湖南省部分学校2024-2025学年高三年级10月阶段检测联合考试数学试卷含答案

湖南省高三年级阶段检测联合考试 数学 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数（小题）， 同高考范围（大题）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合A={xx2-1=0},B={m,m若BcA,则m=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知角a的终边过点-1，V2, 则co3a=( 4. B 2w5 C.、3 D.-35 3 3 3 3.如图，圆O的半径为1，劣弧AB的长为，则阴影部分的面积为() Aπ5 34 B.π5 64 cπ-5 6 D.π5 6 2 4函数f八日 。的部分图象大致为() A B C 5.记某飞行器的最大速度v=(1-k)(1+T),若k不变，且y>y2,则T与T,的关系为( A.T>T B.T<T C.若k>1,则T>T；若k<1,则T<T D若k>1,则T<T；若k<1,则T>T 6.已知函数f(x)= ∫-x2+2,x<0,在R上单调递增， 则a的取值范围是() x-sinx,x 0 A.[0,+oo) B.[-1,0] c[-1 D.(-oo,0] 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=f(0),且f(x-1)是奇函数，则() Af(-1)=-1 B.f(0)=0 C.f1)=1 D.f(2)=2 8.已知关于x的方程2sinx+cosx=1在[0,2π)内有2个不同的解a,B,则cos(a-B)=() A.1 B.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=in(ux+p)(w>0,l<)的部分图象如图所示，则() Ap-君 B.f(x)是奇函数 C.(x)的最小正周期为2π D.使f(x)取得最小值的x的集合为 r=子+2ez》 10.已知b>1,a+2b-ab=0,下列结论正确的是( A.a>2 、6 B.a 4b a+2b +1的最小值是3 C.ab的最小值是8 D.1 的最小值是√反 a-2b-1 11.已知函数f(x)=x2-ar+1,g(x)=-hx.若max{,川表示m,n中的最大者，设函数 h(x)=max{f(x),g(x}(x>0),则下列结论正确的是() A.若h(x)没有零点，则a的取值范围为(-o,2) B若h(x)只有1个零点，则a的取值集合为{2} C.若h(x)有2个零点，则a的取值范围为(2，+o) D.a∈R,h(x)o 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)= 1og,1-x0则ff(-3刃= 2-1,x>0 13.将函数f(x)=sin （2x-君司的图象向左平移9>0)个单位长度，得到函数g()的图象。若 8(y的图象关于点（任0对称，则9的最小值为 14.已知函数f(x)= e-2x0若存在x<5,使得fs)=f(:),且x-5的最小值为1，则 x-a,x>0, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在锐角△4BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c.a=,血2C= 13ccosc (1)求A; (2)若simB=2V39 求△ABC的周长， 13 16.(15分) 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样，获得的数据 如下表 单位：人 男生 女生 球类 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立， (1)分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率： (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人喜 欢篮球的概率： (3)将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为P。,假设该校高一年级有500名男生和400名 女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为乃，试比较P。与乃的大 小（结论不要求证明） 17.(15分) 如图，在四棱台ABCD-A,B,CD中，底面ABCD是菱形 A D B A41平面ABCD,A4=48=AB=L,CG=V2A4 C (1)求四棱台ABCD-AB,C,D的体积： (2)求二面角B-CC-D的正弦值 C 18.(17分) 「已知椭圆E:二+1(>b>0)的左、右焦点分别为乃，乃，A为椭圆E上的动点， △AEE的面积的最大值为2√2，且点A到点F,的最短距离是2. (1)求椭圆E的标准方程： (2)过点F作斜率为k(0<k<2W6)的直线1，交椭圆E于M,N两点，交抛物线C:y2=4x 于P,2两点，且3MN+Pg=35,求直线1的方程 19.(17分) 已知函数f(x)=sinx+x2,设曲线y=f(x)与x轴负半轴相交于点P(x。,0),曲线y=f(x) 在点P处的切线为I, (1)证明：曲线y=f(x)上的点都不在直线的下方. (②若关于：的方程了)=加m《(m为负实数有两个不相等的实根，。，证明：①m>名 ②-小k智+1 高三年级阶段检测联合考试 数学参考答案 1.AA={-1,1}.因为BCA,所以m=-1. -1 2.C cos a= W(-1)2+(2)2 3 3B因为劣弧AB的长为号·所以a=景Se=r=号×号X1=吾S%w= 金，所以阴 影部分的面积为各 4.Df(x)的定义域为{xx≠士1且x≠0}，且f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数，排除A. 当0x<1时，0<x2<1,lnx2<0,f(x)<0,当x>1时，x2>1,lnx2>0,f(x)>0,排除B, C,故选D. 5.D因为u=(1-k)ln(1+T),所以T=e六-1.若k>1,则f(o)=e-1是减函数，因为 >w2,所以T<T2.若k<1,则f(o)=e户一1是增函数，因为>2，所以T>T2. 6.A因为f(x)在R上单调递增，且当x≥0时，f(x)=x一sinx单调递增，则需满足a≥0，即 a的范围是[0，十∞). 7.B因为f(x-1)为奇函数，所以f(x-1)=-f(-x一1)，所以f(x)的图象关于点（一1,0） 对称，f(-1)=0.因为f(x+1)+f(x-1)=f(0),所以f(x+3)+f(x+1)=f(0),两式相 减得f(x+3)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4.令x=1,得f(2)+f(0) =f(0),则f(2)=0.因为f(x)的周期为4，所以f(一2)=f(2)=0.因为f(x)的图象关于 点(-1,0)对称，所以f(0)=-f(-2)=0. 8.D因为2sinx+cosx=5sinr+p)=1(tang=）,所以sin(x十p)-后 5 由题意可得ina十p)=5,n(g+p)-5 因为a≠3，a∈[0,2π)，3∈[0,2π)，所以a十9十3十9=r,即a一3=π-2(3十9). cos(a-8-cos[r-2(B+p)]--cos2(B+)-2sin(B+p)-1--. 9.CD由图可得，f(x)的最小正周期为2π，所以w=1,C正确， f()=sin(否十9)=0，由图可得否十9=2kxk∈)，结合p<受，解得9=一若，A错误. 使f(x)取得最小值的x的集合为xx=一于十2k,k∈ZD正确。 f(x)既不是奇函数也不是偶函数，B错误. 10.ACD6=1计。22>1，解得a>2.A正确 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 品++1=+中%+>22%+-当且仅当。2 4b a+2b a=-2, 时，等号成立，解得a=0, 或 ,1均不符合b>1,B错误」 b=0b=2 由a+2b-ab=0,得ab=a+2b≥2√2ab=2√2·√ab,所以ab>8,当且仅当a=2b,即a 4,b=2时，等号成立，C正确. 由a+2h-b=0,得(a-2)6-1)-2.则。2十6≥2√2'6高 1.1 2√a26-可=，当且仅当。2=片，即a=2+厄，6=1+厄时，等号成立，D 正确 1.ABC f()图象的对称轴方程为x=受.当号<0，即a<0时，对任意x∈(0，十∞)，都有 f(x)>f(0)=1,所以h(x)≥f(x)>0,h(x)没有零点 令x2-ax十1=0，△=a2-4<0,解得-2<a<2. 当0<a<2时，f(x)>0,所以h(x)≥f(x)>0,h(x)没有零点. 当a=2时，f(x)=x2-2x+1. 当x≠1时，f(x)>0,所以h(x)≥f(x)>0: 当x-1时，h(1)=max{f(1),g(1)}=0,所以h(x)有1个零点. 当a>2时，2-a<0. 当x∈(0,1)时，h(x)≥g(x)>0;当x=1时，h(1)=max{f(1),g(1)}=max{0,2-a}=0: 当x∈(1，+∞)时，g(x)<0,f(1)=2-a<0,f(a)-1,所以f(x)在(1，十o∞)上有1个零 点，则h(x)在(1，十o)上有1个零点.所以h(x)有2个零点.设f(x)在(1，十∞)上的零点 为x1,则当x∈(1，x1)时，f(x)<0,所以当x∈(1，x1)时，h(x)<0,D错误. 综上，当a<2时，h(x)没有零点：当a=2时，h(x)有1个零点；当a>2时，h(x)有2个 零点 12.3因为f(-3)=log24=2,所以f(f(-3)=f(2)=22-1=3. 1B.号gx)=sin(2x+20-吾），由题意可得2X+20-吾=kx,k∈乙.即0=一吾+经，k∈ 乙.因为>0，所以0的最小值为于 14.2因为存在x1,x2,使得f(x)=f(x:),所以一a<-1,即a>1. 不妨设f(x1)=f(x2)=t∈(-2，-1]，则e-2=x2一a=t,即x=ln(t+2),x2=a十t,所 以x2-x1=a十t-ln(t+2). 设函数g)=a+1lnt+2》,则g()=1一2<0， 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 所以g(t)在(-2，-1门上单调递减，g(t)mm=g(-1)=a-1=1,解得a=2. 15.解：1)因为sin2C=2 sin Ceos C= ccosC..所以，c=2型 3 …2分 因为品AC所以si血A-号 2 4分 因为A为锐角，所以A= 3 *………*+*……*………+*……4……*…5分 (2)asin B4. …7分 sin A 在锐角△ABC中，a2=+2-26cosA,即13=16+c2-2X4cos否， 解得c=1或c=3.… …10分 当c=1时，0sB-十三<0，B为纯角，不符合题意。 Zac 当=3时，经验证，符合题意。…12分 故△ABC的周长为a十b十c=7+√13. 13分 400 16.解：(1)该校男生喜欢篮球的概率约为100十400亏， 4 2分 该校女生喜欢篮球的概率约为200十100一 200 2 4分 (2)3人中恰有2人喜欢篮球分两种情况，①仅有2名男生喜欢篮球，②仅有1名男生喜欢 篮球，1名女生喜欢篮球，…6分 所以3人中恰有2人喜欢篮球的概率约为》×1-号)+G×号×1-)×号-器 …10分 (3)p归<p0.…15分 17.解：(1)延长AA1,BB,CC1,DD交于点E,连接AC 因为A,品AB.AA=名AB所以卧器-治- =2,所以A,B,分别为EA,EB的 中点.同理，C,D1分别为EC,ED的中点。…2分 所以CC=√2，CE=2√2，AE=2. 因为AA⊥平面ABCD,所以AA,⊥AC, 所以AC-VCE一-AE=2=AB=BC,所以△ABC是等边三角形，所以∠ABC-于. …4分 Seum=25,S队4G4-写 2 四棱台ACD-A,BCD的体积为号×IX(2厅+号+25×号)- .…6分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 (2)取BC的中点F,连接AF. 以A为坐标原点，分别以直线AF,AD,AA:为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 则B.-1.0.C51.0.G(停2.D0,2.0. …8分 B 8C-02.0.CC-(号号-).0d=(51.0.… …9分 设平面BBCC的法向量为n=(,y,之)， n·BC=2y=0, nCt-号+m-= 则 取x1=2,则n=(2,0,3).…11分 设平面CCDD的法向量为m=(x2,y2,2), m·Cd=-3.x十2=0， 则 mCt-号+-=0， 取x2=√5，则m=(5,3,3).…13分 设二面角BCC1-D的大小为0(0≤≤π)， I cos =cos(m,n)= m。n m n …14分 sin 0=2/6 7 故二面角BCC-D的正弦值为2 71 15分 bc=2√2， 18.解：(1)由题意可得a一c=2, 解得a=3,b=2√2， 3分 a2=b2+2, 则椭圆E的标准方程为污+苦-1. 4分 (2)由(1)可知F2(1,0),设直线l的方程为x=my十1，…5分 y2=4r, 联立 整理得y2一4my一4=0，…6分 x=my+1, 则yp十yo=4m,从而xp十xQ=m(yp十yo)十2=4m2十2，…8分 故PQ|=xp十xQ十2=4m2十4.…9分 (x2+y 联立98二1整理得(8m十9》y十16my一64=0， 10分 x=my+1, 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 16n 则y十M=一8m+gM0yN= 64 8m2+9 11分 故MN=√m+·1w-w=Vm+百·√w+w)P=40N=68m+9 6 …13分 因为3MN1+PQ1=35,所以18 18 8m2+9+4m2+4=35, 整理得32m-68m-135=0,即(4m2+5)(8m2-27)=0,解得m=2 …15分 因为0<<6，所以m>得所以m-35, 16分 4 则直线1的方程为4x-3√6y-4=0. …17分 19.证明：(1)由题意可得sinx。十x=0. f(x)=cos x+2r,f(xo)=cos xo+2xo. 切线l的方程为y=(cosx十2.x0)(x-x). 2分 令函数g(x)=(cosx十2xo)(x-xa)-(sinx十x2),g(xo)=0. g'(x)=C0s0十20一c0sx-2x,g'(x0)=0.… 3分 令函数h(x)=g'(x),h'(x)=sinx一2<0，所以h(x)=g'(x)是减函数. 所以当x∈(-∞，x)时，g(x)>0,当x∈(xu,十∞)时，g'(x)<0, 所以g(x)在（一o∞，x)上单调递增，在(x0,十∞）上单调递减.…4分 g(x)≤g(xu)=0. 故曲线y=f(x)上的点都不在直线I的下方.…5分 (2)①由(1)得f(x)=cosx十2x. 令函数u(x)=f(x),则W'(x)=一sinx十2>0，所以u(x)=f(x)是增函数.…6分 f0)=1>0f(-2)=c0s2-1<0, 所以存在∈(-一号0），使得了x)=c0s。+2x,=0即后=o: 所以当x∈(-∞，x)时，f(x)<0,当x∈(xa,十oo)时，f(x)>0, 所以f(x)在（一o∞，.x3)上单调递减，在(x,十o∞）上单调递增.…8分 fx)≥fa)=snx十=inx十cos2x,=一}sim十sin+ …9分 因为x∈(-20)，所以sinx,>sim(-)>sim(-晋）=一2 所以f(x)>≥f(x)=- }im十n+>-×(-2)-2+}=-哥 故m> 16 …11分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 ②因为f-1D=sin(-1)+1>0,f(-)=sin(-若)+(g）<-2+(A)}'<0. 所以x∈(-1，一 12分 切线l的方程为y=(cosx。十2x)(x-xo). 曲线y=f(x)在点(0，O)处的切线为y=x. 13分 设直线y=m与y=(cos zo十2xo)(x一xo),y=x图象的交点的横坐标分别为x4,xs, 则x1=xo十 m osx0十2.z0=m. m x-<-=m-cos6+2xm+1- cos xo+2ro …15分 由①可得f()=cosx+2x是增函数，o∈(-1，-)， 所以c0sx0+2x>cos1-2>-1-2=-3,cosx十2xo<cos -<0， 因为m<0.所以cos+2云<号 所以-<m+1-cos+2z<m+1+号-智+1， 即西-x2<4W+1…17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】