19.2.3 一次函数与方程、不等式课件2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式 1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（重点、难点） 2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 学习目标 新课导入 观察与思考 　　今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”. 二元一次方程 一次函数 x+y=5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？ 新课讲解 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 　　问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1． 用函数的观点看： 解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函 数（y=ax +b）值为k 时对应的自变量的值． 2x +1=3 的解 y =2x+1 2x +1=0 的解 2x +1=-1 的解 合作探究 新课讲解 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y= kx+b 中，y=0时x的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 归纳总结 新课讲解 例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒， 由题意得2x+5=17 解得 x=6 答：再过6秒它的速度为17米/秒. 新课讲解 解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5 由2x+5=17 得 2x－12=0 由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6. O x y 6 －12 y=2x－12 新课讲解 　　问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ 　 （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 新课讲解 　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围； 　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围． 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 y =2 y =0 y =-1 新课讲解 例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y 新课讲解 解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2； x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y （2）由图象可知，当x>1时，y<3. （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 新课讲解 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围 从“函数值”看 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围 从“函数图象”看 一次函数与一元一次不等式的关系 归纳总结 新课讲解 问题3 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h． (1)请用解析式分别表示两个气 球所在位置的海拔 y(m)与气球 上升时间 x(min)的函数关系． h1 h2 气球1 海拔高度：y =x+5； 气球2 海拔高度：y =0.5x+15． 新课讲解 思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 一次函数 y =0.5x+15 二元一次方程 y -0.5x =15 二元一次方程 y =0.5x+15 用方程观点看 用函数观点看 　　从式子（数）角度看： 新课讲解 归纳总结 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 课堂小结 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 . 当堂小练 1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 . −3 y=kx+3 O y x 3 x=-3 2．若方程组 的解为 则一次函数y=2x+1与y=3x-1的图象交点坐标为______. (2,5) 当堂小练 3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( ) D 点拨：由图象知l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、 C.又 l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合． 拓展与延伸 4.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 1 2 B 1．(人教8下P96改编、北师8上P92改编)已知一次函数y=ax+b的图象如图所示： (1)关于x的方程ax+b=0的解是　　　　;  (2)关于x的方程ax+b=2的解是　　　　;  (3)关于x的方程ax+b=-1的解是 　 ． x=-4 x=0 x=-6 课后练习 2．一次函数y=x+3，当y=0时，x= 　 ，这条直线与x轴的交点是　　　　　，因此，方程x+3=0的解是　 　． -6 (-6，0) x=-6 3．(人教8下P96改编、北师8下P50改编)已知一次函数y=2x+2，利用图象解决下列问题： (1)当x为何值时，y>0，y=0，y<0? (2)当-3<x<0时，求y的取值范围; (3)当-2≤y≤2时，求x的取值范围． 解：(1)y=2x+2与x轴的交点为(-1，0)，由图象可知： 当x>-1时，y>0;当x=-1时，y=0;当x<-1时，y<0. (2)∵当x=-3时，y=-4，当x=0时，y=2， ∴当-3<x<0时，-4<y<2. (3)∵当y=-2时，x=-2，当y=2时，x=0， ∴当-2≤y≤2时，-2≤x≤0. 4．已知函数y=ax+b的图象如图所示． (1)方程ax+b=0的解是　　　 　;  (2)不等式ax+b>0的解集是　　　　;  (3)不等式ax+b≤0的解集是　　　　．  x=-3 x>-3 x≤-3 5．(2024江门期末)已知一次函数y=kx-4，当x=2时，y=-3． (1)求一次函数的解析式; (2)将该函数的图象向上平移6个单位长度，求平移后的图象与x轴的交点坐标． 解：(1)由已知得2k-4=-3，解得k=， ∴一次函数的解析式为y=x-4. (2)将直线y=x-4向上平移6个单位长度后得到的直线解析式是y=x+2， ∵当y=0时，x=-4， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标是(-4，0). 6．【例3】(运算能力)(2024长沙模拟)如图，已知直线l：y= -x+3分别与x轴，y轴交于点A和B． (1)求△AOB的面积; (2)求点O到直线l的距离． 解：(1)当x=0时，y=-x+3=3， ∴点B的坐标为(0，3). 当y=0时，-x+3=0，x=4， ∴点A的坐标为(4，0).∴OA=4，OB=3， ∴S△AOB=OA·OB=×4×3=6. (2)设点O到直线l的距离为h. 在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∠AOB=90°， ∴AB==5.由面积法可得h=， ∴点O到直线l的距离为. 7．(2024广东)已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是(　　) B 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，求不等式kx+b≤0的解集． 解：∵直线y=kx+b(k≠0)过(1，3)和(3，1)两点， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y=-x+4. ∵当y=0时，x=4，∴A(4，0)， ∴不等式kx+b≤0的解集为x≥4. ★9． (运算能力)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b交x轴于A(8，0)，交y轴于B，C为线段AO上一点，且S△ABC=16，P为直线AB上一动点，连接OP． (1)求直线AB的解析式; (2)是否存在这样的点P，使S△BOP=S△BOC?若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由． 0.50 解：(1)∵直线y=-x+b经过点A(8，0)， ∴-8+b=0，∴b=8，∴直线AB的解析式为y=-x+8. (2)存在.当x=0时，y=8，∴B(0，8). ∵S△ABC=16，∴×AC×8=16， ∴AC=4，∴OC=4，∴C(4，0). 设P(a，-a+8)，∴×8×|a|=×8×4， ∴a=4或-4，∴P(4，4)或P(-4，12). 请完成课本本节对应习题 布置作业 A. B. C. D. $$