精品解析：江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

苏苑高级中学2024-2025学年第二学期 高一年级第二次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若m//α，n⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m⊥n，n⊂α，则m⊥α D. 若m⊥α，m//n，则n⊥α 4. 已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 6. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A. B. C. D. 7. 已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数， C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与平面向量反向共线的单位向量的坐标为__. 13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__. 14. 在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 16. 如图，在四面体中，，直线和所成的角为，平面与四面体的棱分别相交于点，且四边形恰为平行四边形． （1）求证：直线平面； （2）当平面变化时，求平行四边形的面积的最大值． 17. 如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 （1）求三棱锥E-PAD的体积； （2）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF 18. 已知锐角中，分别是角的对边，且. （1）求； （2）记的面积为S，求的取值范围． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏苑高级中学2024-2025学年第二学期 高一年级第二次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可得解. 【详解】， 则， 所以. 故选：B. 2. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 3. 设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若m//α，n⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m⊥n，n⊂α，则m⊥α D. 若m⊥α，m//n，则n⊥α 【答案】D 【解析】 【分析】 每个命题分别判断，可通过举例说明命题为假，如果为真说明理由即可． 【详解】中，还可能有异面，A错；B中相交、平行、异面都有可能，B错； C中仅仅垂直于平面中的一条直线，与斜交也都有可能，C错； ，则垂直于内所有直线，而，则也垂直于内所有直线，，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查直线、平面间的位置关系，掌握线线、线面、面面间的位置关系是解题关键． 4. 已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线， 故选：D. 5. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 【详解】因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高. 故选：D. 6. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理得，再由题设条件得到取值范围，进而得解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 7. 已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构建合适的直角坐标系并确定相关点坐标，设，，则，，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换、正弦型函数性质求最值. 【详解】依题意，如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，，则，， 可得 ，其中，， 因为，则，可得， 所以的最大值为6. 故选：B 8. 水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，，取的中点，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可． 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，， 则由题意等腰梯形全等于等腰梯形， 则． 取的中点，连接，因为，所以， 则， ． 因为，，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，所以平面，同理可证平面， 所以多面体的体积． 故选：D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数， C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据复数的乘方法则即可求解；对于B，利用复数除法法则化简，即可求解；对于C，利用复数乘方法则计算出，求出即可求解；对于D，证明复数对应的点到点和点两点的距离相等即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 所以，故B错误； 对于C，， 所以，所以复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C错误； 对于D，复数满足， 表示复数对应的点到点和点两点的距离相等， 所以在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求出的取值范围，结合可求出的取值范围；将以为轴旋转到与共面，得到，求出的长，即可得出的最小值，可判断D选项. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径. 对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误； 对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 即，当且仅当时，等号成立， 则三棱锥体积为：， 即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：因为，故， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， 又因为点与、不重合，则， 又，可得，故选项C错误； 对于选项D：因为，，， 由可得. 又，所以为等边三角形，则. 将以为轴旋转到与共面， 得到，则为等边三角形，. 如图，当、、三点共线时，取最小值. 因为，， 所以， ，故选项D正确. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行； C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值； D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积. 【详解】对于A，因为不在平面内，平面， 所以平面，又， 所以点到平面的距离为， 又为定值， 故定值，A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面， 同理可知平面， 又，平面， 所以平面平面， 由于平面，故平面，B正确. 对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形， 连接，交于点，此时最小，最小值即为的长， 过点作⊥，交的延长线于点， 其中， 故，又勾股定理得，C正确； 对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面， 四面体的外接球即正方体的外接球， 故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与平面向量反向共线的单位向量的坐标为__. 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的定义即可求解. 【详解】平面向量反向共线的单位向量的坐标为, 故答案为： 13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__. 【答案】## 【解析】 【分析】先确定所表示的图形，再确定所表示的几何意义，最后结合图形求出最小值. 【详解】设（），已知，根据复数模的计算公式， 可得，两边同时平方得. 这表示复平面内以原点为圆心，为半径的圆.  将代入，可得. 根据复数模的计算公式，，它表示复平面内点到点的距离.  点到圆心的距离为. 因为圆的半径为，所以点到圆上的点的距离的最小值为点到圆心的距离减去圆的半径，即. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正六棱锥的内切球的半径，分析题意可得要使正方体能在该正六棱锥内任意转动，则正方体的外接球直径不超过正六棱锥的内切球直径，进而求解即可. 【详解】由于正六棱锥的底面边长为1，高为，则侧棱长为2， 正六棱锥的底面积， 侧面面积， 正六棱锥的体积， 设正六棱锥的内切球的半径为， 则，解得， 设正方体的棱长为， 要使正方体能在该正六棱锥内任意转动， 则正方体的外接球直径不超过正六棱锥的内切球直径， 而正方体的外接球直径为其体对角线， 则，， 正方体的棱长的最大值为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解； （2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若与垂直，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：，， 若三点共线，则， 可得，解得或． 16. 如图，在四面体中，，直线和所成的角为，平面与四面体的棱分别相交于点，且四边形恰为平行四边形． （1）求证：直线平面； （2）当平面变化时，求平行四边形的面积的最大值． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ， 面，面， 面， 又面， 面面， ， 又面，面， 面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的推论证明线线平行，进而证明线面平行； （2）几何关系求出面积表达式，然后运用基本不等式求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，同理可证：， 或， 设，， 则四边形的面积， 由，得：， （当且仅当即，时，等号成立）， ， ． 17. 如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 （1）求三棱锥E-PAD的体积； （2）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF 【答案】（1） （2）平行，理由如下： 当点为的中点时，与平面平行． ∵在中，分别为、的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面； （3）∵⊥平面，平面， ∴，又，，平面， 平面.又平面，∴. 又，点是的中点，∴， 又,平面， ∴⊥平面. ∵平面，∴. 【解析】 【小问1详解】 三棱锥的体积＝＝·＝. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知锐角中，分别是角的对边，且. （1）求； （2）记的面积为S，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理化简目标式，再利用正弦定理边化角，结合正切函数及对勾函数单调性求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 两边平方得，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，由余弦定理得， 则， 由锐角，得，整理得， 而， 函数在上单调递增，则，， 令，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即， 所以的取值范围为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义，表示，，，，再相加，即可求解； （2）先根据题设中垂直关系结合点处的离散曲率求得、，然后过点作于点，利用线面垂直的判定定理得平面，即可求解点面距离. 【小问1详解】 根据离散曲率的定义得， ， ， 又因为 ， 所以； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，即 所以，所以，过点作于点， 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在△中，， 所以点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $