专题2 期末复习题题组——解不等式（组）、新定义类　训练　2024—2025学年沪科版数学七年级下册　

专题2 期末复习题题组——解不等式（组）、新定义类（30题） （原卷版） 目录 类型1 解不等式 1 类型2 解与方程（组）有关的不等式 2 类型3 解不等式组 3 类型4 与新定义有关的不等式（组） 4 类型1 解不等式 1．（2025春白银期中）解不等式：﹣4x﹣1≥﹣2x+1，并把解集在数轴上表示出来． 2．（2025春嘉定区期中）解不等式：3（6x+7）≥8﹣2（5x﹣9）． 3．（2025东城区二模）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 4．（2025春霍邱县期中）已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式． （1）求m的值． （2）求出原一元一次不等式的解集． 5．（2025春杨浦区期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 6．（2025春西城区校级期中）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3），并写出它的非负整数解． 7．（2025春东方期中）当x取何值时，代数式的值满足下列要求？ （1）大于的值； （2）不大于的值； （3）是非负数； （4）不小于3． 8．（2025春昌平区期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式3的解集． （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 类型2 解与方程（组）有关的不等式 9．（2025春静安区校级期中）已知不等式的最大整数解是关于x的方程3m﹣（2+x）＝6的解，求m的值． 10．（2025春法库县期中）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＜2，求m的取值范围． 11．（2025春上海月考）关于x的方程的解是x＝1，求关于x的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 12．（2024春晋城期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x﹣3m＜5的一个解，求满足条件的整数m的最小值． 类型3 解不等式组 13．（2025春西城区校级期中）解不等式组． 14．（2025春颍上县期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15．（2025春白银期中）若关于x的不等式组的解集为0≤x＜1，求a+b的值． 16．（2025春蜀山区校级期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示． 17．（2025秦淮区二模）解不等式组，并写出它的最小整数解． 18．（2025春沙坪坝区校级期中）解不等式组：，并在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，且写出所有非负整数解． 19．（2025春桐柏县期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组的解集为﹣4＜x＜4，求m的值； （2）若该不等式组恰有2个整数解，求m的取值范围． 类型4 与新定义有关的不等式（组） 20．（2025春云溪区期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣m×n，如：1※2＝12×2﹣1×2＝0． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围． 21．（2025春朝阳期中）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+2＞0，方程的解为x＝2使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+2＞0的“梦想解”． （1）已知①；；③2（x+3）＜4；则方程3x+2＝5的解是它与①②③中的不等式　 　 的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组﹣1＜x+y＜4的“梦想解”，求m的整数解． 22．（2025春延庆区期中）给出如下定义：对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有m个整数，则称这两个不等式为“m﹣包含”．例如：对于不等式x≥2和x＜5，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“3﹣包含”． （1）判断不等式3+4x＞15和﹣2x+9＞﹣1是否是“2﹣包含”，并说明理由； （2）若不等式5x﹣k＞0和是“4﹣包含”，求k的取值范围； （3）若不等式x﹣1＞2m和x+3m＜20是“m﹣包含”，直接写出m的值． 23．（2025春龙凤区期中）定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b＝（a﹣b）b﹣1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2＝（1﹣2）×2﹣1＝﹣3． （1）求2⊕3的值． （2）若x⊕2＜7，求x的取值范围． （3）若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 24．（2025春临澧县期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①x﹣3＝0；②9x＝3中，不等式组的“相依方程”是 　①　 ；（填序号） （2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有7个整数解．试求m的取值范围． 25．（2025春皇姑区校级期中）若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：和不等式B：﹣1＜x≤5． ①不等式组A的解集中点值为　 　 ． ②不等式B对于不等式组A　 　 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 26．（2025春昌平区期中）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当n＝0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式x+1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）x是 　　 阶不等式；是 　　 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜… 如果是（m﹣3）阶不等式组，且关于x的方程2x﹣m＝0的解是的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围． 27．（2025春南阳期中）给出如下定义：能使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例如：方程3x﹣2＝1与不等式x+4＞0，方程的解x＝1，使得不等式x+4＞0也成立，则称“x＝1” 是方程3x﹣2＝1与不等式x+4＞0的“关联解”．解答下列问题： （1）判断是方程2x+3＝1与不等式（组）：①；②；③2（x+3）≤4；④． 的“关联解”的不等式（组）有　 　 （只填序号）； （2）如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝0与不等式1+2（x﹣a）≤b的“关联解”，那么a＝　 　 ，b的取值范围是 　 　 ； （3）若方程x﹣2y＝4与不等式组有“关联解”，求x+2y的取值范围． 28．（2024秋新田县期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 29．（2025春肥西县校级期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程2x﹣3＝1的解为x＝2，不等式x+3＞0的解集为x＞﹣3，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“完美解”． （1）下列不等式（组）：①2x﹣3＞3x﹣1，②，③中与方程2x+3＝1存在“完美解”的有哪些？并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 30．（2025春株洲期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“关联方程”，例如：x﹣1＝3的解为x＝4，不等式组的解集为3＜x＜6，不难发现x＝4在3＜x＜6的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①2（x﹣1）﹣x＝7；②；③﹣2x+4＝0中，是不等式组的“关联方程”的有　 　 ．（填序号） （2）关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 期末复习题题组——解不等式（组）、新定义类（30题） （解析版） 目录 类型1 解不等式 1 类型2 解与方程（组）有关的不等式 4 类型3 解不等式组 5 类型4 与新定义有关的不等式（组） 8 类型1 解不等式 1．（2025春白银期中）解不等式：﹣4x﹣1≥﹣2x+1，并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解：﹣4x﹣1≥﹣2x+1 移项得：﹣4x+2x≥1+1， 合并同类项得：﹣2x≥2， 系数化为1得：x≤﹣1， 数轴表示如下所示： 2．（2025春嘉定区期中）解不等式：3（6x+7）≥8﹣2（5x﹣9）． 【解答】解：3（6x+7）≥8﹣2（5x﹣9） 18x+21≥8﹣10x+18， ∴18x+10x≥8+18﹣21， ∴28x≥5， ∴x． 3．（2025东城区二模）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 【解答】解：去分母得，4（2x﹣1）≥3（3x+2）﹣12， 去括号得，8x﹣4≥9x+6﹣12， 移项得，8x﹣9x≥﹣6+4， 合并同类项得，﹣x≥﹣2， 系数化为1得，x≤2， ∴非负整数解为：0，1，2． 4．（2025春霍邱县期中）已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式． （1）求m的值． （2）求出原一元一次不等式的解集． 【解答】解：（1）根据题意|m+3|＝1且m+2≠0，解得m+3＝±1且m≠﹣2， 所以m＝﹣4． （2）原一元一次不等式为﹣2x﹣1＞2， 移项得﹣2x＞2+1， 合并同类项得﹣2x＞3， 解得． 5．（2025春杨浦区期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 【解答】解：由题知， ， 3x+2x+2≤12， 3x+2x≤12﹣2， 5x≤10， x≤2． 数轴表示如下： ． 6．（2025春西城区校级期中）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3），并写出它的非负整数解． 【解答】解：由题知， 3（2x+5）＞2（4x+3）， 6x+15＞8x+6， 6x﹣8x＞6﹣15， ﹣2x＞﹣9， x＜4.5， 则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4． 7．（2025春东方期中）当x取何值时，代数式的值满足下列要求？ （1）大于的值； （2）不大于的值； （3）是非负数； （4）不小于3． 【解答】解：（1）， 去分母得，3（2+x）＞2（2x﹣1）， 去括号得，6+3x＞4x﹣2， 移项的，3x﹣4x＞﹣2﹣6， 合并同类项得，﹣x＞﹣8， 系数化为1得，x＜1； （2）， 去分母得，3（2+x）≤2（2x﹣1）， 去括号得，6+3x≤4x﹣2， 移项的，3x﹣4x≤﹣2﹣6， 合并同类项得，﹣x≤﹣8， 系数化为1得，x≥1； （3））0， 去分母得，2+x≥0， 移项得，x≥﹣2； （4）3， 去分母得，2+x≥6， 移项得，x≥4． 8．（2025春昌平区期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式3的解集． （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 【解答】解：（1）由题意知3x﹣2（1﹣x）＞3， 3x﹣2+2x＞3， 3x+2x＞3+2， 5x＞5， x＞1； （2）∵0， ∴2m﹣3x＜0， 解得xm， 则m＝1， 解得m． 类型2 解与方程（组）有关的不等式 9．（2025春静安区校级期中）已知不等式的最大整数解是关于x的方程3m﹣（2+x）＝6的解，求m的值． 【解答】解：解不等式得：x＜3， 则该不等式组的最大整数解为x＝2， 将x＝2代入方程得：3m﹣4＝6， 解得m． 10．（2025春法库县期中）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＜2，求m的取值范围． 【解答】解：， ①+②得3x+3y＝3m﹣3， ∴x+y＝m﹣1， ∵x+y＜2， ∴m﹣1＜2， 解得m＜3， 即m的取值范围为m＜3． 11．（2025春上海月考）关于x的方程的解是x＝1，求关于x的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴﹣1+a， ∴a＝1， ∴关于x的不等式化为， 去分母得9x+2≥6， 移项得9x≥6﹣2， 合并得9x≥4， 系数化为1得x， ∴不等式的最小整数解为1． 12．（2024春晋城期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x﹣3m＜5的一个解，求满足条件的整数m的最小值． 【解答】解：原方程可化为：2（x﹣1）＝10﹣5（x+1）， 即7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1代入2x﹣3m＜5中，得2﹣3m＜5， 解不等式得：m＞﹣1， 所以整数m的最小值为0． 类型3 解不等式组 13．（2025春西城区校级期中）解不等式组． 【解答】解：由5x+2＞3x﹣3得：x， 由x﹣1≤3得：x≤2， 则不等式组的解集为x≤2． 14．（2025春颍上县期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解： 解不等式①，得x≥2， 解不等式②，得x＜4， 所以该不等式组的解集为2≤x＜4． 该不等式组的解集在数轴上表示如下： 15．（2025春白银期中）若关于x的不等式组的解集为0≤x＜1，求a+b的值． 【解答】解：解第一个不等式得x≥﹣2a+4 解第二个不等式得， 由条件可知﹣2a+4＝0，， 解得：a＝2，b＝﹣1， ∴a+b＝1． 16．（2025春蜀山区校级期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示． 【解答】解：解不等式4x+6≥3x+7，得x≥1； 解不等式，得x＜10， ∴不等式组的解集为1≤x＜10． 17．（2025秦淮区二模）解不等式组，并写出它的最小整数解． 【解答】解：， 解不等式①得，x≤4， 解不等式②得，x＞﹣1， 所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤4， 则不等式组的最小整数解为0． 18．（2025春沙坪坝区校级期中）解不等式组：，并在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，且写出所有非负整数解． 【解答】解： 由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜1， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜1， 将解集表示在数轴上如下： 不等式组的非负整数解为﹣2、﹣1、0． 19．（2025春桐柏县期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组的解集为﹣4＜x＜4，求m的值； （2）若该不等式组恰有2个整数解，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由不等式0.75x﹣1＜x得，x＞﹣4， 由不等式2x+1＜m得，x． 因为不等式组的解集为﹣4＜x＜4， 所以， 解得m＝9． （2）因为不等式组恰有2个整数解， 所以， 解得﹣3＜m≤﹣1． 类型4 与新定义有关的不等式（组） 20．（2025春云溪区期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣m×n，如：1※2＝12×2﹣1×2＝0． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围． 【解答】解：（1）（﹣2）※（﹣2）2（﹣2） ＝42 ＝6； （2）∵3※m≥﹣6， ∴9m﹣3m≥﹣6， 6m≥﹣6， 则m≥﹣1． 21．（2025春朝阳期中）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+2＞0，方程的解为x＝2使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+2＞0的“梦想解”． （1）已知①；；③2（x+3）＜4；则方程3x+2＝5的解是它与①②③中的不等式　 　 的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组﹣1＜x+y＜4的“梦想解”，求m的整数解． 【解答】解：（1）由题意，∵3x+2＝5， ∴x＝1．解①得：x＞1，故方程3x+2＝5解不是①的“梦想解”； 解②得：x＜7，故方程3x+2＝5解是②“梦想解”； 解③得：x＜﹣1，故方程3x+2＝5解不是③的“梦想解”； 即方程3x+2＝5的解是不等式②的“梦想解”． 故答案为：②． （2）由题意，解方程组， ∴②×2﹣①得，x＝m﹣12， ∴把x＝m﹣12代入②得，2m﹣24﹣y＝m﹣5， ∴y＝m﹣19． ∴x+y＝2m﹣31． ∵此解是该方程组与不等式组﹣1＜x+y＜4的“梦想解”，∴﹣1＜2m﹣31＜4， ∴15＜m． ∴m的整数解为16、17． 22．（2025春延庆区期中）给出如下定义：对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有m个整数，则称这两个不等式为“m﹣包含”．例如：对于不等式x≥2和x＜5，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“3﹣包含”． （1）判断不等式3+4x＞15和﹣2x+9＞﹣1是否是“2﹣包含”，并说明理由； （2）若不等式5x﹣k＞0和是“4﹣包含”，求k的取值范围； （3）若不等式x﹣1＞2m和x+3m＜20是“m﹣包含”，直接写出m的值． 【解答】解：（1）两个不等式不是“2﹣包含”，理由如下： 根据题意，得， 由①得，x＞3， 由②得，x＜5， ∴3＜x＜5， ∴满足条件的整数有：4，所以不符合定义， ∴两个不等式不是“2﹣包含”； （2）∵5x﹣k＞0的解集为， 的解集为x＜6， 不等式5x﹣k＞0和的为“4﹣包含”， ∴x＜6，x的值中有且仅有4个整数， ∴12， ∴k的取值范围是5≤k＜10； （3）解不等式x﹣1＞2m得x＞2m+1， 解不等式x+3m＜20得x＜20﹣3m， ∴2m+1＜x＜20﹣3m， ∵不等式x﹣1＞2m和x+3m＜20是“m﹣包含”， ∴20﹣3m﹣（2m+1）＝m+1， 解得m＝3， ∴m的值为3． 23．（2025春龙凤区期中）定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b＝（a﹣b）b﹣1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2＝（1﹣2）×2﹣1＝﹣3． （1）求2⊕3的值． （2）若x⊕2＜7，求x的取值范围． （3）若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）将a＝2、b＝3代入公式计算可得： 2⊕3＝（2﹣3）×3﹣1＝﹣4． （2））∵x⊕2＜7， ∴2（x﹣2）﹣1＜7， 解得：x＜6． （3）由题意，得：， 解不等式①，得：x≤4， 解不等式②，得：x， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这3个整数解为2、3、4， 则12， 解得：﹣4≤a＜2． 24．（2025春临澧县期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①x﹣3＝0；②9x＝3中，不等式组的“相依方程”是 　①　 ；（填序号） （2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有7个整数解．试求m的取值范围． 【解答】解：（1）方程①x﹣3＝0， 解得：x＝3， ②9x＝3， 解得：x， 不等式组 解得：2＜x≤5， 则方程①是不等式组的“相依方程”； 故答案为：①； （2）不等式组， 解得：﹣1＜x≤1， 方程3x﹣k＝6 解得：x， 代入得：﹣11， 解得：﹣9＜k≤﹣3． （3）解方程m， 得m，即x＝2m， 解不等式组， 解不等式①得，x＞m﹣1， 解不等式②得，x≤3m+1， ∴不等式组的解集为m﹣1＜x≤3m+1， ∵不等式组有7个整数解， ∴这7个整数解为m，m+1，m+2，m+3，m+4，m+5，m+6， ∴m+6≤3m+1＜m+7， 解m+6≤3m+1，得m， 解3m+1＜m+7，得m＜3， ∵方程是不等式组“相依方程”， ∴m﹣1＜2m3m+1， 解m﹣1＜2m，得m， 解2m3m+1，得m， ∴综合可得，m＜3． 25．（2025春皇姑区校级期中）若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：和不等式B：﹣1＜x≤5． ①不等式组A的解集中点值为　 　 ． ②不等式B对于不等式组A　 　 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【解答】解：（1）①， 解不等式①得：x＞4， 解不等式②得：x＜6， ∴4＜x＜6， ∴中点值为； 故答案为：5； ②∵x＝5在﹣1＜x≤5的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是； （2）， 解得：m﹣3＜x＜m+5， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：﹣4＜x＜6， 由题意可得： ﹣4＜m+1＜6， ∴﹣5＜m＜5． 26．（2025春昌平区期中）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当n＝0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式x+1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）x是 　　 阶不等式；是 　　 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜… 如果是（m﹣3）阶不等式组，且关于x的方程2x﹣m＝0的解是的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围． 【解答】解：（1）∵x没有正整数解， ∴x是0阶不等式； 由得1＜x＜3， ∴有1个正整数解， ∴是1阶不等式组， 故答案为：0，1； （2）解不等式组得：1≤x＜2a， 由题意得：x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴4＜2a≤5， 解得：2＜a≤2.5； （3）由题意得，m是正整数，且p≤x＜m有（m﹣3）个正整数解， ∴2＜p≤3，5， ∴m＝10． 27．（2025春南阳期中）给出如下定义：能使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例如：方程3x﹣2＝1与不等式x+4＞0，方程的解x＝1，使得不等式x+4＞0也成立，则称“x＝1” 是方程3x﹣2＝1与不等式x+4＞0的“关联解”．解答下列问题： （1）判断是方程2x+3＝1与不等式（组）：①；②；③2（x+3）≤4；④． 的“关联解”的不等式（组）有　 　 （只填序号）； （2）如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝0与不等式1+2（x﹣a）≤b的“关联解”，那么a＝　 　 ，b的取值范围是 　 　 ； （3）若方程x﹣2y＝4与不等式组有“关联解”，求x+2y的取值范围． 【解答】解：（1）解方程2x+3＝1，得x＝﹣1， 解①得x＜2，故x＝﹣1是方程2x+3＝1与不等式①的“关联解”； 解②得x＞7，故x＝﹣1不是方程2x+3＝1与不等式② 的“关联解”； 解③得x≤﹣1，则x＝﹣1是方程2x+3＝1与不等式 ③2（x+3）≤4的“关联解”；解④得2＜x＜5，则x＝﹣1不是方程2x+3＝1与不等式组④的“关联解”； 故答案为：①③； （2）根据题意可得：2×2﹣a＝0， 解得：a＝4， 解不等式1+2（x﹣a）≤b得：x，即， 解得：b≥﹣3； 故答案为：4；b≥﹣3； （3）方程x﹣2y＝4整理得x＝4+2y， ∵方程x﹣2y＝4与不等式组有“关联解”， ∴， ∴， ∵x+2y＝4+2y+2y＝4+4y， ∴2＜4+4y＜8， ∴2＜x+2y＜8． 28．（2024秋新田县期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【解答】解：（1）∵x＞2的解都不是x＜﹣3的解， ∴x＞2是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x＜﹣2的解有可能是x＜﹣3的解， ∴x＜﹣2不是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x≥﹣3的解都不是x＜﹣3的解， ∴x≥﹣3是x＜﹣3的“相斥不等式”； 故答案为：①③； （2）解不等式3x+a≤4得， 解不等式2﹣3x＜0得， 解不等式得x≥﹣2， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：a＞10； （3）∵x≥4是关于x的不等式kx+3＞0的“相斥不等式”， ∴k＜0， 解不等式kx+3＞0得， ∴4， 解得：k． 29．（2025春肥西县校级期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程2x﹣3＝1的解为x＝2，不等式x+3＞0的解集为x＞﹣3，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“完美解”． （1）下列不等式（组）：①2x﹣3＞3x﹣1，②，③中与方程2x+3＝1存在“完美解”的有哪些？并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 【解答】解：（1）解方程2x+3＝1，得x＝﹣1； ①∵不等式2x﹣3＞3x﹣1的解集为x＜﹣2， ∴﹣1不在该解集范围内； ②不等式的解集是x＜7； ③∵不等式组的解集是﹣1＜x≤3， ∴﹣1不在该解集范围内． 综上所述：方程2x+3＝1只与不等式②存在“完美解”． （2）解方程组得：， ∴x+y＝2m﹣31， ∵方程组的解是不等式组的“完美解”， ∴﹣1＜2m﹣31＜5， ∴15＜m＜18． 30．（2025春株洲期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“关联方程”，例如：x﹣1＝3的解为x＝4，不等式组的解集为3＜x＜6，不难发现x＝4在3＜x＜6的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①2（x﹣1）﹣x＝7；②；③﹣2x+4＝0中，是不等式组的“关联方程”的有　 　 ．（填序号） （2）关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【解答】解：（1）①2（x﹣1）﹣x＝7， 解得：x＝9， ②， 解得：x＝5， ③﹣2x+4＝0， 解得：x＝2， ， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x≤5， ∴原不等式组的解集为：1＜x≤5， ∴不等式组的“关联方程”的有：②③， 故答案为：②③； （2）， 解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x≤1， ∴原不等式组的解集为：﹣3≤x≤1， 2x﹣k＝6， 解得：x， ∵关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”， ∴﹣31， 解得﹣12≤k≤﹣4； （3）关于x的方程， 解得：x＝6m﹣7， ， 解不等式①得：x＞0， 解不等式②得：x≤3m+1， ∴原不等式组的解集为：0＜x≤3m+1， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴4≤3m+1＜5， 解得1， ∵关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴． 解得：m≤4， ∴m的取值范围是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$