选填必练5 四边形与圆-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

31　 选 填 必 练 件 BC = FE 判定△ABC≌ △DFE 用的判定定理是 SAS,故错误; D. 添加条件∠B = ∠F 判定△ABC≌ △DFE 用的判定定理是 AAS,故错误. 故选 A. 选填独有方法技巧 1. D　 【常规解法】∵ 1 x - 1 y = 3,∴ x-y = - 3xy,∴ 原式 = 2(x-y)-14xy (x-y)-2xy = -6xy-14xy -3xy-2xy = 4. 2. A　 【常规解法】如解图,取 CD 的中点 G,连接 GO, GE,OE. 可得 GO=CG=GD = 1 2 DC. ∵ P 为等边三角形 CDE 的外心,∴ G,P,E 三点共线,PE= 2GP,∴ GE= 3GP, CG= 3GP,∴ GO GP = 3GP GP = 3 , GE GO = 3GP 3GP = 3 ,∴ GO GP = GE GO . ∵ ∠PGO = ∠OGE,∴ △PGO∽△OGE,∴ OP OE = GP GO = 3 3 ,∴ OP= 3 3 OE= 3 3 ×6 = 2 3 . 第 2 题解图 3. <　 【常规解法】∵ Q-P= (m2 - 8 15 m) -( 7 10 m-1) = m2 - 37 30 m+1 = (m-37 60 ) 2 +2 231 3 600 >0,∴ P<Q. 4. 40°　 【常规解法】∵ AC = AE,BC = BD,∴ 设∠AEC = ∠ACE= x°,∠BDC = ∠BCD = y°, ∴ ∠A = 180° - 2x°, ∠B= 180° - 2y°. ∵ ∠ACB+ ∠A+ ∠B = 180°,∴ 100° + (180°- 2x°) + ( 180° - 2y°) = 180°, ∴ x° + y° = 140°, ∴ ∠DCE = 180° - ( ∠AEC + ∠BDC) = 180°- ( x° + y°)= 40°. 5. C　 【常规解法】由题意,得 AB= 6 x-2 -x-1 2-x = 6 x-2 +x-1 x-2 = x+5 x-2 = x-2+7 x-2 = 1+ 7 x-2 . ∵ AB 的长为整数,∴ x= 3 或 9. 6. C 　 【 常 规 解 法 】 由 新 定 义, 得 2x+1≥2-x, 2x+1>3{ 或 2x+1<2-x, 2-x>3,{ 解得 x>1 或 x<-1. 7. B　 【常规解法】 2x-3>0①, x-4<0②,{ 由①得,x> 3 2 . 由②得,x< 4,∴ 不等式组的解集为 3 2 <x<4. 故选 B. 8. C　 【常规解法】设小亮今年的年龄为 x 岁,则 42-x+ 5 = 3(x+5),解得 x= 8,即小亮今年的年龄为 8 岁. 选填必练 1　 数与式 1. C　 2. B　 3. B　 4. C　 5. A　 6. C　 7. D　 8. D　 9. -3 10. 3. 784×1014 　 11. ④　 12. -4a-5　 13. 4 选填必练 2　 方程(组)与不等式(组) 1. D　 2. D　 3. B　 4. A　 5. B　 6. 1(答案不唯一) 7. k≥ 3 4 且 k≠1　 8. -4 选填必练 3　 函　 数 1. C　 2. C　 3. D　 4. D　 5. C　 6. D　 7. B　 8. D 第 9 题解图 9. B　 【解析】如解图,过点 P 作MN∥ AB 交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N, 过点 N 作 NK⊥AB 于点 K,设 AB 交 x 轴于点 T. ∵ 当△PAB 的面积 为定值时, 相应的点 P 有 3 个, ∴ 在 AB 左侧,过点 P 且与 AB 平 行的直线和反比例函数 y = 4 x (x>0)的图象只有一个 交点(交点为 P) . 设直线 MN 的解析式为 y = -x+b,联 立 y= 4 x , y= -x+b { 得-x+b= 4x ,∴ x2 -bx+4 = 0,∴ Δ = b2 -16 = 0,解得 b= 4 或 b = -4(舍去),∴ y = -x+4. 令 y = 0,得 x= 4,∴ N( 4,0) . 在 y = - x + 5 中,令 y = 0,得 x = 5, ∴ T(5,0),∴ NT= 5-4 = 1. 由 y = -x+ 5 可知,∠NTK = 45°. ∵ NK⊥AB,∴ △NTK 是等腰直角三角形,∴ NK = NT 2 = 1 2 = 2 2 ,∴ 点 P 到直线 AB 的距离为 2 2 . 10. 2　 11. y= (x+1) 2(答案不唯一) 选填必练 4　 三角形 1. C　 2. A　 3. C　 4. B　 5. C　 6. C　 7. B　 8. C　 9. B　 10. D　 11. A　 12. 80°　 13. 60°　 14. 45 15. 1 7 　 【解析】如解图,过点 F 作 FG∥CN 交 AB 于点 G. ∵ 点 M 是 DF 的中点,∴ N 是 DG 的中点,∴ MN 是 △DGF 的中位线,∴ GF = 2MN. ∵ GF∥CN,EF∥AB, ∴ 四边形 GFHN 是平行四边形,∴ NH = GF = 2MN, ∴ MH= MN. 设 MH = MN = a,则 GF = 2a. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC =AD AB = 1 4 ,∴ BC = 4DE. ∵ EF∥ AB,DE∥BC,∴ 四边形 DEFB 是平行四边形,∴ DE = BF. ∵ FG∥CN,∴ △BFG∽△BCN,∴ BF BC =GF CN . ∵ BF BC = DE BC = 1 4 ,∴ GF CN = 1 4 ,∴ CN = 4GF = 8a,∴ CM=CN-MN = 8a-a=7a,∴ MN CM = a 7a = 1 7 . 第 15 题解图 选填必练 5　 四边形与圆 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. D　 6. A　 7. C　 8. D　 9. A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 32　 解 答 必 练 第 10 题解图 10. C 　 【解析】如解图,分别延长 ED,FD 交 AC, AB 于点 G, H. ∵ CF∥DE∥AB, BE∥DF∥AC, ∴ 四边形 BEDH, CFDG, AGDH 均为平行四边形, ∴ BH = DE = DF = CG, BE = DH = AG = CF = DG=AH,∴ 图形的周长为 BE+ DE+DF+CF+AC+AB=AG+CG+BH+AH+AB+AC= 4AB, ∴ 需要知道 AB 的长即可,故选 C. 11. 54　 12. 107° 13. 6 7 7 　 【解析】如解图,连接 DE,BD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,CD = BC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD=BC= 2 3 . ∵ ∠ABC= 120°,∴ △CDB 是等 边三角形. ∵ 点 E 为 BC 的中点, ∴ DE⊥BC,CE = 1 2 BC= 3 ,∴ DE = 3 CE = 3. ∵ AD∥BC,∴ DE⊥AD, ∴ AE = AD2 +DE2 = 21 . 当 DF⊥AE 时,线段 DF 第 13 题解图 的长度最小,此时 S△ADE = 1 2 AD· DE= 1 2 AE·DF,∴ DF = 3 ×2 3 21 = 6 7 7 ,∴ 线段 DF 长度的最小值 为 6 7 7 . 选填必练 6　 图形的变换 1. A　 2. B　 3. B　 4. C　 5. A　 6. B　 7. A　 8. ② 9. 80°　 【解析】如解图,连接 FB,FC. ∵ AB=AC,∴ ∠ACB= ∠ABC= 50°,∴ ∠BAC= 80°. ∵ AF 为∠BAC 的平分线, ∴ ∠BAF= ∠CAF= 1 2 ∠BAC= 40°. ∵ DF 是 AB 的垂直 平分线,∴ FA=FB,∴ ∠ABF= ∠BAF = 40°,∴ ∠FBC = ∠ABC-∠ABF = 10°. ∵ ∠CAF = ∠BAF,AB = AC,AF = AF,∴ △AFC≌△AFB( SAS),∴ FC = FB,∴ ∠FCB = ∠FBC= 10°. 根据折叠的性质,得 FG = CG,∠FGE = ∠CGE, ∴ ∠CFG = ∠GCF = 10°, ∴ ∠FGC = 160°, ∴ ∠FGE= 80°. 第 9 题解图 　 　 　 第 10 题解图 10. 10 3 　 【解析】如解图,延长 AC 至 D,连接 BD,使 AD= BD. ∵ ∠CAB= 60°,∴ △ABD 为等边三角形. ∵ BC 绕 着点 B 逆时针旋转 60°得到 BC′,∴ BC =BC′,∠CBC′= 60°. ∵ ∠DBA- ∠ABC = ∠CBC′- ∠ABC,即∠DBC = ∠ABC′. 在 △DBC 和 △ABC′ 中, DB=AB, ∠DBC= ∠ABC′, BC=BC′, { ∴ △DBC≌△ABC′( SAS), ∴ S△DBC = S△ABC′. 过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,则 BE = AB·sin60° = 5 3 ,DC = AD- AC= 4,∴ S△DBC = 1 2 DC·BE= 10 3 ,∴ S△ABC′ = 10 3 . 选填必练 7　 统计与概率 1. A　 2. D　 3. A　 4. B　 5. D　 6. C 选填必练 8　 中考新题型 1. A　 2. D　 3. A　 4. m>2　 5. 1 22 025 6. 2　 【解析】∵ 点 P(2-n,-2n+1)与点 Q(n+1,2n-3)互 为“最距等点”,∴ | 2-n | = | n+1 | 或 | 2-n | = | 2n-3 | 或 | -2n+1| = |n+1|或 | -2n+1| = |2n-3| .当 |2-n | = |n+1|时, 2-n=n+1 或 2-n = -(n+ 1) . 若 2-n = n+ 1,则 n = 1 2 , ∴ 点 P 的坐标为( 3 2 ,0),点 Q 的坐标为( 3 2 ,- 2),不 符合题意,舍去;若 2-n = -(n+ 1),则此方程无解;当 | 2-n | = | 2n-3 |时,2-n = ±(2n- 3) . 若 2-n = 2n- 3,则 n= 5 3 ,∴ 点 P 的坐标为( 1 3 , - 7 3 ),点 Q 的坐标为 ( 8 3 , 1 3 ),不符合题意,舍去;若 2-n= -(2n-3),则 n= 1,∴ 点 P 的坐标为(1,-1),点 Q 的坐标为(2,-1),不 符合题意,舍去;当 | -2n+1 | = | n+1 | 时,-2n+1 = ±(n+ 1) . 若-2n+1 = n+1,则 n = 0,∴ 点 P 的坐标为(2,1), 点 Q 的坐标为(1,-3),不符合题意,舍去;若-2n+1 = -(n+1),则 n= 2,∴ 点 P 的坐标为(0,-3),点 Q 的坐 标为(3,1),∴ 点 P(2-n,-2n+1)与点 Q(n+1,2n-3) 互为“最距等点”;当 | - 2n+ 1 | = | 2n- 3 | 时,- 2n+ 1 = ±(2n-3) . 若-2n+1 = 2n-3,则 n = 1,∴ 点 P 的坐标为 (1,-1),点 Q 的坐标为(2,-1),不符合题意,舍去;若 -2n+1 = -(2n-3),则此方程无解. 综上所述,n= 2. 解答必练 1　 计算求解题 1.解:(1)根据题意,得(2x2-3x-1)-(x2-2x+3)= x2 -x-4, ∴ 甲减乙不能使试验成功. (2)丙的代数式为 2x2 -3x-1+x2 -2x+3 = 3x2 -5x+2. 2.解:(1)该长方形空地的面积为(a+b) (2a+b) = 2a2 + 3ab+b2 , 两个长方形喷泉池的总面积为(a+b-2b)(2a+b-3b)= (a-b)(2a-2b)= 2a2 -4ab+2b2 . (2)这两个长方形喷泉池的总面积为 20 000. 3.解:(1)分式方程的解为 x= 1. (2)原题目中“◆”是 3. 4.解:(1)②;③. (2)原式= 2. 5. (1)解:16;-12. (2)证明: | 16-(-12) | ÷4 = 7(秒) . 当运动时间为 t(0≤t≤7)秒时, 点 P 表示的数为 16-4t. ∵ Q 为 AP 的中点, ∴ 点 Q 表示的数为16 +16-4t 2 = 16-2t. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 12　 选填必练 5　 四边形与圆 涵盖必考点 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题考查频次 考查特点 1. 多边形的性质(含正多 边形与圆) T16 5 年 8 考 每年在选择题或填空题中必考,最常考的是正 六边形,设问多为求角度或求线段长 2. 平行四边形的判定与 性质 T12 5 年 5 考 以往中考中均为判定,2025 样卷 T12 考查性质; 多与其他知识结合考查,如尺规作图、折叠、旋 转、全等三角形的判定与性质等 3. 内心与外心(样卷变化􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 考点)􀪍􀪍 T16 2020. 14 河北真题已连续 4 年未考查,2025 样卷再次出 现,需关注 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 综合实践课上,嘉嘉设计了“利用已知矩形 ABCD,用尺规作有一个内角为 30°的平行 四边形” . 他的作法如下: (1)如图 1,分别以点 A,B 为圆心,以大于 1 2 AB 长为半径,在 AB 两侧作弧,分别交于 点 E,F,作直线 EF; 第 1 题图 1 (2)如图 2,以点 A 为圆心,以 AB 长为半径 作弧,交直线 EF 于点 G(点 G 在 AB 右侧), 连接 AG; 第 1 题图 2 (3)如图 3,以点 G 为圆心,以 AD 长为半径 作弧,交直线 EF 于点 H (点 H 在点 G 右 侧),连接 DH,则四边形 AGHD 即为所求作 的平行四边形,其中∠GAD= 30°. 第 1 题图 3 根据上述作图过程,判定四边形 AGHD 是 平行四边形的依据是 ( ) A. 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四 边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形 2. 如图,在△ABC 中,AB = 6,BC = 3,AC = 7, I 为△ABC 的内心,连接 CI 并延长交 AB 于 点 D. 记△CAI 的面积为 m,△DAI 的面积 为 n,则m n = ( ) A. 3 2 B. 4 3 C. 5 3 D. 7 4 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,将四边形纸片 ABCD 沿 MN 折叠,点 A,D 分别落在点 A1,D1 处. 若∠1 + ∠2 = 130°,则∠B+∠C= ( ) A. 115° B. 130° C. 135° D. 150° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 13　 4. 如图,A,O 在网格中小正方形的顶点处,每 个小方格的边长均为 1,在此网格中找两 个格点(即小正方形的顶点)B,C,使 O 为 △ABC 的外心,则 BC 的长度是 ( ) A. 3 2 B. 2 5 C. 4 D. 17 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在△ABD 中,∠A= 90°,AB =AD,分别 以点 B 和点 D 为圆心,BD 长为半径在 BD 下方画弧,交于点 C. 若 AB= 5 6 ,则△ABD 的外心与△BCD 的内心的距离是 ( ) A. 10 3 3 B. 5 3 C. 10 3 D. 5 6. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长是 5,P 是 AD 上的动点,则 PB+PC 的最小值是 ( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,边长为 3 的正六边形 ABCDEF 内接 于☉O,则☉O 的内接正三角形 ACE 的边 长为 ( ) A. 3 3 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 6 8. 如图,在▱ABCD 中,AC⊥BC,AC = 2BC,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点. 若 BC= 2,则四 边形 AECF 的周长是 ( ) 第 8 题图 A. 2 B. 2 5 C. 4 D. 4 5 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 80°,AC = BC, 点 M 是 AB 上一点(不与点 A 重合),点 P 是△ACM的内心,则∠MPC 的度数为 ( ) A. 115° B. 80° C. 120° D. 无法确定 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在“ V” 字形图形中,DE = DF,BE = CF,CF∥DE∥AB,BE∥DF∥AC. 若要求出 这个图形的周长,则需添加的一个条件 是 ( ) A. BE 的长 B. DE 的长 C. AB 的长 D. AB+BE 的长 11. 如图,在正五边形 ABCDE 中,连接 CE,以 E 为圆心,EA 长为半径画弧,与 CE 交于 点 F,连接 AF,则∠AFE= 　 54　 °. 第 11 题图 　 第 12 题图 12. 如图,点 E,F 在平行四边形 ABCD 的对角 线 AC 上, AE = EF = DF, ∠ADF = 90°, ∠ACD= 43°,则∠B 的度数为　 107°　 . 13. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,∠B = 120°,CD= BC = 2 3 ,点 E 为 BC 的中点, 连接 AE,点 F 为线段 AE 上的一个动点, 连接 DF, 则 线 段 DF 长 度 的 最 小 值 为　 　 　 　 . 第 13 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学