湖南省长沙市周南中学2025届高三数学大题规范练（三）

湖南省长沙市周南中学2025届高三数学大题规范练（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 3．在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，． (1)求角的值； (2)求的取值范围． 4．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 5．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，其中点在第一象限，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于点，的内切圆圆心是半径是. (i)求证:圆心在一条定直线上； (ii)若求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《湖南省长沙市周南中学2025届高三数学大题规范练（三）》参考答案 1．(1) (2)无关联 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格中的数据和已知条件即可求出答案； （2）首先作出零假设，然后计算卡方值，然后与值作比较，进而可得到假设是否成立； （3）首先列出的可能取值，然后计算每个取值的概率值，进而可得到的分布列，最后可计算的数学期望. 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； （3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，根据线段长度将点的坐标表示出来，从而得到向量的坐标，最后求出两向量的数量积是否为0即可证明是否垂直. （2）根据建立的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 证明：因为， 所以 （2）设平面的法向量为， 则即 取，则. 易得平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 3．(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理边角互化，结合恒等变换得到，则求解； （2）设，，，则，，在中，由正弦定理得到，在中，利用正弦定理并化简得到，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由，得 整理得， 因为，所以， 由为三角形内角得； （2）设，，，则，， 中，由正弦定理得， 故， 中，由正弦定理得， 故    因为，所以时， 当，即时，*式；当，即时，*式， 故的取值范围为 4．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，构造，求导，确定最值即可求解； （2）由，得到，构造函数，通过三次求导确定其单调性，即可求证. 【详解】（1）由题知， 设， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，所以在上单调递增， 所以； （2）设， 所以函数在区间单调递减， ， 所以， 设， 令 ， 令 ， 当，，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在上为增函数， 在上为增函数， ，所以命题得证． 5．(1) (2)（i）证明过程见解析（ii） 【分析】（1）首先得，然后根据题意得，求出即可； （2）（i）联立椭圆方程与直线的方程，由韦达定理得，只需证明直线的斜率互为相反数即可；（ii）根据已知条件可得，由数量积为0可求出，进一步求出以及点到直线的距离即可. 【详解】（1）因为，所以，联立，解得， 所以，解得， 故所求为； （2）（i）联立椭圆方程与直线的方程， 得，设， 化简得， 所以， ， ， 设直线的斜率分别为， 所以 ， 故直线平分， 所以圆心在一条定直线上； （ii）如图所示，设，其中是垂足， 因为， 所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形是等腰直角三角形， 所以， 即 ， 解得或，满足， 但是当时，直线过点， 所以只能，此时， 点到直线的距离为， ， 故所求为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$