精品解析：2025年山东省青岛市初中学业水平考试——数学练习卷（四）

试卷类型：A 2025年青岛市初中学业水平考试 数学试题（四） （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，90分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 由长方体和圆柱组成的几何体如图所示，其左视图是（ ）． A. B. C. D. 6. 在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了4个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ） A. 10 B. 16 C. 25 D. 30 7. 如图，在中，弦，相交于点P，若，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（ ）． A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，射击成绩的方差依次记为，则______（填“”“”或“”） 13. 如图，等腰中，，以A为圆心，以为半径作，再以为直径作，则恰好经过点A．图中阴影部分的面积是________．(结果保留) 14. 某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为万平方米，则可列方程为____________________． 15. 如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为_______． 16. 如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17. （1）若，求代数式的值； （2）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上． 18. 在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 19. 某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案： 方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球． 方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球． 对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由． 20. 为提高学生的安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，80分及以上为优秀，共分成4组：A．，B．，C．，D．），并给出下面部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据：84，85，87； 九年级抽取的学生竞赛成绩：68，77，76，98，80，100，83，86，95，91，100，86，85，94，86． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八 87 91 九 87 86 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______． （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级中，哪个年级对校园安全知识掌握得更好？请说明理由．（写出1条理由即可．） （3）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． 21. 某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 22. 如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆． （1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． （2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 23. 某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．该产品第1年正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润．据统计，此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系式． （1）该产品第1年的售价是多少？ （2）第2年该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场占有率，公司规定第2年的产品售价不低于第1年的售价，另外公司规定，该产品的年产量不能低于8万件．求该公司第2年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数表达式，并求利润至少为多少万元． 24. 如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）在上截取，连接，，，，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 25. 一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． （1）分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． （2）求铅球落到坡面上时与的水平距离． （3）铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 26. 如图①，在矩形中，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒． （1）当t为何值时，？ （2）设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． （3）存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025年青岛市初中学业水平考试 数学试题（四） （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，90分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-8×(-)=1，即可解答． 【详解】解：根据倒数的定义得：-8×(-)=1， 因此-8的倒数是-． 故选：C． 【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：20纳秒秒， 故选：A 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 由长方体和圆柱组成的几何体如图所示，其左视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：几何体的左视图是： ， 故选：B． 6. 在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了4个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ） A. 10 B. 16 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解， 所以， 故选：B． 7. 如图，在中，弦，相交于点P，若，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，同弧所对的圆周角相等，由三角形外角的定义和性质得出，再由同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵ ∴， 故选：A 8. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，． ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键． 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项C符合题意； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D不符合题意； 故选：C． 10. 如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（ ）． A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】先求解，，根据点运动的路径长为，，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值，同理求解，的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， 当时，由题意可知， ， 在中，由勾股定理得， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ∴， ， 如图，当时，由题意可知，， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中由勾股定理得， 中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，动态问题的函数图象，锐角三角函数的应用，运用了数形结合的思想解题是关键． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了负整指数幂与零指数幂，特殊角的三角函数值等知识，先计算负整指数幂与零指数幂，代入特殊角的三角函数值，最后再进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，射击成绩的方差依次记为，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．计算方差后比较即可得到答案． 【详解】； ； ； ； ∴， 故答案为：． 13. 如图，等腰中，，以A为圆心，以为半径作，再以为直径作，则恰好经过点A．图中阴影部分的面积是________．(结果保留) 【答案】## 【解析】 【分析】由图可知：，可根据各自的面积计算方法求出面积即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∴， ， ； 所以． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法，掌握割补法求面积是解题的关键．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 14. 某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为万平方米，则可列方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天绿化的面积为万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米，根据提前30天完成了任务建立方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为万平方米， 由题意得，， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，涉及到正方形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标． 16. 如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明，推出，当时，的值最小，即线段有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵D点在线段上运动， ∴当时，的值最小，即线段有最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴线段有最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17. （1）若，求代数式的值； （2）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）8； （2）， 把解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组以及在数轴表示出解集． （1）先对分式化简，再将变形成代入化简后的结果即可得出答案． （2）解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后在数轴表示即可． 【详解】解：（1） ＝ ＝ ＝． ∵， ∴， ∴原式． （2） 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 18. 在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由题意得是的直径， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，即平分； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例． （1）由三角形中位线定理以及平行线分线段成比例，证明，根据圆周角定理求得，推出是线段的垂直平分线，据此即可证明平分； （2）先求得，求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴． 19. 某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案： 方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球． 方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球． 对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由． 【答案】方案1，理由如下： 方案1： 第1个 第2个 红 红 黄 黄 黄 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄） 共有25种等可能的结果，摸到相同颜色的球的情况有13种， P（摸到相同颜色的球）＝． 方案2： 第1个 第2个 红 红 黄 黄 黄 红 — （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄） 红 （红，红） — （红，黄） （红，黄） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） — （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） — （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） — 共有20种等可能的结果，摸到相同颜色的球的情况有8种， P（摸到相同颜色的球）＝． ∵， ∴选择方案1更有可能获得精美礼品． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率；分别就两种方案列表，求出概率并比较即可作出方案选择． 【详解】略 20. 为提高学生的安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，80分及以上为优秀，共分成4组：A．，B．，C．，D．），并给出下面部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据：84，85，87； 九年级抽取的学生竞赛成绩：68，77，76，98，80，100，83，86，95，91，100，86，85，94，86． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八 87 91 九 87 86 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______． （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级中，哪个年级对校园安全知识掌握得更好？请说明理由．（写出1条理由即可．） （3）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． 【答案】（1）85；86； （2） 解：九年级对校园安全知识掌握得更好． 理由：九年级的中位数和优秀率都比八年级高． （3）200人 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据． （1）根据中位数的定义得出为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中分以上的个数除以，即可求出c； （2）根据中位数、众数、优秀率判定即可； （3）用人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中分以上的人数所占百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：由八年级于抽取名同学成绩，从小到大排列居于中间的是第个同学成绩，即为C组的中间数据85， 故； 九年级数据中86出现三次，次数最多， 故； 九年级分及以上的有人， 优秀率， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有200人． 21. 某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， 即， ∴． 又， ∴， ∴． 故大楼的高度约为米． 22. 如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆． （1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． （2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】（1）16， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【小问1详解】 解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． 【小问2详解】 ①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 23. 某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．该产品第1年正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润．据统计，此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系式． （1）该产品第1年的售价是多少？ （2）第2年该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场占有率，公司规定第2年的产品售价不低于第1年的售价，另外公司规定，该产品的年产量不能低于8万件．求该公司第2年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数表达式，并求利润至少为多少万元． 【答案】（1）16元/件 （2），万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据利润等于单件利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）根据该产品的年产量不能低于8万件列出不等式求出x的取值范围，根据利润等于单件利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解；由题意得， 整理得： 解得． 答：该产品第1年的售价是16元/件． 【小问2详解】 解：由题意得，且， ． ． ，抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取得最小值，． 答：该公司第年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数关系式为，利润至少为万元． 24. 如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）在上截取，连接，，，，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ， ． ， 四边形为平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ． ， 四边形是平行四边形． ，为的中点， ， 四边形为菱形． （2） 四边形是菱形．理由如下： 如图，连接，交于点． 四边形是菱形， ，，，． ， ， 即． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知菱形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）根据，可证明，则可证明四边形为平行四边形，可得，．再由线段中点的定义得到．则可证明四边形是平行四边形．由直角三角形的性质得到，则四边形为菱形． （2）连接，交于点．由菱形的性质得到，，，．再证明，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． （1）分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． （2）求铅球落到坡面上时与的水平距离． （3）铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 【答案】（1）； （2）m （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标是，且，据此把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；过点C作轴于H，则，设，则，故点C在直线上； （2）求出抛物线与直线在第一象限内的交点横坐标即可得到答案； （3）铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离等于二次函数的函数值减去一次函数的函数值，据此列出对应的函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，且， 设抛物线所对应的函数表达式为． ∵图象过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 如图所示，过点C作轴于H， ∵斜坡为射线，坡度． ∴在中，， 设，则， ∴点C在直线上， ∴斜坡所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解；联立得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴铅球落到坡面上时与的水平距离为m． 【小问3详解】 解：设落地前球与斜坡的铅垂线距离为， 由题意得． ∵， ∴当时，L最大，最大值为2． 故铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是． 26. 如图①，在矩形中，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒． （1）当t为何值时，？ （2）设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． （3）存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， （4）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、列函数解析式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由矩形的性质以及勾股定理可得，，再说明，再根据正弦的定义和已知条件列方程求解即可； （2）由余弦的定义可得，再根据列出函数解析式即可； （3）如图，过点Q作于点T，延长交于点S．再证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （4）当N是的中点时，．证明可得，即．再证明可得，，解得，进而完成解答． 【小问1详解】 解：点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度， ， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴， ， ∴． ∵，， ∴，解得． 【小问2详解】 解：，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ， ∴ ． 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知， ，，，如图，过点Q作于点T，延长交于点S， ∴， ∴，四边形、、是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ，，解得（舍去）． ， ∴当时，． 【小问4详解】 解： 由（1）（2）可知， ，，， 当N是的中点时，． 由题意可得：， ∴， ∴， ， ， ． 由题意可得：， ∴， ∴，，解得（舍去）． ∴当时，M，N，P三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $