专题03 一元二次方程（知识&考点&公式&11高频&2易错&6重难&9模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 一元二次方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(10类) 公式清单(12类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(9类) 答题技巧清单 知识点01 一元二次方程的概念 定义：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程。 三要素：①两边都是____；②只含____个未知数；③未知数最高次数是____。 一般形式：，其中 必须满足____（否则不是一元二次方程）。a、b、c 分别叫____、____、____。 化一般形式时要：去括号、____（变号）、合并同类项。 方程的解（根）：使方程____相等的未知数的值；检验方法是____。 知识点02 一元二次方程的解法 ① 因式分解法：依据是若 ab＝0，则____或____；步骤：移项→分解→令各因式为0→求解。 ② 直接开平方法：若 （p≥0），则 x＝____；若 (x＋n)²＝p，则 x＝____。 ③ 配方法：先化二次项系数为____，再移常数项，再两边加上____的平方，写成完全平方后开平方。 ④ 公式法：先化____形式，确定 a、b、c，计算 Δ＝____，当 Δ____时，代入求根公式 x＝____。 解法选择：缺一次项用____；左边可分解用____；一般情况用____。核心思想是____（转化为一元一次方程）。 知识点03 一元二次方程的判别式 判别式 Δ＝____。 Δ＞0 ⟺ 有____个____的实数根；Δ＝0 ⟺ 有____个____的实数根（x₁＝x₂＝____）；Δ＜0 ⟺ ____。 判别式的应用：①____；②____；③____。 知识点04 一元二次方程的根与系数的关系 若 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）两根为 x₁、x₂，则 x₁＋x₂＝____，x₁x₂＝____。 前提：方程有____根，即 Δ____。 常见对称式变形（整体代换）： ； （由此可得 。） 逆用（二次项系数为1）：已知两根，方程为 x²－____x＋____＝0。 知识点05 一元二次方程的应用 二次三项式因式分解：ax²＋bx＋c＝____（其中 x₁、x₂ 是对应方程的两根）。 列方程解应用题六步： 。 增长率模型：____（a 为原来量，r 为平均增长率/降低率，n 为变化次数）。 销售利润：____ × ____ = 总利润。分式方程去分母后要____（防增根）。 考点 知识要点 能力要求 常考形式 一元二次方程的概念 定义、一般形式、a≠0 理解 判断是否为一元二次方程；写各项系数 一元二次方程的解（根） 代入检验 理解 已知根求参数或代数式的值 直接开平方法 适用条件、步骤 掌握 缺一次项（b＝0）的方程 配方法 配方步骤、完全平方 掌握 化为 (x＋m)²＝n；配方法求最值（拓展） 公式法 求根公式、Δ 掌握 一般形式方程的求解 因式分解法 降次、ab＝0 掌握 左边可分解的方程 判别式 Δ Δ 判断根的情况 掌握 判断根的情况；由根的情况求参数范围；证明 根与系数的关系 韦达、对称式整体代换 了解（会运用） 求对称式值；已知根构造方程 二次三项式因式分解 先解后分、勿忘乘 a 理解 将二次三项式分解因式 列方程解应用题 审设列解验答 掌握 增长率、几何面积、传播、销售、数字、分式方程 名称 公式 适用条件／备注 一般形式 a≠0 判别式 仅对一元二次方程 求根公式 Δ≥0 直接开平方 p≥0 配方结果 n≥0 时有实数根 根与系数关系 Δ≥0 对称式① x₁²＋x₂² 对称式② x₁x₂≠0 对称式③ (x₁−x₂)² 二次三项式因式分解 有实数根 增长率／降低率 n 为变化次数，0＜r 构造方程（逆用） 二次项系数为1 易混点 正确辨析／判定 常见错误与规避 一元二次方程与二次项系数 a 必须 a≠0 才是一元二次方程 忽略 a≠0，把一次方程误当二次 “有两个实数根”与“两个不等实数根” 有实数根包含“相等”与“不等”，即 Δ≥0 把“有实数根”错当 Δ>0 判别式适用前提 只对 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）适用 对非一元二次方程乱用 Δ 配方法“加一半的平方” 加“一次项系数一半的平方” 忘加、加错或符号搞错 直接开平方丢负根 x²＝p（p>0）有两根 ±√p 只取正根丢掉负根 因式分解漏解 令每个因式为0 约分时去掉含 x 的因式而丢根 韦达定理前提 必须 Δ≥0（有实数根）才成立 方程无实根仍套用 方程的解与实际问题解 需双重检验：方程根＋实际意义 不解方程检验，忽略舍去不合题意根 二次三项式因式分解 分解结果前乘 a；符号正确 忘乘 a、符号搞错 分式方程验根 去分母后要验增根并舍去 忘验根，把增根当作解 化一般形式 去括号、移项变号、合并 移项不变号，导致系数错误 用公式法前 必须先化为一般形式再定 a、b、c 未化一般形式直接套公式 【题型一】识别一元二次方程 【例1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】由一般形式写系数 / 由已知根求值 【例2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【例2-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【变式2-1】把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【变式2-2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【题型三】解一元二次方程（选最优解法） 【例3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程： (1) (2) (3)（用配方法） (4) 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2)． (3)． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海长宁·期中）用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法） (2) (3) 【变式3-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【题型四】用判别式判断根的情况（不解方程） 【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况_____． 【题型五】已知根的情况求参数范围 【例5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海·期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.若关于的一元二次方程和是“同伴方程”，则__________. 【变式5-2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知为实数，关于的方程，无论取何值时，都有根． (1)求、的值． (2)当变化时，求方程的另一根的取值范围． 【题型六】根与系数的关系（韦达）求对称式值 【例6】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则___________． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则___________． 【题型七】二次三项式因式分解 【例7】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·上海·期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：__________． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：______． 【题型八】增长率／降低率问题 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为__________元．（用含和的代数式表示） 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度总产值要达到314万元，如果每个月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么可以列方程为：___． 【变式8-2】（24-25八年级上·上海·期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是800元，降价两次后的售价是578元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程：________． 【变式8-3】为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【题型九】几何面积问题 【例9】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？ 【变式9-1】（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 【变式9-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】（24-25八年级上·上海·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 【题型十】销售利润问题 【例10】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【变式10-1】（24-25八年级下·上海·期中）小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 【变式10-2】商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【题型十一】传播问题 【例11】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【变式11-1】有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． 【变式11-2】有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 【变式11-3】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【题型一】忽略 a≠0 求参数 【例1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【变式1-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【变式1-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【题型二】分式方程忽略检验 【例2-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解分式方程： 【例2-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）． 【题型一】含参一元二次方程（判别式＋韦达综合） 【例1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【题型二】根与系数关系的整体代换 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【变式2-2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【题型三】构造一元二次方程（逆用韦达） 【例3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：___________． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 【变式3-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 【题型四】换元法解高次／分式方程（拓展） 【例4-1】（25-26八年级上·上海·期中）分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【例4-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【变式4-1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为_____． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是_____ 【变式4-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【题型五】判别式与根的整数性（拓展） 【例5】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程的根都是整数，求实数的所有整数值和方程的整数根． 【变式5-1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【变式5-2】已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【变式5-3】问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【题型六】立体几何应用 【例6】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海·期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱．    素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    任务1 熟悉材料按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    模型 核心思路 一般步骤／关键式 适用情形 模型1 判别式判根 用 Δ 定根的情况 Δ＝b²−4ac；Δ>0/Δ=0/Δ<0 三情形 不解方程判根、证明根的情况 模型2 韦达整体代换 不求根，用和与积求对称式 x₁＋x₂＝−b/a，x₁x₂＝c/a；化为含和积的式子 对称式求值、构造方程 模型3 增长率／降低率 等比式建模 a(1±r)ⁿ＝b 连续增长/下降、平均增长率 模型4 几何面积 平移／割补化不规则为规则 小路平移：S＝(长−x)(宽−x)；围栏：长+宽=周长/2 修路、围篱笆、裁剪折盒 模型5 销售利润 单件×销量=总利润 （售价−进价）×销量＝总利润 降价/提价促销求最优价 模型6 传播问题 逐轮累加建模 一轮后 1＋x；两轮后 (1＋x)² 传染、病毒、社交扩散 模型7 二次三项式分解 先解后分 解对应方程→代入 a(x−x₁)(x−x₂) 实数范围内分解因式 模型8 换元降次 复合式整体换元 设 t＝复合式→解 t 的二次→回代 高次、分式、含相同复合式 模型9 应用六步 规范流程 审→设→列→解→验（方程根+实际）→答 一切列方程解应用题 一、解方程的通用流程与选法 情形 首选方法 要点 形如 x²＝p 或 (x＋n)²＝p（b＝0） 直接开平方 p>0 有两根，勿丢负根 右边为0，左边可分解 因式分解 移项后分解，勿约含 x 因式 一般形式 公式法 先化一般形式，再定 a、b、c 二次项系数1、一次项系数偶 配方法 两边加“一次项系数一半的平方” 二、关键得分点与失分规避 要点 操作与提醒 书写规范 解方程先写“解：”；化一般形式后写清 a、b、c；根写成 x₁＝…、x₂＝… a≠0 判断 二次项系数含参时，先讨论 a≠0；只说“方程”时要分一次/二次 判别式 算 Δ 前先化一般形式；Δ 的符号决定根的个数，注意带符号计算 韦达定理 先证 Δ≥0 再用；代入时除以 a、注意符号 应用题 六步不缺；双重检验后作答，单位写全 分式方程 去分母后必须验增根 检查 把解代回原方程验证；应用题看是否合题意（正数、整数、在范围内） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(10类) 公式清单(12类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(9类) 答题技巧清单 知识点01 一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 判断一个方程是一元二次方程的三要素：①两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2。 3. 一般形式：（其中 ≠0）。a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 说明：把方程化成一般形式时，需去括号、移项（移项要变号）、合并同类项；a≠0 是“一元二次”的前提，若题目只说“关于x的方程”，未指明一元二次，则要讨论 a＝0 与 a≠0 两种情况。 4. 特殊情形：当 b＝0 或 c＝0（只要 a≠0）时，方程仍是一元二次方程，如 ax²＝0、ax²＋bx＝0、ax²＋c＝0。 5. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。检验方法：把值代入方程看左右两边是否相等。 知识点02 一元二次方程的解法 1. 因式分解法 依据：若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0。步骤：①移项使右边为0；②把左边因式分解；③令每个因式为0；④求出每个一元一次方程的解。 2. 直接开平方法 适用：可化为形如 或 的方程。 依据：若 （p≥0），则 ；若 （p≥0），则 ，即 。注意 p＞0 时有两个根，p＝0 时只有 x＝0 一个根，p＜0 时无实数解。 3. 配方法 思路：把方程化为 的形式，再用直接开平方。步骤： ① 化：二次项系数化为1（两边同除以a）；② 移：把常数项移到右边；③ 配：方程两边加上一次项系数一半的平方；④ 开：写成完全平方后开平方；⑤ 解：解出两根。 完全平方公式：。 4. 公式法 把方程化为一般形式，确定 a、b、c，计算判别式 Δ，代入求根公式：（其中 Δ＝b²−4ac。当 Δ≥0 时方程有实数根才可用此公式求根。） 5. 解法选择策略：①缺一次项（b＝0）用直接开平方；②右边为0且左边能分解，用因式分解；③一般情况用公式法（最通用）；④二次项系数为1、一次项系数为偶数的，配方法方便。 6. 核心思想——降次：解一元二次方程的本质是通过“降次”转化为一元一次方程求解。 知识点03 一元二次方程的判别式 对于 （a≠0），判别式 。 根的情况判定：Δ＞0 ⟺ 有两个不相等的实数根， Δ＝0 ⟺ 有两个相等的实数根， Δ＜0 ⟺ 无实数根。 应用：①不解方程判断根的情况；②由根的情况求参数（系数）的取值范围或值；③证明字母系数方程根的情况。注意判别式仅对一元二次方程适用。 知识点04 一元二次方程的根与系数的关系 若 （a≠0）的两个实数根为 、，则：， 前提：方程有实数根，即 Δ≥0 时才成立；无实数根时不能套用。 常见对称式变形（整体代换）：； （由此可得 。） 逆用（构造方程）：当二次项系数为1时，已知两根 x₁、x₂，方程为 。 知识点05 一元二次方程的应用 1. 二次三项式的因式分解 若一元二次方程 的两个实数根为 x₁、x₂，则二次三项式可分解为： 步骤：先把二次三项式看作对应一元二次方程并解出两根，再代入上式；分解结果勿忘乘以二次项系数 a。 2. 列方程解应用题 六步法：审（找等量关系）→ 设（设未知数，注意单位）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（双重检验：是否为方程根＋是否符合实际意义）→ 答。 常见等量模型： ① 增长率／降低率：（a为原来量，b为n次变化后的量，r为平均增长率或降低率）； ② 几何面积：平移法（把小路平移到边缘）、割补法、围篱笆（长宽与周长关系）、裁角折盒等； ③ 传播（传染）问题：设每轮平均一人传染 x 人，两轮后总数 = 1＋x＋x(1＋x)； ④ 销售利润：单件利润 × 销量 = 总利润（单件利润＝售价−进价）； ⑤ 数字问题：设数位数字，按数的组成列式； ⑥ 分式方程：去分母化为一元二次方程后必须验根（防增根）。 考点 知识要点 能力要求 常考形式 一元二次方程的概念 定义、一般形式、a≠0 理解 判断是否为一元二次方程；写各项系数 一元二次方程的解（根） 代入检验 理解 已知根求参数或代数式的值 直接开平方法 适用条件、步骤 掌握 缺一次项（b＝0）的方程 配方法 配方步骤、完全平方 掌握 化为 (x＋m)²＝n；配方法求最值（拓展） 公式法 求根公式、Δ 掌握 一般形式方程的求解 因式分解法 降次、ab＝0 掌握 左边可分解的方程 判别式 Δ Δ 判断根的情况 掌握 判断根的情况；由根的情况求参数范围；证明 根与系数的关系 韦达、对称式整体代换 了解（会运用） 求对称式值；已知根构造方程 二次三项式因式分解 先解后分、勿忘乘 a 理解 将二次三项式分解因式 列方程解应用题 审设列解验答 掌握 增长率、几何面积、传播、销售、数字、分式方程 名称 公式 适用条件／备注 一般形式 a≠0 判别式 仅对一元二次方程 求根公式 Δ≥0 直接开平方 p≥0 配方结果 n≥0 时有实数根 根与系数关系 Δ≥0 对称式① x₁²＋x₂² 对称式② x₁x₂≠0 对称式③ (x₁−x₂)² 二次三项式因式分解 有实数根 增长率／降低率 n 为变化次数，0＜r 构造方程（逆用） 二次项系数为1 易混点 正确辨析／判定 常见错误与规避 一元二次方程与二次项系数 a 必须 a≠0 才是一元二次方程 忽略 a≠0，把一次方程误当二次 “有两个实数根”与“两个不等实数根” 有实数根包含“相等”与“不等”，即 Δ≥0 把“有实数根”错当 Δ>0 判别式适用前提 只对 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）适用 对非一元二次方程乱用 Δ 配方法“加一半的平方” 加“一次项系数一半的平方” 忘加、加错或符号搞错 直接开平方丢负根 x²＝p（p>0）有两根 ±√p 只取正根丢掉负根 因式分解漏解 令每个因式为0 约分时去掉含 x 的因式而丢根 韦达定理前提 必须 Δ≥0（有实数根）才成立 方程无实根仍套用 方程的解与实际问题解 需双重检验：方程根＋实际意义 不解方程检验，忽略舍去不合题意根 二次三项式因式分解 分解结果前乘 a；符号正确 忘乘 a、符号搞错 分式方程验根 去分母后要验增根并舍去 忘验根，把增根当作解 化一般形式 去括号、移项变号、合并 移项不变号，导致系数错误 用公式法前 必须先化为一般形式再定 a、b、c 未化一般形式直接套公式 【题型一】识别一元二次方程 【例1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得， A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． 选项A：含有两个未知数x和y，不符合①； 选项B：分母含有未知数，不是整式方程，不符合③； 选项C：只有一个未知数x，最高次数为2，且是整式方程，符合定义； 选项D：化简得，即，为一次方程，不符合②； 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、方程化为，故是一元二次方程，符合题意； C、方程化为，即，是一元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 【题型二】由一般形式写系数 / 由已知根求值 【例2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 【例2-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 【变式2-1】把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型三】解一元二次方程（选最优解法） 【例3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程： (1) (2) (3)（用配方法） (4) 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （2）解：， 原方程可变为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 开平方得：， ∴； （4）解：， 变为一般形式得：， ，，， ， ∴， 即． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2)． (3)． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：. （2）解：， ∴或， 解得：，. （3）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：. 【变式3-2】（25-26八年级上·上海长宁·期中）用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法） (2) (3) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得：，； （2）解：， ∴， 整理得： ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 令，则， ∴， 解得，， ∴或， 解得，； （3）解： ①当，即， 则， ∴，； ②当，即， 则方程无实数根； ∴综上所述，当时，，；当时，方程无实数根； （4）解： ，，， ， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【题型四】用判别式判断根的情况（不解方程） 【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，∵，不恒成立； B、，∵，不恒成立； C、，∵，∴，恒成立； D、，∵，不恒成立． 故选：C． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况_____． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 【题型五】已知根的情况求参数范围 【例5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海·期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.若关于的一元二次方程和是“同伴方程”，则__________. 【答案】 【详解】设公共根为， 则①， ②， ①式减去②式得：． ∴． ∴． ∴． ∴或． 若， 则． 此时方程①为， 判别式，无实数根，不符合题意． 若， 则． 代入方程①得， 即． ∴． 当时， 方程①为， 根为和； 方程②为， 根为和． 公共根只有． 符合“同伴方程”定义． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【详解】(1)解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知为实数，关于的方程，无论取何值时，都有根． (1)求、的值． (2)当变化时，求方程的另一根的取值范围． 【详解】（1）解：∵关于的方程，无论取何值时，都有根， ∴， 整理得， ∵对任意成立， ∴，， 解得，； （2）解：由根与系数的关系，， ∵，， ∴， 整理得， 当时，方程化为， 解得； 当时， ∵k为实数， ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得， 综上所述，． 【题型六】根与系数的关系（韦达）求对称式值 【例6】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则___________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则___________． 【答案】 【详解】解：由题意得， ，． ， 又， 代入原式： ， 即， 两边乘以（）： ， 代入根与系数的关系： ， 即， 两边乘以（）： ， 整理得，， ， 所以，， 经检验， 和均满足，且使原方程有一元二次方程形式． 又方程有两个实数根， ， ， 所以应舍去． 综上，． 故答案为：． 【题型七】二次三项式因式分解 【例7】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式7-1】（24-25八年级上·上海·期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 则， 所以， 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【详解】解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型八】增长率／降低率问题 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为__________元．（用含和的代数式表示） 【答案】 【详解】解：设该服装的原价为b元， 第一次降价后的价格为：元， 则第二次降价后的价格为：元， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度总产值要达到314万元，如果每个月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么可以列方程为：___． 【答案】 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为， ∴八月份产值为，九月份产值为， 则， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级上·上海·期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是800元，降价两次后的售价是578元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程：________． 【答案】 【详解】解：设每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意得 ， 故答案为：． 【变式8-3】为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， 故一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个． 【题型九】几何面积问题 【例9】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？ 【答案】这个车棚的长是15米，宽是6米 【详解】解：设这个车棚的宽为米，则这个车棚的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：这个车棚的长是15米，宽是6米． 【变式9-1】（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：这个茶园的长为，宽为； （2）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，茶园的面积为， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 【变式9-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 【变式9-3】（24-25八年级上·上海·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为8，则， ∴，则正确构图②， 故答案为：②； (2)解：由题意，设长方形的宽为米， ∴长为米． ∴， 由（2）中解法可得或（负值，舍去）； (3)解：由题意，首先构造如图所示的图形： 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8． ∴． ∴． 【题型十】销售利润问题 【例10】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 【变式10-1】（24-25八年级下·上海·期中）小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 【详解】解：首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得： 解得：或舍去， 经检验是方程的解， ， 答：小丽的叔叔从甲地购进商品件， ， 答：小丽的叔叔可赚元． 【变式10-2】商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． (2)解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 【题型十一】传播问题 【例11】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【变式11-1】有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：∵有2个人患了流感，平均每轮传染x人， ∴第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染， ∴ 整理得，， 故答案为：． 【变式11-2】有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 【答案】9 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． 【变式11-3】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【题型一】忽略 a≠0 求参数 【例1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 【题型二】分式方程忽略检验 【例2-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解分式方程： 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得：， 整理得， ， 解得， 检验，当时，，不是方程的解； 当时，，是方程的解； ∴原分式方程的解为． 【例2-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解． 【答案】时，解为；时，解为；时，解为 【详解】解：去分母得：，即， 由分式方程只有一个解， 情况一：一元二次方程有两个相等实数根，则， 解得：，此时方程为，即， 解得：，经检验是分式方程的解， 情况二：一元二次方程有两个根，但其中一个根为增根使分母为零 整式方程有一根为或， 把代入方程得：，此时方程为 解为舍去； 把代入方程得：，此时方程为 解为舍去， 综上所述，时，解为；时，解为；时，解为 【变式2-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】． 【详解】 解：方程两边同时乘得， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ， 检验 当时 ，当时 ， 是分式方程的解，是增根， 分式方程的解为． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】， ， 【详解】解：设，， 则原方程可化为，， 或． 当时，即， 两边乘以得，， 解得，， 经检验，为原方程的解； 当时，即， 两边乘以得，， 整理得，， 解得，或， 经检验，， 均为原方程的解， 综上，方程的解为， ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）． 【答案】，，， ． 【详解】解：， 分组可得：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 可得：， 设， 可得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，， 经检验：，均为原分式方程的解； 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 经检验：， 均为原分式方程的解； 综上所述，原分式方程的解为：，，， ． 【题型一】含参一元二次方程（判别式＋韦达综合） 【例1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【详解】(1)证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 【详解】（1）解：当时，方程化为， 解得． 当时，方程化为， ， 解得． 此时方程为，即 ， 解得． 综上，时，根为；时，根为． （2）解：当为腰时， 把代入方程， 得， 解得． 方程为，即， 解得， ． 周长为． 当为底时，方程有两个相等实根，由（1）知，方程根为，但，不满足三角形三边关系，舍去． 综上，，周长为． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意； （2）解：分两种情况： ①若， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴此时方程为， 解得， ∴的周长为； ②若，则或，即方程有一根为2， ∵把代入方程，得， 解得， ∴此时方程为， 解得，， ∴方程另一根为4， ∵2、2、4不能构成三角形，此种情况舍去． 综上所述，的周长为7． 【题型二】根与系数关系的整体代换 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数解 ∴ 则， 故答案为：； （2）①由（1）可知：是一元二次方程的两个实数根 ∴， ∴ 故答案为：1； ②∵ ∴将，代入得 ∵实数为整数，且满足的值也为整数 ∴当为整数即为所求 则或或 ∴ ∵且 ∴ ∴ （3）∵为互不相等的实数，且满足． 即， 设为方程的两个实数根 ∴ ∴ 则. 【变式2-1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【详解】（1）解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； （2）解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【详解】（1）解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 方程是“波浪方程”； 故答案为：是； （2）解：是关于的“波浪方程”，它有一个根是， ， 解得， 故答案为：，； （3）解：的两个根分别是，， ，， ，， 是“波浪方程”， ， ， 解得， ，， ， 即的值为7． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 【题型三】构造一元二次方程（逆用韦达） 【例3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：___________． 【答案】 【详解】解：设一元二次方程为， 则两根之和为，两根之积为， 解得，， ∴该方程为：， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 【答案】 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为， 解得． 两根之积为． 取（为了消除分母）， 则两根之和，两根之积， 故方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一元二次方程为 ，根据根与系数的关系，有 ，， 已知 ，， 计算两根之和： ， 所以 ， 计算两根之积： ， 所以 ， 因此，方程为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四】换元法解高次／分式方程（拓展） 【例4-1】（25-26八年级上·上海·期中）分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【答案】 【详解】解：设，则原方程中， 而， 因此原方程化为．两边同乘， 得， 整理得． 故答案为：． 【例4-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为_____． 【答案】2 【详解】解：设，则原方程化为． 解方程， 判别式， 所以， 得，． 所求代数式． 当 时，； 当时，． 但， 即，整理得， 判别式，无实数解． 故只有符合题意，代数式的值为2． 故答案为：2． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是_____ 【答案】， 【详解】解：∵（）的两个根分别 ， ∴，即，，即． 设， 则方程化为 ． 两边除以（），得 ． 代入 ，， 得， 即． 解得，． 由，得， ∴，． ∴方程的两个根为，． 故答案为：，． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【题型五】判别式与根的整数性（拓展） 【例5】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程的根都是整数，求实数的所有整数值和方程的整数根． 【详解】解：①当时，即，此时方程为， 解得，方程的根是整数，符合题意； ②当时，则方程变为， 或， ∴，， ∵方程的根都是整数， ∴是整数， ∴是2的因数， ∴， 解得， 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； ∴综上所述，实数的所有整数值为，0，1，2，3； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为； 当时，方程的整数根为； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，． 【变式5-1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根． 即有两个不相等的实数根． ∴． 解得； （2）∵且m为非负整数， ∴或0． 当时，原方程为 ． 解得，，它的根都是整数，符合题意； 当时，原方程为． 解得，， ∴它的根都是不整数，不符合题意；． 综上所述，． 【变式5-2】已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 【变式5-3】问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【题型六】立体几何应用 【例6】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【答案】 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【详解】（1）解：(1) ①根据题意作图如下： ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海·期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱．    素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    任务1 熟悉材料按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    【答案】（1）40，（2）裁掉小正方形边长是，（3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【详解】解：任务1：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图1中的四角裁去小正方形的边长为， ∴储物盒的宽小正方形的边长， 故答案为：； 任务2：设裁去的小正方形的边长为 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴裁去小正方形的边长为． 任务3：设小长方形的宽为长为 根据题意得：， 由得， 把代入，整理得， 解得， ∵， ∴， ∴ 即小长方形的宽为长为 当和之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 模型 核心思路 一般步骤／关键式 适用情形 模型1 判别式判根 用 Δ 定根的情况 Δ＝b²−4ac；Δ>0/Δ=0/Δ<0 三情形 不解方程判根、证明根的情况 模型2 韦达整体代换 不求根，用和与积求对称式 x₁＋x₂＝−b/a，x₁x₂＝c/a；化为含和积的式子 对称式求值、构造方程 模型3 增长率／降低率 等比式建模 a(1±r)ⁿ＝b 连续增长/下降、平均增长率 模型4 几何面积 平移／割补化不规则为规则 小路平移：S＝(长−x)(宽−x)；围栏：长+宽=周长/2 修路、围篱笆、裁剪折盒 模型5 销售利润 单件×销量=总利润 （售价−进价）×销量＝总利润 降价/提价促销求最优价 模型6 传播问题 逐轮累加建模 一轮后 1＋x；两轮后 (1＋x)² 传染、病毒、社交扩散 模型7 二次三项式分解 先解后分 解对应方程→代入 a(x−x₁)(x−x₂) 实数范围内分解因式 模型8 换元降次 复合式整体换元 设 t＝复合式→解 t 的二次→回代 高次、分式、含相同复合式 模型9 应用六步 规范流程 审→设→列→解→验（方程根+实际）→答 一切列方程解应用题 一、解方程的通用流程与选法 情形 首选方法 要点 形如 x²＝p 或 (x＋n)²＝p（b＝0） 直接开平方 p>0 有两根，勿丢负根 右边为0，左边可分解 因式分解 移项后分解，勿约含 x 因式 一般形式 公式法 先化一般形式，再定 a、b、c 二次项系数1、一次项系数偶 配方法 两边加“一次项系数一半的平方” 二、关键得分点与失分规避 要点 操作与提醒 书写规范 解方程先写“解：”；化一般形式后写清 a、b、c；根写成 x₁＝…、x₂＝… a≠0 判断 二次项系数含参时，先讨论 a≠0；只说“方程”时要分一次/二次 判别式 算 Δ 前先化一般形式；Δ 的符号决定根的个数，注意带符号计算 韦达定理 先证 Δ≥0 再用；代入时除以 a、注意符号 应用题 六步不缺；双重检验后作答，单位写全 分式方程 去分母后必须验增根 检查 把解代回原方程验证；应用题看是否合题意（正数、整数、在范围内） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 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