精品解析：2025年山东省青岛市初中学业水平考试——数学练习卷（三）

试卷类型：A 2025年青岛市初中学业水平考试 数学试题（三） （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 第十四届全国冬季运动会向全国征集会徽设计作品，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 4. 一个立体图形如图所示，从正面看所得到的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度再绕原点O旋转，得到，则点 A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，O为正方形的对角线的中点，为等边三角形．若 ，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过3650亿次．3650亿用科学记数法表示为______． 12. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.5 8.9 9.5 9.5 0.7 0.7 2.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______． 13. 如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为______． 14. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________． 15. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，B，过点A作轴于点C，连接，若的面积为12，则k的值为______． 16. 如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点落在G处，交于，连结、，下列结论： ①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．其中正确的是______ （写出所有正确结论的序号） 三、作图题（本大题满分4分） 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：；求作：菱形，使D为的中点，点F在边上，且G在内部． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中． 19. 在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． （1）投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ． （2）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 20. 为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． （1）求的距离(结果保留根号)． （2）一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)． 21. 近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了 A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析(评分用x表示，分为4个等级：不满意，比较满意 ，满意，非常满意)．下面给出了部分信息∶ 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中满意的数据∶84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据∶66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由(写出1条理由即可)． （3）在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，有240人对B款聊天机器人进行评分．估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人． 22. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 23. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）将下列命题填写完整，使命题成立(图中不再添加其他的点和线)． 当满足条件 时，四边形是矩形，并说明理由． 24. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； （3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 25. 如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． （1）求此二次函数的表达式． （2）已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． （3）已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025年青岛市初中学业水平考试 数学试题（三） （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数只有符号不同的两个数叫做相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 第十四届全国冬季运动会向全国征集会徽设计作品，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 故选：D． 3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论：当m=0，方程变形为-4x+2=0，一元一次方程有实数解；当m≠0，根据判别式的意义得到△=（-4）2-4m×2≥0，解得m≤2，然后综合两种情况即可． 【详解】当m=0，方程变形为-4x+2=0，方程的解为x=； 当m≠0，△=（-4）2-4m×2≥0，解得m≤2； 综上所知当m≤2时，方程有实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4. 一个立体图形如图所示，从正面看所得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形． 【详解】解：从正面看到的形状，如图： 故选：A． 5. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 6. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 7. 如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，将先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度再绕原点O旋转，得到，则点 A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律先求出平移后点A对应点的坐标，再根据绕原点旋转180度即相当于点A与点关于原点对称即可得到答案． 【详解】解；由题意得，点A的坐标为， ∴将先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度后点A对应点坐标为， ∴再绕原点O旋转，点 A的对应点的坐标是， 故选；B． 9. 如图，O为正方形的对角线的中点，为等边三角形．若 ，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在正方形中：，， ∴， ∵O为正方形对角线的中点， ∴， ∵为等边三角形, O为的中点， ∴，，则、、在同一直线上， ∴, ∴， 则， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过3650亿次．3650亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3650亿即365000000000， ， 故答案为： 12. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.5 8.9 9.5 9.5 0.7 0.7 2.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据题意可知，要选择平均数大且方差小的人参赛，据此可得答案． 【详解】解：从平均数来看，应从甲、丙、丁中选择一人参赛， 从方差来看，应该从甲、丁中选择一人参赛， 综上所述，应选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 13. 如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率，先画出树状图，找到符合条件的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：树状图如下： 由图可得，一共12种等可能的情况，两瓶恰好都变蓝的情况有2种， 概率为：， 故答案为：． 15. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，B，过点A作轴于点C，连接，若的面积为12，则k的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先联立两函数解析式得到，，则点A和点B关于原点对称，得到，进而可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：联立，解得或， ∴，， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 故答案为：12． 16. 如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点落在G处，交于，连结、，下列结论： ①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．其中正确的是______ （写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】过点F作于点M，易得，由折叠可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通过证明，即可判断①；由折叠可知，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角相等即可判断③；过点B作于点N，易通过证明，得到，，以此再通过证明，得到，则，即可判断④． 【详解】如图，过点F作于点M， 四边形为正方形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 由折叠可知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； 由折叠可知，， 设，则， 为中点， ， 在中，， ， 解得 ， ，， ， 即三边之比为，故②正确； 由折叠可知，， ， ，， ， ，故③正确； 如图，过点B作于点N， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形是解题关键． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：；求作：菱形，使D为的中点，点F在边上，且G在内部． 【答案】 解：如图，菱形即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图和线段的尺规作图，作线段的垂直平分线交线段于D，以B为圆心，的长为半径画弧交于F，分别以D、F为圆心，的长为半径画弧，二者交于点G，连接，则四边形即为所求． 【详解】略 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． （2）先把小括号内的两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后利用乘法分配律去括号，然后通分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） 由不等式①得， 由不等式②得，． 故不等式组的解集为． （2） ． 当时，原式． 19. 在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． （1）投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ． （2）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 【答案】（1）随机， （2）此游戏对三人是公平的 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）根据题意在表格内列举出所有情形，找出所有等可能的情况数，得出投掷两次，底面数字和为5的情况即可求解； （2）根据题意列出表格，分别求出三人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否． 【小问1详解】 解：投掷1次，底面数字出现3是随机事件； 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 从上表可知，共有12种等可能的情况，投掷两次，底面数字和为5的情况有4种， 故投掷两次，底面数字和为5的概率为， 故答案为：随机，； 【小问2详解】 由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为， 故此游戏对三人是公平的． 20. 为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． （1）求的距离(结果保留根号)． （2）一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题； （1）过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 的距离为； 【小问2详解】 解：延长交于点， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， 在中，， ， 米， 此时货车顶端到水平线的距离约为． 21. 近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了 A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析(评分用x表示，分为4个等级：不满意，比较满意 ，满意，非常满意)．下面给出了部分信息∶ 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中满意的数据∶84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据∶66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由(写出1条理由即可)． （3）在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，有240人对B款聊天机器人进行评分．估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】（1）15，88.5，98 （2） 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）． （3）66人 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）由A款AI评分数据中可知等级“满意”的有6份，则“满意”所占的百分比为，由评分统计表中可知，A款的“非常满意”所占百分比为，最后由扇形统计图可得出a的数据；把A款的评分数据从小到大排列找到中间两个数据求其平均值；B款数据中出现次数最多的就是众数． （2）比较两款的平均数、中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断． （3）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数． 【小问1详解】 解：由题意得，，即， 把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，89， 故中位数， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数； 故答案为：15，88.5，98； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有66人． 22. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】（1）1200元；1000元 （2）；购买A种书架8个，B种书架12个 （3）120 【解析】 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． 【小问2详解】 解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． 【小问3详解】 解：由题意得 ， 解得． 23. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）将下列命题填写完整，使命题成立(图中不再添加其他的点和线)． 当满足条件 时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 解：当满足条件时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）知四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴, ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． （1）由，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由，是的中点，利用三线合一，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； （3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． （1）求此二次函数的表达式． （2）已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． （3）已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三角形面积的计算方法等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用轴对称解决最短路径问题； （3）根据三角形面积计算方法结合二次函数求最值即可求解； 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， 二次函数的表达式为， 【小问2详解】 由（1）得二次函数的表达式为， 对称轴为直线， ，， 点关于对称轴的对称点为点，连接，则与对称轴的交点即为点，连接， 的周长的最小值为， ，，， ，， 周长最小值为 【小问3详解】 设的解析式为， 由题可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，过点作轴交与点， 则， ， ， 点在直线的下方，即， 当时，的面积有最大值，为， 面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $