三、常见的辅助线作法-【众相原创】2025年河北中考数学核心知识记背

三、常见的辅助线作法 14　 1.利用平行线求角度时常见的辅助线作法 作法 1: 作平行线 作法 2: 从拐点处 延长相交 结论 ∠ABC= ∠1+∠2 ∠ABC= 360°-∠1-∠2 ∠ABC= ∠2-∠1 2.与中点有关的辅助线作法 (1)特殊三角形中,已知中点,考虑中线 情形 1　 遇直角三角形斜边中点 情形 2　 遇等腰三角形底边中点 已知 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,D 为 AB 的中点 在△ABC 中,AB=AC,D 为底边 BC 的中点 图示及 辅助线 结论 CD=AD=BD= 1 2 AB AD⊥BC,AD 平分∠BAC (2)一般三角形中,已知中点,考虑中位线 情形 1　 已知两边中点 情形 2　 已知一边中点 已知 在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点 在△ABC 中,D 为 AB 的中点 图示及 辅助线 结论 DE∥BC,DE= 1 2 BC,△ADE∽△ABC AE=CE,DE= 1 2 BC,△ADE∽△ABC (3)已知过中点的垂线,考虑垂直平分线 已知 在△ABC 中,D 是边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且 DE⊥BC 图示及 辅助线 结论 DE 垂直平分 BC,BE=CE 众相原创·河北数学 15　 (4)已知中线或与中点有关的线段,考虑倍长中线构造全等三角形 已知 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线 图示及 辅助线 结论 △ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD,四边形 ABEC 是平行四边形 3.解直角三角形实际应用题中常见的辅助线作法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 4.平行四边形中常见的辅助线作法 作法 连接对角线 平移对角线 作高 连接对角线交 点与一边中点 连接顶点与 边上一点 连接顶点与边 延长线上一点 图示 结论 OA=OC, OB=OD 四边形 ACEB 为平行四边形 利用勾股定 理或等面积 法求解 OE 是△DBC 和 △CAD 的中位线 △FAE∽ △FCB △FAE∽△FBC ∽△CDE 5. “十”字模型中常见的辅助线作法 常见图形 变式图形及其 辅助线作法 结论 常见图形 辅助线作法 结论 (正方形) 左图:　 　 　 　 △ABF≌△DAE; 右图:　 　 　 　 △EMG≌△HNF (三角形) △BCD∽ △CAG (矩形) 左图:　 　 　 　 △DAE∽△ABF; 右图:　 　 　 　 △GEM∽△FHN (平行四边形) △MNF∽ △DBE 　 　 在正方形或者等腰直角三角形中常构造全等三角形,在其他特殊四边形中常构造相似三角形. 众相原创·河北数学 16　 6.构造辅助圆,解决复杂几何问题 模型 模型特点 构造辅助圆 图示 定点定长 模型 定弦对定 角模型 四点共圆 模型 情形一:动 点 到定点的距离 固定 如图 1,A 是定点,B 是动点,AB = r 固定,则 点 B 在以 A 为圆心,r 为半径的圆上 情形二:三 条 共端点的线段 相等 如图 2,AB = AC = AD,则点 B,C,D 都在以 A 为圆心,AB 为半径的圆上 线段固定,且 该线段所对的 角度固定 如图 3,AB 固定,C 为动点,且∠ACB = α,则 点 C 在以 AB 为弦,∠ACB=α 为圆周角的圆 上(点 C 不与点 A,B 重合) 对角互补的四 边形的四个顶 点共圆 如图 4,常考一组对角均为 90°,即组成共斜 边的两个直角三角形的四个顶点共圆 图 1 　 图 2 图 3 　 图 4 7.作轴对称,解决线段和最小值问题 模型 模型特点 解题方法 两定一 动型 两定:两定点 A,B 位于直线 l 的同侧􀪍􀪍; 一动:P 是直线 l 上的动点; 线段和:求 PA+PB 的最小值(或确定 PA+PB 的值最小时点 P 的位置) 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′,连接 A′B,则: ①A′B 的长即为 PA+PB 的最小值; ②A′B 与直线 l 的交点即为 PA+PB 的值最小时点 P 的 位置 一定两 动型 一定:P 是∠AOB 内􀪍的一个定点; 两动:M,N 分别是射线 OA,OB 上的 动点; 线段和:求△PMN 周长的最小值(或确 定△PMN 周长最小时点 M,N 的位置) 分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 P′,P″,连接 P′P″,则: ①P′P″的长即为△PMN 周长的最小值; ②P′P″与 OA,OB 的交点即为△PMN 周长最小时点 M,N 的位置 两定两 动型 两定:P,Q 是∠AOB 内􀪍的两个定点; 两动:M,N 分别是射线 OA,OB 上的 动点; 线段和:求四边形 PMNQ 周长的最小 值(或确定四边形 PMNQ 周长最小时 点 M,N 的位置) 分别作点 P 关于 OA 的对称点 P′,点Q 关于OB 的对称点 Q′,连接 P′Q′,则: ①P′Q′+PQ 的长即为四边形 PMNQ 周长的最小值; ②P′Q′与 OA,OB 的交点即为四边形 PMNQ 周长最小时 点 M,N 的位置 众相原创·河北数学