专题01 二次根式（知识&考点&公式&7高频&3易错&4重难，期中知识清单）九年级数学上学期新教材华东师大版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次根式 目录 思维导图 知识清单(4类) 识记类 考点清单(6类) 公式清单（⑧类） 辨析清单(5类) 田 高频题型清单(7类) 由题型类 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 国答题类 解题模型清单 答题技巧清单 识记类 思维导图 次根式的概念 形如Va(a≥0)的式子：被开方数a满足a≥0时有意义 二次根式的性质 ①（同-a:②v匠-@a6-v画：@8-后 最简二次根式 ①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式 二次根式 同类二次根式 化为最简后，被开方数相同的二次根式 二次根式的运算 乘除（性质③④）一加减（先化简、合并同类）一分母有理化一混合运算 考点与题型 有意义取值范围；最简判断；同类合并；化简求值：混合运算；隐含条件 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 识记类 知识清单 知识点01二次根式的概念 定义：一般地，我们把形如Va(a≥0)的式子叫做二次根式，“V口”称为二次根号，a叫做被开方数 本质：a表示a的算术平方根。 判定双重条件：①含有二次根号；②被开方数为非负数。 有意义条件： 1、单个二次根式，如Va有意义的条件是a≥0： 1 2二次根式作为分母时，如可后有意义的条件是Q0: 3、二次根式与分式相加，如Va+ 6有意义的条件是a≥0且b>0, 非负性：二次根式的值Va≥0（双重非负：被开方数非负且根式值非负）。 知识点02二次根式的性质 1、式子Va(a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根(Va≥0)，所以Va具有双重非负性： 2a}=aa≥0' 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身： √a2=lal a(a≥0) a(a<0) ,即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值， 知识点03最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次 果西二根元2侣地国=式 两条标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简目标：使每个二次根式化为最简二次根式（运算结果必须最简）。 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点04二次根式的运算 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： Va√b=√ab(a≥0，b≥0) 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 加减：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加，根式部分不变）。 分母有理化：①1=Va:② 1 Va-VB) aa Ya+b a-b 混合运算：类比整式运算，先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算；乘法公式（完全平方、平方差） 仍适用。 识记类 考点清单 考点 具体考查角度 考法提示 ①有意义的条件 求二次根式中被开方数字母的取值范 选择填空高频考点，注意被开 围，结合分式考查双重限制 方数≥0，分母≠0 ②二次根式判断 识别判断式子是否为二次根式，抓住 看清形式，必须带根号且被开 定义a(a≥0) 方数非负 判断最简二次根式；将二次根式化为 两个条件：被开方数不含分 ③最简二次根式 母，不含能开得尽方的因数或 最简二次根式 因式 ④同类二次根式 化简后判断同类二次根式：利用同类 先化成最简，再看被开方数是 二次根式求参数 否相同 ⑤混合运算 二次根式加减（先化简再合并）、乘 运算顺序同整式，结果必须化 除、四则混合运算，运算律适用 为最简二次根式 ⑥化简求值 先化简含二次根式代数式，再代入数 代入前优先化简，注意字母取 值计算；结合整体代入 值要保证根式有意义 识记类 公式清单 序号 公式 适用范围/说明 1 VaP=a a≥0 Va-lal 去根号先取绝对值 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 序号 公式 适用范围/说明 3 Va.Vb-Vab a≥0，b20 票8 a≥0，b>0 5 6日 分母有理化① 1 a-VB) 6 Va+b (a-bl 分母有理化② Va±b}=a±2Vab+b 完全平方 8 [Va+VB):Va-VB)=a-b 平方差 识记类 辨析清单 易混点 关键区别 说明 四a与Va 前者=a(a≥0)；后者al(a可为负) 去根号时先定符号 最简是“单个根式”标准：同类是“多 (2)最简与同类 先化简再判同类 个根式”关系 (3)a与a 前者al恒非负；后者要求a≥0 判断被开方数范围 (4性质③④正逆用 正用=合并；逆用=化简 化简常用逆用 (5)分母不能为0 除法/分数中被开方数为0要当心 被开方数>0（分母位置） 题型类 高频题型清单 【题型一】二次根式的识别与有意义的条件 【例1】(25-26八年级下·广西梧州期中)下列各式中，一定属于二次根式的是（) A.V-2025 B.3 c.2 D.Va 【变式1-1】(25-26八年级下·重庆巴南期中)下列式子中，一定是二次根式的是() A.X+1 B.27 C.-2 D.x 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变武1-2】(24,25八年级下黑龙江绥化期中)式子2x+ 有意义的x的取值范围是 x+1 【变式1-3】(24-25八年级下，福建厦门期中)使Vx-1有意义的x的取值范围是() A.x≥1 B.X<1 C.x>-1 D.x≤1 【题型二】最简二次根式判定与化为最简二次根式 【例2】(24-25八年级下·广东广州·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.4 B.11 1 c.3 D.V8 【变式2-1】(24-25八年级下·安徽安庆·期末)下列二次根式中，属于最简二次根式的是() B.V12 c.0.1 D.V2 【变式2-2】(24-25八年级下·湖北随州·期末)若最简二次根式Va能与V28合并，则a可以是() A.4 B.5 C.7 D.14 【变式2-3】(24-25八年级下·福建莆田·期中)下列式子是最简二次根式的是() A.4 B.3 c.V9 1 D.2 【题型三】利用二次根式的性质化简 【例3】(25-26八年级上福建宁德期中)已知x,y是正整数，若 3 整数，则满足条件的有序 实数对x,y是 【变式3-1】(25-26八年级上：上海杨浦：期中)甲、乙两位同学将二次根式a变形的过程如下， 甲：a=a'a=aVa=a 乙：Va=-a-a=-a-a=-a 5/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由此，两位同学共同得到“任何实数a都等于它的相反数-a”的结论. 两位同学关于Va的变形过程， 首次出现共同错误的地方是() A.第一个等号后 B.第二个等号后 C.第三个等号后 D.两位同学都没错 【变式3-2】(25-26八年级上上海期中)己知。与b是非零实数，且满足a>b化简：-ab_一 【变式3-3】(23-24七年级下·贵州遵义期末)已知V0.3820.618,3.82≈1.954，则V382≈ 【题型四】二次根式的加减运算 【例4】(25-26八年级上上海青浦期中)计算：V18a- 3 3a Y a 【变式4-1】(25-26八年级上广东茂名·期中)计算： 02-492 (2) 20+5+只3+y23-2. 95 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中)计算： 7-亚+得 (2②)3x6-8÷V2 【变式4-3】(25-26八年级上·甘肃兰州·期中)计算： 亚-得 ②5+315-3-3-1 【题型五】二次根式的乘除运算 【例5】(25-26八年级上上海虹口期中)计算：V27÷3- 3 ×只V18+V24. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-1】(25.26八年级上上海奉贤期中)计第：227×5：23= 3 【变式5-2】(25-26八年级上·河南平顶山期中)计算下列各题： (1/8+32-V2 明55号 【变式5-3】(25-26八年级上·湖南岳阳·期中)计算： 022×5:5V2; 4 ②2024-n°+92+2-3-(。 【题型六】二次根式的混合运算 【例6】(（25-26八年级上·陕西西安期中)计算： ×V24: (21+V51川RV5-2- V12+93 3 【变式6-1】(25-26八年级上广东河源期中)计算：3-2+2 x32-V36. 【变式6-2】(25-26八年级上重庆期中)计算： u-6月 ②V13+3/3-31+2+27 3 【变式6-3】(25-26八年级上·甘肃酒泉·期中)计算： R54×}+应 20+5-1 (2) 1-23-5-35+3) 【题型七】化简求值 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例7】(24-25八年级上上海期中)已知fx=X+1:则f2 【变式7-1】(24-25八年级上·上海徐汇·期中)当a=1时，化简代数式a-1+ a2+9-6 并求代数式 Ya-1 a 的值 【变式7-2】(24-25八年级下·四川德阳·期中)已知y=4, 那么x货+ 的值是 【变式7-3】(24-25八年级下·安微六安阶段检测)已知m=2V2-1,n=2V2+1,求下列代数式的值. (1) mn+mn2: (②m2+2-mn 题型类 易错题型清单 【题型一】去根号忘绝对值 【例1】（23-24八年级下-山东聊城期中)若x<-1则2x-1+X+2x+1等于（） A.1-x B.X-2 C.3 D.-3X 【变式1-1(25-26八年级下-广东汕头期中)已知(a-2}2+b-1=0,则号= b 【变式12】223人华级下古排整原期)如果x+y=5,w=1,那么X长y有产 【变式1-3】(2023广西防城港.一模)实数α，b在数轴上的位置如图所示，化简： (a+1Y+b-1-(a+bP=- a-10b1 【题型二】二次根式有意义的条件忽略分母≠0 1 【例2】(25-26八年级下-江西南昌：期中)使函数y=X-2有意义的x的取值范围是( A.x>2 B.X≥2 C.x<2 D.X≤2 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(26-27九年级上四川期中)若3-x_3-x,则的取值范围是 Vx-2 9x-2 2026 【变式2-2】(25-26八年级下山东日照：期中)若6一x有意义，则实数x的取值范围是 【变式2-3】(25-26八年级下-河南周口期中)若m+2_Vm+2成立，则的值可以是（) m 3-m 3-m A.-3 B.-2 C.3 D.4 【题型三】未先化简判同类 【例3】(25-26八年级上上海静安·期中)下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（) A.27ab和12a B.5V2x和53x C.xy和Xy D.a和 【变式3-1】(25-26八年级上·上海闵行期中)下列各式中，与12是同类二次根式的是（) A.V0.3 B.8 C.V24 D.V75 【变式3-2】2425八年级下安徽早阳阶段检测)若32与只m可以合并成一项，则m的值可能是（） A.50 B.15 C.0.5 D. 1-5 【变式3-3】(24-25八年级上·北京顺义·期中)下列二次根式中，是同类二次根式的是（) A.V8与/12 B.3X与/27x D.Va2b与ab 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型类 重难题型清单 【题型一】双重非负性求值 【例1】(25-26八年级上上海期中)若y=-3+3-x+1,则(x+y川= 变式1)(25-26八年级上上海期中)已知，y为实数，4+V4-x+ x-2 一，则V8y的平方 根是 【变式12】若口-3-同+6-3+5=0，则f代数式b+3的值为 【变式1-3】(25-26八年级上·上海阶段检测)已知实数满足 √20252-4050x+2+Vx-2026=x,那么 x-20252= 【题型二】已知最简二次根式求参数 【例2】(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)只V20与最简二次根式5Vm+1能合并，则m= 【变式2-1】(25-26八年级上·湖南长沙阶段检测)已知二次根式V23-a化成最简二次根式后与2被开 方数相同.若a是正整数，则a的最小值为一 【变式2-2】(25-26七年级上.北京海淀期末)若最简二次根式m+Wn与3m+n可以合并，则m,n的值为 () A.m=2,n=0 B.m=1,n=1 c.m=1,n=-1 D.m=0,n=2 【变式2-3】(25-26八年级上·河北石家庄期中)若最简二次根式Va+1和V8乘积是有理数，则a= 【题型三】利用分母有理数解不等式 【例3】(25-26八年级上上海浦东新期中)不等式V7x≤3x-2 的解集是 V3x+3<V5x-1 【变式3-1】(25-26八年级上·上海虹口期中)不等式 的解集是 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(25-26八年级上·上海嘉定·期中)不等式 V3x-2≤√2x 的解集为 √7x-3>√7+3x 【变式3-3】(25-26八年级上·上海金山期中)解不等式： 【题型四】复合二次根式化简 【例4】（26-27八年级上·江西·期中)下面我们观察： /2-1=2-2×1×2+12=2-22+1=3-22反之，3-22=2-22+1=2-1： .3-2V2=2-17 .3-22=2-1. 仿上例，求： (①)化简：√4-23： (2)计算：3-2V2+V5-26+V7-212+.…+V19-2V90. 【变式4-1】(25-26八年级下·湖南湘西·期中)我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一 个数的平方，如3=3？，5=5，下面我们观察： /2-1=R2-2×1×2+12=2-22+1=3-2V2:反之，3-2V2=2-22+1=2-1,六 V3-22=2-1 (1)直接写出答案：3+22=-；V4+23=· (2)化简：V5-V24. (3)若Va±2b=Vm±Vn,则a与，n的关系是什么？b与m,n的关系又是什么？ 【变式4-2】（25-26八年级下·重庆·期中)东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写 成另一个式子的完全平方，如式子7+43=2+3，东东继续探究：设g+3b=m+3nP(其中a b,m,n均为正整数)，即有a+V3b=m+3n+2V3mn,则可得(，东东就找到了把a+3b写成一个 完全平方式的方法.根据以上信息完成下列问题： )若ab'xy均为正整数·a+5b=x+5y,请用含xy的式子分别表示ab 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②若M=a+85=X+5yP（其中。Xy均为正整数)，求所有满足条件的数M: (3)化简：V7-210= .(将结果直接填写在答题卡上) 【变式4-3】(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中)下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成 相应的任务. 在实数的运算中，灵 活运用多种方法，会 给运算带来方便，比 如：运用公式法，整 体代入法等。 例1：计算3+22 ,可以用公式 a±2ab+b2=a±b 来进行运算.即： V3+22=V2+2V2 例2：己知x=5-2 ,求代数式 x2+4x-10的值. 解：由x=5-2得： x+2=5,所以 x+22=5所以 x2+4x+4=5,所以 x2+4x=1,整体代 入得： x2+4x-10=1-10= 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务： (①)已知m=25-3,求代数式m2+6m-8的值： (2)计算：V9-4V5 答题类 解题模型清单 棋型 适用 步骤 模型1：求取值范 二次根式有意义/含字 ①列被开方数≥0：②若分母含根式则>0；③解不 围 母 等式组 ①拆被开方数为平方数×其他；②逆用性质③：③ 模型2：化简根式 化为最简 处理分母 模型3：合并同类 加减混合 ①先全部化简：②识别同被开方数；③系数合并 模型4：分母有理 分母含根号 ①单项分母乘√a:②两项分母乘共轭式 化 ①先化简目标式与已知条件：②整体代入：③注 模型5：化简求值 先化简后代入 意范围 答题类 答题技巧清单 1.先判断“被开方数是否非负”，再谈化简一一避免对负数开平方失分。 2.化简根式时，先把被开方数分解为“平方数×其他”，再逆用乘法性质开方。 3.去根号遇到偶次根式，一律先写绝对值，再根据条件去绝对值。 4.判断同类二次根式前，务必先把所有根式化为最简。 5.混合运算类比整式：先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算括号。 6.分母中出现根号时，用共轭式有理化，且注意符号。 7.化简求值题，先化简再代入，并检查字母取值范围是否满足条件。 8.结果统一化为最简二次根式，避免“没化到最简”扣分。 9.遇到含参数根式，充分利用被开方数非负这一隐含条件。 13/13 专题01 二次根式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单 答题技巧清单 知识点01 二次根式的概念 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 本质： 表示 的算术平方根。 判定双重条件：①含有二次根号；②被开方数为非负数。 有意义条件： 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 非负性：二次根式的值 （双重非负：被开方数非负且根式值非负）。 知识点02 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点03 最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 两条标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简目标：使每个二次根式化为最简二次根式（运算结果必须最简）。 知识点04 二次根式的运算 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 加减：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加，根式部分不变）。 分母有理化：① ；② 混合运算：类比整式运算，先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算；乘法公式（完全平方、平方差）仍适用。 考点 具体考查角度 考法提示 ① 有意义的条件 求二次根式中被开方数字母的取值范围，结合分式考查双重限制 选择填空高频考点，注意被开方数≥0，分母≠0 ② 二次根式判断 识别判断式子是否为二次根式，抓住定义a​(a≥0) 看清形式，必须带根号且被开方数非负 ③ 最简二次根式 判断最简二次根式；将二次根式化为最简二次根式 两个条件：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式 ④ 同类二次根式 化简后判断同类二次根式；利用同类二次根式求参数 先化成最简，再看被开方数是否相同 ⑤ 混合运算 二次根式加减（先化简再合并）、乘除、四则混合运算，运算律适用 运算顺序同整式，结果必须化为最简二次根式 ⑥ 化简求值 先化简含二次根式代数式，再代入数值计算；结合整体代入 代入前优先化简，注意字母取值要保证根式有意义 序号 公式 适用范围/说明 1 a≥0 2 去根号先取绝对值 3 a≥0，b≥0 4 a≥0，b>0 5 分母有理化① 6 分母有理化② 7 完全平方 8 平方差 易混点 关键区别 说明 (1) 与 前者=a（a≥0）；后者=|a|（a可为负） 去根号时先定符号 (2) 最简 与 同类 最简是“单个根式”标准；同类是“多个根式”关系 先化简再判同类 (3) 与 前者=|a|恒非负；后者要求a≥0 判断被开方数范围 (4) 性质③④正逆用 正用=合并；逆用=化简 化简常用逆用 (5) 分母不能为0 除法/分数中被开方数为0要当心 被开方数>0（分母位置） 【题型一】二次根式的识别与有意义的条件 【例1】（25-26八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式需满足的两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．被开方数，无意义，不是二次根式； B．根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； C．根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D．当时，无意义，不一定是二次根式． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆巴南·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：，根指数为2，被开方数中，，因此，无论取何值，该式子均有意义，故符合题意； 选项B：，根指数为3，属于三次根式，不符合题意； 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式，不符合题意； 选项D：，根指数为2，但被开方数需满足，当时无意义，因此不满足“一定”是二次根式的条件，不符合题意； 【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）式子有意义的x的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得：且， 即， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）使有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故选：A． 【题型二】最简二次根式判定与化为最简二次根式 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开尽方的因数或因式． 逐一分析各选项是否满足最简二次根式的两个条件，排除不符合的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北随州·期末）若最简二次根式能与合并，则可以是（    ） A．4 B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质等知识，先由，再由是最简二次根式，可得即可确定答案，熟记最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且最简二次根式能与合并， ， 故选：C． 【变式2-3】（24-25八年级下·福建莆田·期中）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含分母，不含能开的尽方的因数或因式；②分母不含根号，据此解答即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．，是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型三】利用二次根式的性质化简 【例3】（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对是____________． 【答案】或 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，根据是整数，则均为有理数，即为同类二次根式，为同类二次根式，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 又∵x，y是正整数，是整数， ∴均为有理数， ∴为同类二次根式，为同类二次根式， ∴或， ∴满足条件的有序实数对是或； 故答案为：或． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误． 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知与是非零实数，且满足，化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，不等式的性质，根据二次根式有意义的条件和已知条件可推出，据此化简二次根式即可． 【详解】解：∵式子有意义，与是非零实数， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘法性质及化简，熟练应用二次根式的乘法性质是解题关键． 根据，利用二次根式的乘法性质求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型四】二次根式的加减运算 【例4】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减运算法则，先化简再合并计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，以及运用平方差公式展开，再运算分子上的加法，然后运算除法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及最简二次根式、分母有理化、合并同类二次根式、平方差和完全平方公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． （1）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可； （2）先用平方差、完全平方公式将原式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】二次根式的乘除运算 【例5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）计算下列各题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，再进行合并即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1+． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），根据二次根式的乘除法运算； 对于（2），先根据零指数，负指数次幂计算，同时去掉绝对值，再根据二次根式的加减法计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型六】二次根式的混合运算 【例6】（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算，再算加减； （2）先根据二次根式的乘除法法则计算，再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】（25-26八年级上·广东河源·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键. 先根据完全平方公式、二次根式的性质化简，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可； （）利用平方差公式和二次根式的除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并即可； （2）先计算二次根式的除法，再合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型七】化简求值 【例7】（24-25八年级上·上海·期中）已知，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确计算是关键． 将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：3． 【变式7-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简代数式，并求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简代数式是解题关键． 首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 当时，原式． 【变式7-2】（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽六安·阶段检测）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 【题型一】去根号忘绝对值 【例1】（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 【变式1-2】（22-23八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式1-3】（2023·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．    【答案】0 【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴原式＝ 故答案为：0 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键. 【题型二】二次根式有意义的条件忽略分母≠0 【例2】（25-26八年级下·江西南昌·期中）使函数有意义的的取值范围是(            ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，函数有意义，解得：． 【变式2-1】（26-27九年级上·四川·期中）若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到且，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，且， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东日照·期中）若有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 即且， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）若成立，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式除法的性质列出不等式组，求解得到的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：因为等式成立，根据二次根式有意义的条件和分式分母不为0的要求，可得 解不等式，得， 解不等式，得， 因此的取值范围为， 对照选项，只有符合取值范围，故选B． 【题型三】未先化简判同类 【例3】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的定义．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内数相同．先将化简为，再检查各选项化简结果，比较被开方数是否为3． 【详解】∵ ， A． ，被开方数为30，不符合题意； B． ，被开方数为2，不符合题意； C． ，被开方数为6，不符合题意； D． ，被开方数为3，符合题意； ∴ 与同类的是D 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先把每个选项中的m的值代入，根据二次根式的性质进行化简，如果和是同类二次根式就可以合并，否则不能合并． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、当时，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D、当时，，与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级上·北京顺义·期中）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型一】双重非负性求值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）若，则___________． 【答案】16 【详解】解：根据题意，得， 由二次根式的定义，被开方数必须满足非负条件： 且， 即且， 故； 故， 则， 故答案为：16． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式1-2】若，则代数式的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，那么__________． 【答案】2026 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 【题型二】已知最简二次根式求参数 【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 【变式2-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 【变式2-3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【题型三】利用分母有理数解不等式 【例3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：移项得， 合并同类项得， 由于，除以负数时不等号方向改变， 得， 有理化分母：， 故解集为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 由于， 两边同时除以 得 ， 有理化分母得， 故解集为． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 【题型四】复合二次根式化简 【例4】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式化简即可； （2）结合完全平方公式，找到规律，进而解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 则 ． 【变式4-1】（25-26八年级下·湖南湘西·期中）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （3）将已知等式两边分别平方，根据对应相等，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【变式4-2】（25-26八年级下·重庆·期中）东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 【答案】(1)， (2)所有满足条件的有,,； (3) 【分析】（1）依照例题求解即可； （2）由（1）的结论知，求得，根据，均为正整数，分情况讨论即可求解； （3）利用完全平方公式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， 由（1）的结论知， ∴， ∵，均为正整数， ∴的正整数解有，，或，或，； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 综上，所有满足条件的有,,； （3）解：， ∵， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； （2）解： ． 模型 适用 步骤 模型1：求取值范围 二次根式有意义/含字母 ①列被开方数≥0；②若分母含根式则>0；③解不等式组 模型2：化简根式 化为最简 ①拆被开方数为平方数×其他；②逆用性质③；③处理分母 模型3：合并同类 加减混合 ①先全部化简；②识别同被开方数；③系数合并 模型4：分母有理化 分母含根号 ①单项分母乘√a；②两项分母乘共轭式 模型5：化简求值 先化简后代入 ①先化简目标式与已知条件；②整体代入；③注意范围 1. 先判断“被开方数是否非负”，再谈化简——避免对负数开平方失分。 2. 化简根式时，先把被开方数分解为“平方数×其他”，再逆用乘法性质开方。 3. 去根号遇到偶次根式，一律先写绝对值，再根据条件去绝对值。 4. 判断同类二次根式前，务必先把所有根式化为最简。 5. 混合运算类比整式：先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算括号。 6. 分母中出现根号时，用共轭式有理化，且注意符号。 7. 化简求值题，先化简再代入，并检查字母取值范围是否满足条件。 8. 结果统一化为最简二次根式，避免“没化到最简”扣分。 9. 遇到含参数根式，充分利用被开方数非负这一隐含条件。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $