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由折叠的性质以及三角形外角的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再由折叠的性质可得，即可解答； （3）根据勾股定理以及锐角三角函数可得，，从而得到，设，则，，然后分两种情况：当时，当时，解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （3）∵在，，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，此时， ∴， ∵， ∴， 解得：或0（舍去）， 此时； 当时，此时， ∴， ∵， ∴， 此时方程无解； 综上所述，线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $