专题05 因式分解（考题猜想，易错压轴必刷48题12种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

专题05 因式分解（易错压轴必刷48题12种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 因式分解的概念 · 题型二 公因式 · 题型三 提公因式分解因式 · 题型四 平方差公式分解因式 · 题型五 完全平方公式分解因式 · 题型六 十字相乘法 · 题型七 分组分解法 · 题型八 因式分解的应用 · 题型九 因式分解求最值 · 题型十 因式分解的新定义问题 · 题型十一 因式分解的综合运用 · 题型十二 因式分解中配方法的运用 题型一 因式分解的概念 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 2．下列变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解”是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式来进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、结果是整式的乘积的形式，是分解因式，符合题意； D、结果中含有分式，不是分解因式，不符合题意； 故选：C． 4．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 题型二 公因式 5．与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解． 【详解】解：，，则公因式为； 故答案为：． 6．多项式的公因式是 ； 【答案】a 【分析】根据公因式的定义判断即可． 本题考查了公因式的定义，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：的公因式是a． 故答案为：a． 7．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找公因式，根据系数找最大公因数，字母找相同字母最低指数即可得到答案． 【详解】解：多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式， 故选：B． 8．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：D． 题型三 提公因式分解因式 9．已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 10．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将代数式进行因式分解，再利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式； 故答案为：12． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟记利用提公因式法分解因式的方法是解决问题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （3）利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四 平方差公式分解因式 13．是多项式______因式分解的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 14．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 15．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，根据平方差公式可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式把式子分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， 多项式的值都能被16整除． 题型五 完全平方公式分解因式 17．给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含有因式的多项式为：①②③，共3个， 故选C． 18．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的展开，根据对应项的系数相等是解题的关键． 把式子展开，根据对应项系数相等，得出的值． 【详解】， ， 故答案为： 19．因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式7，再利用平方差公式分解因式即可； （2）运用提公因式法分解因式即可； （3）利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先变形，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型六 十字相乘法 21．多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（    ） A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 故选∶A． 22．阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如， ，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 解决问题：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意得到，进而得到，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵，且， ∴的最大值为11， 故答案为：11． 23．【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为 【分析】本题主要考查公式法因式分解： （1）将组成为分解即可． 将拆项为分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式，利用非负性计算即可． 【详解】（1） （2）， ． ． ，，． ． 的周长为． 题型七 分组分解法 25．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 做分组分解法．例如， ②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍． (1)根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法_____； ②运用十字相乘法_____；_____； _____；_____； (2)已知a，b，c为三边长，，求的周长． 【答案】(1)①；②；；； (2)7 【分析】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）①将原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可； ②将原式利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②， 找两数乘积为，和为 7，即 9和， 分解为：； ， 将拆分为 和，满足乘积为’，和为， 分解为：； ， 令，转化为， 分解为：； ， 令，转化为， 分解为：； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ， ，，， ， 的周长为7． 26．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)①，，，②； (2) 【分析】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）①根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； ②先分组，然后 完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； （2）将两多项式相减得到，，的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 解：①原式 ； 故答案为：，，． ②原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 27．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 如：． ②拆项法： 如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法； ②用拆项法； (2)已知、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，得，平方差公式分解即可； ②根据题意，得，分解即可； （2）根据题意，得，根据非负性解答即可． 本题考查了分组法，拆项法分解因式，实数的非负性，熟练掌握方法，活用实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）① ； ② ． （2）根据题意，得， ∴， ∴， ∴， 故的周长为． 28．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 【答案】（1）①；②19；（2） 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用： （1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由，都是正整数，得，都是整数，且，结合求出a，b的值，代入计算可得答案； （2）将变形为，代入得，可得答案． 【详解】解：（1）① ； ②， ， ，都是正整数， ，都是整数，且， 又， ，或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （2）， ， ， ，， ， 整式的最小值为． 题型八 因式分解的应用 29．阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. 30．小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 【答案】；[发现]（答案不唯一）；[探究]见解析；[应用] 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解的应用，代数式求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将整式化简得到，得出，即可求出，即可得到答案； 根据“对称多项式”的定义即可得到答案； 和是两个连续的奇数，设，则，推出，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论； 根据题意得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， “○”表示的数为， 故答案为：； [发现] 根据“对称多项式”的定义得， 故答案为：（答案不唯一）； [探究] 和是两个连续的奇数，设，则， ， 是奇数， 是偶数， 设，则， ， 的值为的倍数； [应用] ， ， ； 的值为． 31．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】(1)， ， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 32．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思． （1）根据“优美数”的定义进行计算即可； （2）根据“优美数”的定义进行解答即可； （3）通过因式分解得，根据“优美数”的定义，列出k的方程求得k即可． 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 题型九 因式分解求最值 33．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为6 (3)，见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用． （1）由题意可得出答案； （2）根据例中的方法，求解即可； （3）求得，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 故答案为：2；． （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的最小值为6． （3）解：． 理由：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 34．阅读理解并解答： 我们把多项式 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数， 即 则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是； ， 是非负数，即 则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的x的值是 2 【知识再现】（1）当 时， 代数式 的最小值是 ； 【知识运用】 （2）若 ；当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； 【知识拓展】 （3）若 求的最小值． 【答案】（1）3，3；（2）1，大，；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得，则，即可求解． 【详解】解：（1）， ∵是非负数， 即， ∴， ∴当时， 代数式 的最小值是3， 故答案为：3，3； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 的最小值是． 35．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． (1)________；________；（为正整数）________； (2)若是正整数，①猜想的表达式；②若，求的值； (3)若，其中是整数，求的值． 【答案】(1)，1，1 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、一元一次方程的应用，理解题中的最佳分解的定义，建立方程求解是解此题的关键． （1）将、分别进行最佳分解求解即可； （2）根据最佳分解的定义，列方程求解即可； （3）根据最佳分解的定义，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是的最佳分解， ； ，， 是的最佳分解， ， 同理，， 故答案为：，1，1； （2）解：①，，与相差是最小的， 是的最佳分解， ； ②由题意得：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，符合题意， 故的值为4044； （3）解：由，可设（为整数），即， ， 有以下几种情况： ①当时，，解得，不符合题意，舍去； ②当时，，解得，不符合题意，舍去； ③当时，，解得，不符合题意，舍去； ④当时，，解得，不符合题意，舍去； ⑤当时，，解得，不符合题意，舍去； ⑥当时，，解得； ⑦当时，，无解； 综上所述，符合题意的的值为：． 36．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ， ， ， ，解得 ． 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当x、y分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为8 【分析】本题主要考查了非负数的性质，因式分解的意义，代数式求值： （1）仿照题意得到，进而求出，最后代值计算即可； （2）利用配方法把原式变形为，则，当且仅当时等号成立，据此求出当时，有最小值，最小值为8． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为8． 题型十 因式分解的新定义问题 37．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． (1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； (3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值． 【答案】(1)43，84 (2)见解析 (3)81或82或91或92或93 【分析】本题考查了因式分解的应用、解一元一次不等式、理解“翠屏数”的定义，并按照定义分析是解题的关键． （1）由 “翠屏数”的定义可得答案； （2）由题意可得：这个两位数是，它“翠屏数”是，从而可得，再证明即可； （3）根据题意可得：，从而可转化为：， 即，再由为正整数求解即可． 【详解】（1）由“翠屏数”的定义可得，34、48的“翠屏数”分别是43，84； 故答案为：43，84； （2）一个两位数，它的个位数字为a，十位数字为b， 这个两位数是，它“翠屏数”是， ， 为正整数， 能被11整除， 这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）x的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y， ， ， 可转化为：， 即， 为正整数， 或或或或， 符合条件的x的值为81或82或91或92或93 38．定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义新运算计算即可； （2）由，可得①，②，则①＋②×2得，即可得到结论； （3）先求得，，进一步得到，由得到，，又由即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ∴，， ∴①，②， ①＋②×2得，， ∴的值与m无关； （3），， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了新定义运算，用到了有理数混合运算、整式的乘法和因式分解等知识点，读懂题意，正确运算是解题的关键． 39．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【答案】(1)和， (2)的值为6或，多项式的“对称值”为或 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”； （2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”． 【详解】（1）解：， 当或时，， 多项式的“零值”为和， “对称值”为， 故答案为：和，； （2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等， 多项式是完全平方式， 即， 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为； 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为， 综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或． 40．定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）设， 则： ； ∴也是“对称数”． 题型十一 因式分解的综合运用 41．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 42．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． 仿照题干进行求解即可． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 43．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． （1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解． （2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解． （3）将和用含有，的式子表示出来即可得解． 【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （3），， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 44．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 题型十二 因式分解中配方法的运用 45．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 46．阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等． 例如：分解因式：． 解：原式 ． 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）先把多项式写成的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先根据长方形的面积公式，分别求出与，然后求出它们的差，从而比较其大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴ ， ∴． 47．【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)①；②时，S的值最大，最大值是9． 【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对M、N作差，可得，再利用平方的非负性解答即可； （3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． 48．浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)17 (3)当，时，该多项式有最小值，这个最小值为 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）利用题干提供的方法，先配方，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）先配方，把原式化成两个完全平方式和一个常数之和的形式，然后根据完全平方式的非负性求最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为 ， 所以当时，的值最大，最大值是17. （3） ， 取等号时，有， 解得， 所以当，时，该多项式有最小值，这个最小值为． $$ 专题05 因式分解（易错压轴必刷48题12种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 因式分解的概念 · 题型二 公因式 · 题型三 提公因式分解因式 · 题型四 平方差公式分解因式 · 题型五 完全平方公式分解因式 · 题型六 十字相乘法 · 题型七 分组分解法 · 题型八 因式分解的应用 · 题型九 因式分解求最值 · 题型十 因式分解的新定义问题 · 题型十一 因式分解的综合运用 · 题型十二 因式分解中配方法的运用 题型一 因式分解的概念 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 题型二 公因式 5．与的公因式是 ． 6．多项式的公因式是 ； 7．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 8．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型三 提公因式分解因式 9．已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 10．已知，，则代数式的值是 ． 11．分解因式： ． 12．分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型四 平方差公式分解因式 13．是多项式______因式分解的结果（    ） A． B． C． D． 14．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 15．已知，则的值为 ． 16．求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 题型五 完全平方公式分解因式 17．给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．若，则 ， ． 19．因式分解 (1)； (2)； (3) 20．分解因式： (1) (2) 题型六 十字相乘法 21．多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（    ） A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 22．阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如， ，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 解决问题：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为 ． 23．【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 题型七 分组分解法 25．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 做分组分解法．例如， ②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍． (1)根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法_____； ②运用十字相乘法_____；_____； _____；_____； (2)已知a，b，c为三边长，，求的周长． 26．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 27．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 如：． ②拆项法： 如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法； ②用拆项法； (2)已知、、为的三条边，，求的周长． 28．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 题型八 因式分解的应用 29．阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 30．小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 31．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 32．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 题型九 因式分解求最值 33．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 34．阅读理解并解答： 我们把多项式 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数， 即 则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是； ， 是非负数，即 则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的x的值是 2 【知识再现】（1）当 时， 代数式 的最小值是 ； 【知识运用】 （2）若 ；当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； 【知识拓展】 （3）若 求的最小值． 35．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． (1)________；________；（为正整数）________； (2)若是正整数，①猜想的表达式；②若，求的值； (3)若，其中是整数，求的值． 36．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ， ， ， ，解得 ． 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当x、y分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 题型十 因式分解的新定义问题 37．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． (1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； (3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值． 38．定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 39．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 40．定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 题型十一 因式分解的综合运用 41．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 42．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 43．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 44．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 题型十二 因式分解中配方法的运用 45．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 46．阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等． 例如：分解因式：． 解：原式 ． 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小） 47．【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 48．浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$