19.2.3 一次函数与方程、不等式（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第19章 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（重点、难点） 2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 思考：y-2x=20是二元一次方程还是函数？ 一次函数的一般形式为 y=kx+b(k≠0). y-2x=20 y=2x+20 方程的角度 二元一次方程 函数的角度 一次函数 任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是都对应一条直线. 情景导入 思考：下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=﹣1. 探究点1：一次函数与一元一次方程 新知探究 1.从“数”的角度看： 一次函数问题 方程的解 2x+1=3 可以看作函数y=2x+1，当y=3时，求x的值 x=1 2x+1=0 可以看作函数y=2x+1，当y=0时，求x的值 x= 2x+1=﹣1 可以看作函数y=2x+1，当y=﹣1时，求x的值 x=﹣1 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 2x+1=3 在直线y=2x+1上取纵坐标为3的点，求其横坐标 2x+1=0 在直线y=2x+1上取纵坐标为0的点，求其横坐标 2x+1=﹣1 在直线y=2x+1上取纵坐标为﹣1的点，求其横坐标 从函数的角度看解一元一次方程ax+b=0 (a≠0)，相当于在一次函数y=ax+b (a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值. 从数的角度看： 求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解 一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值 从形的角度看： 求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解 求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标 数形结合 概念归纳 思考：下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜﹣1. 探究点2：一次函数与一元一次不等式 　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围； 　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围． 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 y =2 y =0 y =-1 问题3：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系. 分析：气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 从数的角度看：就是求自变量x(0≤x≤60)为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值. y=x+5 y=0.5x+15 联立 x-y=5 0.5x-y=-15 x=20 y=25 解得 这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 从形的角度看：同一坐标系下，两直线的交点坐标为(20, 25)，说明气球上升20min时，两气球都位于海拔25m的高度. 考虑下面两种移动电话计费方式： 方式一 方式二 月租费/(元/月) 30 0 本地通话费/(元/min) 0.30 0.40 用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 课堂练习 解：设通话时间为x min，若按“方式一”计费方式则收取费用y=30+0.3x，若按“方式二”计费方式则收取费用y=0.4x. 在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象： 得 x=300， y=120. 解方程组 y=30+0.3x， y=0.4x， 所以两图象交于点(300，120). 当x=300 时，30+0.3x=0.4x.即当一个月内通话时间等于300min时，选择两种计费方式费用相等. 1. [2024盐城期末]若直线y＝kx＋b的图象经过点(1，3)，则关于x的方程kx＋b＝3的解是(　　) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 A 分层练习 17 2. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x－1与直线y＝kx＋b(k≠0)相交于点P(2，3)．根据图象可知，关于x的方程2x－1＝kx＋b的解是(　　) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 B 18 3. 如图，直线y＝kx＋b分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴交于点A，B，若OA＝4，OB＝3，则关于x的不等式 kx＋b＞0的解集为(　　) A．x＞－3 B．x＞－4 C．x＜3 D．x＜4 19 【点方法】用图象法解不等式的步骤： 第一步：把不等式化为kx＋b>0或kx＋b<0的形式； 第二步：画出一次函数y＝kx＋b的图象； 第三步：找出图象与x轴交点的横坐标，不等式的解集就是比交点的横坐标大或小的x值的集合． 【答案】B 20 4. 在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，x与y的部分对应值如下表所示，则关于x的一元一次方程kx＋b＝3的解为_______. x＝0 x －2 －1 0 1 2 y 9 6 3 0 －3 21 5. [2024常州期末]如图，点A(－1，2)在一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象上，则不等式kx＋b＞2的解集是________． x＜－1 22 23 (2)求四边形OBEC的面积． 24 D 25 8. [2024北京四中期中]若函数y＝kx－b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x－3)－b＞0的解集为(　　) A．x＜1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜5 26 【点拨】将直线y＝kx－b向右平移3个单位长度即可得到直线y＝k(x－3)－b，如图所示，观察图象可知当x＜5时，直线y＝k(x－3)－b在x轴上方，故选D. 【答案】D 27 9. 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别交于点(2，0)，点(0，3)．有下列结论： ①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2； ②关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝0； ③当x＞2时，y＜0； ④当x＜0时，y＜3.则说法正确的有________． ①②③ 28 10.[2023北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(0，1)和点B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； 29 【解】n＝2. 30 11. 一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0，4)，C(－2，0)． (1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是________； x＞－2 31 (2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1. ①求点B的坐标； ②求a的值． 【解】将点B(1，6)的坐标代入y2＝－4x＋a， 得6＝－4×1＋a，解得a＝10. 32 12. [2024沈阳期末]某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数y＝－|x＋1|＋2确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． 33 (1)作出函数y＝－|x＋1|＋2的图象． ①列表： x … －4 －3 －2 －1 0 1 … y … －1 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； 1 34 ②描点：根据表格中的数据，请在如图的直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． 【解】函数图象如图所示． 35 (2)观察函数y＝－|x＋1|＋2的图象，回答下列问题： ①当x＝________时，函数y＝－|x＋1|＋2有最大值，最大值为________； ②方程－|x＋1|＋2＝－1的解是x＝________． －1 2 －4或2 【解】x的取值范围是－4≤x≤1. 36 37 1.一列火车以90 km/h的速度匀速前进．求它的行驶路程 s(单位：km) 关于行驶时间t(单位：h) 的函数解析式， 并画出函数图象． 解：s=90t (t≥0). 函数图象如图所示. 习题 2.函数y=－5x的图象在第_______象限内，经过点(0，__) 与点(1，_____)，y随x的增大而______. 二、四 0 －5 减小 3.一个弹簧不挂重物时长12 cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1 kg的物体后，弹簧伸长2 cm．求弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式． 解：设函数解析式为y=kx+b，由题意知点(0，12)，(1，14)满足函数解析式， ∴函数解析式为y=2x+12. 4.分别画出下列函数的图象： (1) y=4x； (2) y=4x＋1； (3) y=－4x＋1； (4) y=－4x－1. 解：函数图象如图所示. 5.在同一直角坐标系中，画出函数y=2x＋4与y=－2x＋4的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变化． 解：图象如图所示. 函数y=2x＋4，当x增大时y增大； 函数y=－2x＋4，当x增大时y减小. 6.已知一次函数y=kx+b，当x=2时y的值为4，当x=－2时y的值为－2，求k与b. 解：由题意得 7.已知一次函数的图象经过点(－4，9)和点(6，3)，求这个函数的解析式． 解：设函数解析式为y=kx+b， 由题意得 ∴函数解析式为 8.当自变量x取何值时，函数 与y=5x＋17的值相等？这个函数值是多少？ 解：根据题意，得 解得x=－6.4. 当x=－6.4时，y=5×(－6.4)+17=－15. 故当x=－6.4时，两函数的值相等，这个函数值是－15. 9.点P(x，y)在第一象限，且x＋y=8，点A的坐标为(6，0).设△OPA的面积为S． (1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围， 画出函数S的图象． 解：(1) 由题意得，点P到OA的距离为8－x. ∴S= 0＜x＜8. 图象如图所示. (2) 当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？ (2) 当x=5时，S=－3×5+24=9. (3) △OPA的面积不能大于24. ∵当0＜x＜8时，S随x的增大而减小. 而当x=0时，S=24，故△OPA的面积不能大于24. (3) △OPA的面积能大于24吗？为什么？ 10.不画图象，仅从函数解析式能否看出直线y=3x＋4与y=3x－4具有什么样的位置关系？ 解：直线y=3x＋4与y=3x－4平行. 11.从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3 min收费2.4元，超过3 min后每分加收1元. 写出通话费用y(单位：元)关于通话时间x(单位：min)的函数解析式. 有10元钱时，打一次电话最多可以通话多长时间？(本题中x取整数，不足1 min的通话时间按1 min计费. ) 解：由题意得 有10元钱时，打一次电话最多可以打10分钟. 12.(1) 当b＞0时，函数y=x＋b的图象经过哪几个象限？ (2) 当b＜0时，函数y=－x＋b的图象经过哪几个象限？ (3) 当k＞0时，函数y=kx＋1的图象经过哪几个象限？ (4) 当k＜0时，函数y=kx＋1的图象经过哪几个象限？ 解：(1)第一、二、三象限；(2)第二、三、四象限； (3)第一、二、三象限；(4)第一、二、四象限． 13.在同一直角坐标系中，画出函数 和y=5x＋17的图象. 并结合图象比较这两个函数的函数值的大小关系． 解：函数图象如图所示. 观察图象可得，当 时，函数 的函数值小于 y=5x＋17的 函数值. 当 时，函数 的函数值大于 y=5x＋17 的函数值. 当 时，两个函数的函数值相等. 14.图中的折线表示一骑车人离家的距离y与时刻x的关系.骑车人9:00离开家，15:00回家.请你根据这个折线图回答下列问题： x (1) 这个人何时离家最远？这时他离家多远？ 解：(1)由图象可知12:30~13:30这段时间离家最远，离家45 km. x (2) 何时他开始第一次休息？休息多长时间？这时他离家多远？ (2)10:30开始第一次休息，休息30min，离家30km. x (3) 11:00～12:30他骑了多少千米？ (3)15km. x (4) 他在9:00～10:30和10:30～12:30的平均速度各是多少？ (4)9:00～10:30的平均速度为20km/h，10:30～12:30的平均速度为15÷2=7.5（km/h）. x (5) 他返家时的平均速度是多少？ (5)他返家时的平均速度为 (km/h). x (6) 14:00时他离家多远？回家路上，何时他离家9km？ (6) 14:00时他离家多远18km. 设14:00~15:00内y关于x的函数解析式为y=kx+b. x 已知点(14，18)，(15，0)在函数图象上， ∴y=－18x+270. 当y=9时，x=14.5. 故当14:30时他离家9 km. 15.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折． (1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家 商场的让利方式写出y关于x 的函数解析式； 解：(1)设购买原件为x元的商品，到甲商场购物实际付钱y1元，到乙商场购物实际付钱y2元.则 y1=0.8x. (2)在同一直角坐标系中画出(1)中函数的图象； (2)函数图象如图所示. (3)春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ (3)当y1=y2时，解得x=600；当y1＞y2时，解得x＞600；当y1＜y2时，解得x＜600. 所以当消费额为600元时，到甲、乙两商场购物花费一样；当消费额大于600元时，到乙商场购物更省钱；当消费额小于600元时，到甲商场购物更省钱. 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 . 课堂小结 6．[2024大庆期中]如图，直线y＝kx＋b与坐标轴交于点A(0，2)，B(1，0)，直线y＝x－3与坐标轴交于点C，D．两直线的交点E的坐标为(2，－2)． (1)直接写出不等式kx＋b＞x－3的解集； 【解】不等式kx＋b＞x－3的解集是x＜2. 【解】在y＝x－3中，当x＝0时，y＝－3；当y＝0时，x＝6，∴点C的坐标是(0，－3)，点D的坐标是(6，0)． ∴OC＝3，OD＝6.∴S四边形OBEC＝S△DOC－S△DBE＝×6× 3－×(6－1)×2＝4. 7．[2024梅州期末]已知方程kx＋b＝0的解是x＝，则函数y＝kx＋b的图象可能是(　　) 【解】把点A(0，1)，B(1，2)的坐标分别代入y＝kx＋b(k≠0)， 得解得 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 由题意知点C的纵坐标为4，当y＝4时，x＝y－1＝3， ∴C(3，4)． (2)当x<3时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值． 【点拨】由(1)知当x＝3时，y＝x＋1＝4.∵当x<3时，函数y＝x＋n的值大于函数y＝x＋1的值且小于4，∴当函数 y＝x＋n过点(3，4)时满足题意．将点C(3，4)的坐标代入y＝x＋n，得4＝×3＋n，解得n＝2. 【解】∵点A(0，4)，C(－2，0)在一次函数y1＝kx＋b的图象上，∴解得∴一次函数的解析式为y1＝2x＋4. ∵不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1，∴点B的横坐标是1.当x＝1时，y1＝2×1＋4＝6.∴点B的坐标为(1，6). (3)已知直线y＝x－，请结合图象，直接写出满足不等式 x－≤－|x＋1|＋2的x的取值范围． 【点拨】画出直线y＝x－的图象如图．观察图象，不等式x－≤－|x＋1|＋2的x的 取值范围是－4≤x≤1. $$