二、大单元知识整合-【众相原创】2025年河北中考数学核心知识记背

二、大单元知识整合 4　 第一单元　 数与式 1.科学记数法 (1)定义:把一个数表示成 a×10n 的形式(其中 1≤ | a | <10,n 为整数) . (2)确定 n 的方法:当原数的绝对值≥10 时,n 是正整数,n=“原数的整数位数”-1;当 0<原数的绝对 值<1 时,n 是负整数, | n | =原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零) . 如:16 800 用科学记数法表示为 1. 68×104,0. 002 1 用科学记数法表示为 2. 1×10-3 . 　 　 ①含计数(量)单位的数用科学记数法表示时,应先将计数(量)单位进行换算;②常见的计数单位换 算:1 千= 103,1 万= 104,1 亿= 108;③常见的计量单位换算:1 mm = 10-3 m,1 μm(微米)= 10-6 m,1 nm(纳 米)= 10-9 m. 2.二次根式的运算 (1)加减运算:先将各二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并,如 12 + 3 = 2 3 + 3 = 3 3 . (2)乘法运算: a· b = ab (a≥0,b≥0) . (3)除法运算: a b = a b (a≥0,b>0) . 　 　 在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式. 3.二次根式的估值 确定无理数 a (a≥0)在哪两个相邻整数之间的步骤 举例: 11 ①对根式平方; ②找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数; ③对以上两个整数开方; ④确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间 ①( 11 ) 2 = 11; ②9<11<16; ③ 9 = 3, 16 = 4; ④3< 11 <4,即 11 在 3 和 4 之间 4.实数的大小比较 (1)类别比较法:正数>0>负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小; (2)数轴比较法:将要比较的数表示在数轴上,右边的数总比左边的数大; (3)作差比较法:a-b>0⇔a>b;a-b= 0⇔a= b;a-b<0⇔a<b; (4)平方、立方比较法:a> b (a>0,b>0)⇔a2 >b(a>0,b>0);3 a >b⇔a>b3 . 5.实数混合运算的步骤 ①计算出每一小项的值(零次幂、乘方等);②先乘除,再加减;若有括号,先算括号里面的;③同级 运算从左到右进行. (此步骤同样适用于整式的混合运算) 众相原创·河北数学 5　 6.整式的运算 (1)整式的加减:实质是合并同类项. 将各同类项的系数相加减,字母连同它的指数不变. 如:2a2b+ 3ba2 = 5a2b. (2)去括号法则:若括号前是“ +”,则去括号时,括号内各项不变号;若括号前是“ -”,则去括号时, 括号内每一项都变号. 如:a-(b-c)= a-b+c. (3)整式的乘除: 整 式 乘 法 单项式乘 单项式 ①系数:系数与系数相乘作为积的系数; ②相同字母:同底数幂相乘作为积的因式; ③单独字母:对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 如 2ab2·3b= 6ab3 单项式乘 多项式 先用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 如 m(a+b+c)= ma+mb+mc 多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 如(a+b)(m+ n)= am+an+bm+bn 乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2 -b2;完全平方公式:(a±b) 2 = a2 ±2ab+b2 整 式 除 法 单项式除以 单项式 把系数和同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式. 如 12a3b2x÷3ab2 = 4a2x 多项式除以 单项式 先用这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 如(am+bm)÷m= a+b 第二单元　 方程(组)与不等式(组) 1.一元一次方程的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 2.二元一次方程组的解法:代入消元法、加减消元法. 3.分式方程的解法 ①化———去分母(方程两边同乘最简公分母),将分式方程化为整式方程; ②解———解这个整式方程; ③验———把整式方程的解代入最简公分母,看是否等于 0; ④定———如果最简公分母的值不等于 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原 分式方程的解. 4.一元二次方程的解法 解法 适用形式及方程的解 直接开 平方法 ①x2 = p(p≥0),解为 x= ± p ;②(x+n) 2 = p(p≥0),解为 x= ± p -n 配方法 二次项系数化为 1 后,一次项系数为偶数. 如:x2 +2mx= n,配方后为(x+m) 2 = n+m2(n+m2≥0),解为 x= ± n+m2 -m 众相原创·河北数学 6　 公式法 适用于所有一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0): 若 b2 -4ac≥0,则解为 x= -b± b2 -4ac 2a ;若 b2 -4ac<0,则方程无解. 【特别提醒】①要先将一元二次方程化为一般形式;②确定 a,b,c 的值时要带符号;③需先判断 b2 -4ac≥0,再套用公式求解 因式 分解法 将等号右边的项都移到左边后,右边为 0,左边易于分解成两个一次因式的乘积. 形如:(x-a)(x-b)= 0,解为 x1 = a,x2 = b. 【特别提醒】等号的左、右两边不能同时约去含有未知数的公因式,避免丢根 5. 解不等式(组):要注意,不等式两边同乘(或除以)一个负数时,不等号的方向要改变􀪍􀪍. 第三单元　 函　 数 1.平面直角坐标系中点的坐标特征(已知点的坐标为(x,y)) 点的坐标特征 图示 各象限内的点 在第一象限⇔x>0,y>0; 在第二象限⇔x<0,y>0; 在第三象限⇔x<0,y<0; 在第四象限⇔x>0,y<0 坐标轴上的点 在 x 轴上⇔y= 0; 在 y 轴上⇔x= 0; 在原点⇔x= 0,y= 0. 【特别提醒】坐标轴上的点不属于任何象限 各象限平分 线上的点 在第一、三象限的平分线上⇔x= y; 在第二、四象限的平分线上⇔x= -y 平行于坐标轴 的直线上的点 点 P1(x1,y1),点 P2(x2,y2): P1P2∥x 轴⇔y1 = y2; P1P2∥y 轴⇔x1 = x2 2.几何变换后点的坐标特征(初始点的坐标为(x,y)) 几何变换 变换后点的坐标 口诀 向左平移 a(a>0)个单位长度 (x-a,y) 向右平移 a(a>0)个单位长度 (x+a,y) 向上平移 a(a>0)个单位长度 (x,y+a) 向下平移 a(a>0)个单位长度 (x,y-a) 左右平移,横坐标左减右加;􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 上下平移,纵坐标上加下减􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 关于 x 轴对称 (x,-y) 关于 y 轴对称 (-x,y) 关于原点对称 (-x,-y) 关于谁对称谁不变,另一个变号;􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 关于原点对称都变号􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 众相原创·河北数学 7　 3.各类函数的图象与性质对比 一次函数 反比例函数 二次函数 解析式 y= kx+b(k,b 是常数,k≠0) y= k x (k 为常数,k≠0) y= ax2 +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 举 例 草图 系数 k>0 b>0 k<0 b<0 k<0 b= 0 k>0 k<0 a>0　 b<0 c<0 a<0　 b>0 c>0 所在 象限 一、二、 三 二、三、 四 二、四 一、三 二、四 — — 增减 性 y 随 x 的增 大而增大 y 随 x 的增大而减小 在每个象限􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 内􀪍,y 随 x 的 增大而减小 在每个象限􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 内􀪍,y 随 x 的 增大而增大 在对称轴左侧, y 随 x 的增大而减 小;在对称轴右侧 相反 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而增 大;在 对 称 轴 右 侧相反 对 称 性 — 关于原点成中心对称􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍; 关于直线 y= x 和直线 y= -x 成轴对称􀪍􀪍􀪍􀪍 对称轴:直线 x= - b 2a 顶点坐标:(- b 2a , 4ac-b2 4a ) 与 x 轴 的交点 (- b k ,0) 无 当 b2-4ac>0 时,与 x 轴有两个交点; 当 b2-4ac=0 时,与 x 轴有一个交点; 当 b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 与 y 轴 的交点 (0,b) 无 (0,c) 4.各类函数图象变换后解析式的确定 (1)一次函数图象的平移(平移前的解析式为 y= kx+b(k≠0)) 平移方式(m>0) 平移后的解析式 口诀 向左平移 m 个单位长度 y= k(x+m)+b 向右平移 m 个单位长度 y= k(x-m)+b 左加右减自变量􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 向上平移 m 个单位长度 y= kx+b+m 向下平移 m 个单位长度 y= kx+b-m 上加下减常数项􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (2)一次函数图象的对称(原解析式为 y= kx+b(k≠0)) 对称方式 x,y 的变化 对称后的解析式 关于 x 轴对称 y 变为原来的相反数 -y= kx+b,即 y= -kx-b 关于 y 轴对称 x 变为原来的相反数 y= k(-x)+b,即 y= -kx+b 关于原点对称 x,y 都变为原来的相反数 -y= k(-x)+b,即 y= kx-b 　 　 也可先求出原图象上的两点经过平移或对称后的对应点的坐标,再用待定系数法求出变换后的解析式. 众相原创·河北数学 8　 (3)二次函数图象的几何变换 变换前的解析式 变换方式(m>0) 变换后的解析式 y= ax2 +bx+c (a≠0) 向左平移 m 个单位长度 y= a(x+m) 2 +b(x+m)+c 向右平移 m 个单位长度 y= a(x-m) 2 +b(x-m)+c 向上平移 m 个单位长度 y= ax2 +bx+c+m 向下平移 m 个单位长度 y= ax2 +bx+c-m y= a(x-h) 2 +k (a≠0) 沿 x 轴翻折(关于 x 轴对称) y= -a(x-h) 2 -k 沿 y 轴翻折(关于 y 轴对称) y= a(x+h) 2 +k 绕顶点旋转 180° y= -a(x-h) 2 +k 绕原点旋转 180° y= -a(x+h) 2 -k 第四单元　 三角形 1.相交线 (1)对顶角相等;(2)邻补角之和等于 180°. 如图,∠1 = ∠3,∠1+∠2 = 180°. 2.平行线 (1)两直线平行⇔同位角相等;两直线平行⇔内错角相等;两直线平行⇔同旁内角互补. (2)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. (3)若 a∥c,b∥c,则 a∥b;若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b. (4)两条平行线之间的距离处处相等. 3.三角形的基本性质 (1)三角形具有稳定性. (2)三边关系:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 如图,a+b>c,a-b<c. (3)内角和定理:三角形三个内角之和等于 180°. 如图,∠A+∠B+∠ACB= 180°. (4)内外角关系:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图,∠1 = ∠A+∠B. (5)面积公式:S= 1 2 ×底×高. 4.三角形中的重要线段 (1)高:如图,锐角三角形的高都在三角形内部;直角三角形其中两条高恰好是两条直角边,另一条 高在三角形内部;钝角三角形其中两条高在三角形外部,另一条高在三角形内部. (2)中线:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. (3)角平分线:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心;三角形的内心到三角形三边的距离 相等,是三角形内切圆的圆心. (4)中位线:中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 如图,若 E,F 分别为 AB,AC 的中点,则 EF∥BC,EF= 1 2 BC. 众相原创·河北数学 9　 5.特殊三角形的性质 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 边 两腰相等 三条边都相等 a2+b2 =c2(a,b 为直角边的长,c 为斜边长) 角 两底角相等 三个内角相等,均为 60° 两锐角之和等于 90° 对称性 是轴对称图形,有 1 条对 称轴,对称轴是底边上的 高所在的直线 是轴对称图形,有 3 条对 称轴,对称轴是三边上的 高所在的直线 — 其他 三线合一:顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的 高重合 若边长 为 a,则 面 积 S= 3 4 a2 ①斜边上的中线等于斜边的一半; ②30°角所对的直角边等于斜边的一半 6.全等三角形和相似三角形的性质与判定 (1)性质 角 边 对应线段 周长 面积 全等三角形 相等 相似三角形 相等 成比例,等于相似比 成比例,等于相似比的平方 (2)判定 全等三角 形的判定 方法 SSS: 三 边 分 别相等的两个 三角形全等 SAS:两边和它们的 夹角分别相等的两 个三角形全等 ASA:两角和它们的 夹边分别相等的两 个三角形全等 AAS:两 角 和 其 中 一个角的对边分别 相等的两个三角形 全等 HL:斜 边 和 一 条 直角 边 分 别 相 等 的两 个 直 角 三 角 形全等 相似三角 形的判定 方法 三边成比例 的两个三角 形相似 两边成比例且夹角 相等的两个三角形 相似 两角分别相等的两个三角形相似 斜边 和 一 条 直 角 边成 比 例 的 两 个 直角三角形相似 7.解直角三角形 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,那么除直角∠C 外的五个元 素之间有如下关系: (1)三边关系:a2 +b2 = c2(勾股定理);(2)两锐角关系:∠A+∠B= 90°; (3)边角关系:sinA= cosB= a c ;cosA= sinB= b c ;tanA= a b ;tanB= b a . 利用这些关系,知道其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素. 8.解直角三角形的实际应用 类型 概念 方向角 　 一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向,旋 转到目标的方向所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东 (西)几度. 如图, 点 A 位于点 O 的北偏东 30°方向; 点 B 位于点 O 的南偏东 60°方向; 点 C 位于点 O 的北偏西 45°方向,也称为西北方向 众相原创·河北数学 10　 仰角、 俯角 如图,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰 角,视线在水平线下方的角叫做俯角 坡度 (坡比)、 坡角 如图,坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度(坡比),用字母 i 表示;坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角,i= tanα= h l 第五单元　 四边形 1. 多边形的性质 n 边形 (n≥3) (1)n 边形的内角和为(n-2)·180°;(2)n 边形的外角和均为 360°; (3)过 n(n>3)边形的一个顶点可引(n-3)条对角线,n 边形共有 n(n-3) 2 条对角线 正 n 边形 (n≥3) (1)各边相等;(2)各内角相等,都等于 (n-2)·180° n ;(3)各外角相等,都等于 360° n ; (4)是轴对称图形,有 n 条对称轴; (5)当 n 为偶数时,是中心对称图形;当 n 为奇数时,不是中心对称图形 2.正多边形和圆 正 n 边形的中心角 θ= 360° n 内切圆、外接圆半径与 边长、中心角的关系 R2 -r2 = ( a 2 ) 2 sin θ 2 = a 2R ;cos θ 2 = r R ;tan θ 2 = a 2r 正 n 边形的周长 C= na 正 n 边形的面积 S= 1 2 nar θ 为中心角; r 为内切圆半径,即边心距; R 为外接圆半径; a 为正多边形的边长 3.特殊四边形的性质 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 对边平行,四条边都相等 角 两组对角分别相等 四个角都是直角 两组对角分别相等 四个角都是直角 对角线 互相平分 相等且互相平分 互相垂直平分,且每一 条对角线平分一组对角 相等且互相垂直平分,每一条 对角线平分一组对角 对称性 中心对称图形 既是中心对称图形, 又是轴对称图形,有 2 条对称轴 既是中心对称图形,又是轴对 称图形,有 4 条对称轴 周长 C= 2(a+b) C= 4a 面积 S= ah S= ab S= ah = 1 2 mn(m,n 分 别为两条对角线的长) S= a2 = 1 2 l2( l 为对角线的长) 众相原创·河北数学 11　 4.特殊四边形的判定 第六单元　 圆 1.与圆相关的定理及推论 定理 推论 数学表达 弧、 弦、 圆心 角之 间的 关系 在同圆或等圆 中,相 等 的 圆 心角所对的弧 相等,所 对 的 弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弧 相等,那么它们所对的圆心角 相等,所对的弦相等 在同圆或等圆中,如果两条弦 相等,那么它们所对的圆心角 相等,所对的弧相等 如图,在同圆或等圆中,有以下三个结论: (1)圆心角相等:∠AOB= ∠A′OB′; (2)弧相等:AB ( =A′B′ ( ; (3)弦相等:AB=A′B′. 只要满足其中一个,另外两个一定成 立,即“知一求二” 垂径 定理 及其 推论 垂直于弦的直 径平 分 弦,并 且平分弦所对 的两条弧 平分弦(不是直径) 的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两 条弧 如图,有以下五个结论: (1) AD ( = BD ( ;(2) AC ( = BC ( ;( 3) AM = BM;(4) AB⊥CD;( 5) CD 是 ☉O 的 直径. 只要满足其中两个,另外三个一定成 立,即“知二求三” 圆周 角定 理及 其推 论　 一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半 同弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相等 半圆(或直径) 所对的圆周角 是直角,90°的圆周角所对的弦 是直径 如图,AB 是☉O 的直径,C,D 在☉O 上,则 ∠ABC = ∠ADC = 1 2 ∠AOC, ∠ACB= 90° 2.切线的性质与判定 切线的性质 切线的判定 圆的切线垂直于过切点的半径 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(判定思路: 已知公共点,连半径,证垂直) 圆心到切线的距离等于半径 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线 (判定思路:未知公共点,作垂直,证半径) 切线和圆只有一个公共点 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义) 众相原创·河北数学 12　 3.三角形的内心与外心 概念 图示 性质 角度关系 三角形 的内心 三角形 内切圆 的圆心 三角形三条角平分线的交点 三角形的内心到三角形 的三条边的距离相等 ∠BOC=90°+ 1 2 ∠A 三角形 的外心 三角形 外接圆 的圆心 三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的外心到三角形 三个顶点的距离相等 ∠BOC= 2∠A 第七单元　 图形的变换 1.五种基本尺规作图 类型 作一条线段等 于已知线段(a) 作一个角等 于已知角 (∠AOB) 作已知角 (∠AOB) 的平分线 作已知线 段(AB)的垂 直平分线 过一点(P)作 已知直线(AB)的垂线 点 P 在直 线 AB 上 点 P 在直 线 AB 外 图示 2.常见几何体及其三视图 几 何 体 圆柱 圆锥 球 正方体 长方体 三棱柱 三棱锥 三 视 图 众相原创·河北数学 13　 3.轴对称、平移、旋转的性质对比 轴对称 平移 旋转 图示 相同点 (1)都是在平面内进行的图形变换; (2)都只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,即变换前、后的图形全等(对应线 段相等、对应角相等) 不同点 要素 对称轴 平移方向、平移距离 旋转中心、旋转方向、旋转角 变换 方式 把一个图形沿着某一条直线 折叠,能够与另一个图形重合 把一个图形整体沿某一直 线方向移动一定距离 把一个平面图形绕着平面 内某一点转动一定角度 性质 折叠前后对应点的连线被 折痕垂直平分(即对应点连 线垂直于对称轴,且对应点 到对称轴的距离相等) (1)对应线段平行(或在同 一条直线上); (2)对应点的连线平行(或 在同一条直线上),且都等 于平移距离 (1)对应点到旋转中心的距 离相等; (2)对应点与旋转中心所连 线段的夹角都等于旋转角 注:中心对称是一种特殊的旋转,即把一个图形绕着某一点旋转 180°,这个点叫做对称中心 第八单元　 统计与概率 1.平均数、中位数、众数、方差:详见本册 P3. 2.概率的计算 (1)直接用公式法:用于一步概率. (2)列表或画树状图法 ①列表法:当一次试验涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,可采用列表法列出所有等 可能的结果,再根据概率公式 P(A)= m n 计算概率. ②画树状图法:当一次试验涉及两个或更多个因素时,可采用画树状图法列出所有等可能的结果, 再根据概率公式 P(A)= m n 计算概率. (3)几何概型:利用面积(或长度等)的比值求概率,即 P(A)= 构成事件 A 的区域面积(或长度等) 全部结果构成的区域面积(或长度等) . (4)频率估计概率:一般地,在大量重复试验中,如果事件 A 发生的频率m n 稳定于某个常数 p,那么 事件 A 发生的概率 P(A)= p􀪍􀪍􀪍􀪍. 众相原创·河北数学