选填必练4 三角形-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

10　 选填必练 4　 三角形 涵盖必考点 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题考查频次 考查特点 1. 相交线与平行线 T2 5 年 6 考 均在选择题中考查,多为求角度问题 2. 三角形的基本性质与 重要线段 T9 5 年 13 考 此考点较为基础,多是作为工具,与其他知识结 合考查 3. 全等三角形的判定与 性质 选填 未涉及 5 年 6 考 4. 相似三角形的判定与 性质 选填 未涉及 5 年 3 考 全等与相似是几何题的重要解题工具,河北常 在平行四边形的判定、正多边形的相关计算、网 格题中涉及 5. 特殊三角形的判定与 性质 T9 5 年 13 考 多考查等腰三角形和直角三角形,熟记这两类 三角形的性质并灵活运用是关键 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列选项中的图形,具有稳定性的是 ( ) 2. 如图,直线 l1∥l2,线段 AB 分别交 l1,l2 于 D,B 两点,过点 A 作 AC⊥AB 交直线 l1 于 点 C. 若∠1 = 15°,则∠2 = ( ) 第 2 题图 A. 105° B. 115° C. 100° D. 95° 3. 如图,课本上给出了小明一个画图的过程, 这个画图过程说明的事实是 ( ) 第 3 题图 A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等, 这两个三角形全等 B. 两个三角形的两个角和其中一角的对边 对应相等,这两个三角形全等 C. 两个三角形的两条边和其中一边的对角 对应相等,这两个三角形不一定全等 D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等, 这两个三角形不一定全等 4. 如果将一个三角形的三边长都扩大为原来 的 3 倍,那么新三角形的面积 ( ) A. 扩大为原来的 3 倍 B. 扩大为原来的 9 倍 C. 没有变化 D. 无法确定 5. 将一根长 14 厘米的铁棒截成三段,首尾相 连焊接成一个等腰三角形. 如图,如果第一 次在 4 厘米处(剪刀处)截断,那么第二次 可以在( )处截断. 第 5 题图 A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 11　 6. 如图,直线 MN∥PQ,在一个直角三角板 ABC 中,∠BAC= 30°,将三角板按如图所示 方式放置,顶点 A,C 分别落在直线 PQ,MN 上,AB 是∠CAP 的平分线,则∠1 的度数为 ( ) A. 45° B. 35° C. 30° D. 25° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,从海岛 B 分别同时沿北偏西 20°方 向、北偏东 40°方向驶出甲、乙两艘货船. 若 两艘货船的速度均为 20 海里 /时,两小时 后,甲、乙两艘货船分别到达 C,A 两点,则 点 A,C 之间的距离为 ( ) A. 60 海里 B. 40 海里 C. 30 海里 D. 20 海里 8. 如图,用 AB,BC,CD,AD 四根钢条固定成 一个铁框,相邻钢条的夹角均可调整,不计 螺丝大小和重叠部分. 若 AB = 5,BC = 9, CD= 7,AD= 6,则所固定成的铁框中,两个 顶点的最大距离是 ( ) A. 14 B. 16 C. 13 D. 11 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,△ABC 为等边三角形,△ACD 为等腰 直角三角形,AC = CD,则直线 BC 与直线 AD 的夹角为 ( ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 10. 如图,在 3×3 的正方形网格中,每个小正 方形的边长都为 1,则∠ABC 和∠DEF 的 关系为 ( ) A. ∠ABC= ∠DEF B. ∠DEF= 2∠ABC C. ∠ABC+90°= ∠DEF D. ∠ABC+∠DEF= 180° 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 如图, 在等腰三角形 ABC 中, ∠ABC = 90°,D 为 AC 边的中点,过点 D 作 DE⊥ DF 交 AB 于点 E,交 BC 于点 F. 若四边形 BFDE 的面积为 16,则 AB 的长为 ( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 12. 如图,直线 a,b 相交于点 O,将量角器的 中心与点 O 重合,发现表示 60°的点在直 线 a 上,表示 140°的点在直线 b 上,则 ∠1 = 　 80°　 . 第 12 题图 　 第 13 题图 13. 如图,∠A = 15°,AB = BC = CD = DE = EF, 则∠DEF= 　 60°　 . 14. 如图,在 2×4 的长方形网格中,每个小正 方形的边长均为 1,点 A,B,C,D,E 都在 格点上,连接 AB,AE,CE,CD,则∠EAB- ∠ECD= 　 45　 °. 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,点 D,E,F 分别在△ABC 的边上, AD BD = 1 3 ,DE∥BC,EF∥AB,点 M 是 DF 的 中点,连接 CM 并延长交 AB 于点 N,则 MN CM 的值是　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 31　 选 填 必 练 件 BC = FE 判定△ABC≌ △DFE 用的判定定理是 SAS,故错误; D. 添加条件∠B = ∠F 判定△ABC≌ △DFE 用的判定定理是 AAS,故错误. 故选 A. 选填独有方法技巧 1. D　 【常规解法】∵ 1 x - 1 y = 3,∴ x-y = - 3xy,∴ 原式 = 2(x-y)-14xy (x-y)-2xy = -6xy-14xy -3xy-2xy = 4. 2. A　 【常规解法】如解图,取 CD 的中点 G,连接 GO, GE,OE. 可得 GO=CG=GD = 1 2 DC. ∵ P 为等边三角形 CDE 的外心,∴ G,P,E 三点共线,PE= 2GP,∴ GE= 3GP, CG= 3GP,∴ GO GP = 3GP GP = 3 , GE GO = 3GP 3GP = 3 ,∴ GO GP = GE GO . ∵ ∠PGO = ∠OGE,∴ △PGO∽△OGE,∴ OP OE = GP GO = 3 3 ,∴ OP= 3 3 OE= 3 3 ×6 = 2 3 . 第 2 题解图 3. <　 【常规解法】∵ Q-P= (m2 - 8 15 m) -( 7 10 m-1) = m2 - 37 30 m+1 = (m-37 60 ) 2 +2 231 3 600 >0,∴ P<Q. 4. 40°　 【常规解法】∵ AC = AE,BC = BD,∴ 设∠AEC = ∠ACE= x°,∠BDC = ∠BCD = y°, ∴ ∠A = 180° - 2x°, ∠B= 180° - 2y°. ∵ ∠ACB+ ∠A+ ∠B = 180°,∴ 100° + (180°- 2x°) + ( 180° - 2y°) = 180°, ∴ x° + y° = 140°, ∴ ∠DCE = 180° - ( ∠AEC + ∠BDC) = 180°- ( x° + y°)= 40°. 5. C　 【常规解法】由题意,得 AB= 6 x-2 -x-1 2-x = 6 x-2 +x-1 x-2 = x+5 x-2 = x-2+7 x-2 = 1+ 7 x-2 . ∵ AB 的长为整数,∴ x= 3 或 9. 6. C 　 【 常 规 解 法 】 由 新 定 义, 得 2x+1≥2-x, 2x+1>3{ 或 2x+1<2-x, 2-x>3,{ 解得 x>1 或 x<-1. 7. B　 【常规解法】 2x-3>0①, x-4<0②,{ 由①得,x> 3 2 . 由②得,x< 4,∴ 不等式组的解集为 3 2 <x<4. 故选 B. 8. C　 【常规解法】设小亮今年的年龄为 x 岁,则 42-x+ 5 = 3(x+5),解得 x= 8,即小亮今年的年龄为 8 岁. 选填必练 1　 数与式 1. C　 2. B　 3. B　 4. C　 5. A　 6. C　 7. D　 8. D　 9. -3 10. 3. 784×1014 　 11. ④　 12. -4a-5　 13. 4 选填必练 2　 方程(组)与不等式(组) 1. D　 2. D　 3. B　 4. A　 5. B　 6. 1(答案不唯一) 7. k≥ 3 4 且 k≠1　 8. -4 选填必练 3　 函　 数 1. C　 2. C　 3. D　 4. D　 5. C　 6. D　 7. B　 8. D 第 9 题解图 9. B　 【解析】如解图,过点 P 作MN∥ AB 交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N, 过点 N 作 NK⊥AB 于点 K,设 AB 交 x 轴于点 T. ∵ 当△PAB 的面积 为定值时, 相应的点 P 有 3 个, ∴ 在 AB 左侧,过点 P 且与 AB 平 行的直线和反比例函数 y = 4 x (x>0)的图象只有一个 交点(交点为 P) . 设直线 MN 的解析式为 y = -x+b,联 立 y= 4 x , y= -x+b { 得-x+b= 4x ,∴ x2 -bx+4 = 0,∴ Δ = b2 -16 = 0,解得 b= 4 或 b = -4(舍去),∴ y = -x+4. 令 y = 0,得 x= 4,∴ N( 4,0) . 在 y = - x + 5 中,令 y = 0,得 x = 5, ∴ T(5,0),∴ NT= 5-4 = 1. 由 y = -x+ 5 可知,∠NTK = 45°. ∵ NK⊥AB,∴ △NTK 是等腰直角三角形,∴ NK = NT 2 = 1 2 = 2 2 ,∴ 点 P 到直线 AB 的距离为 2 2 . 10. 2　 11. y= (x+1) 2(答案不唯一) 选填必练 4　 三角形 1. C　 2. A　 3. C　 4. B　 5. C　 6. C　 7. B　 8. C　 9. B　 10. D　 11. A　 12. 80°　 13. 60°　 14. 45 15. 1 7 　 【解析】如解图,过点 F 作 FG∥CN 交 AB 于点 G. ∵ 点 M 是 DF 的中点,∴ N 是 DG 的中点,∴ MN 是 △DGF 的中位线,∴ GF = 2MN. ∵ GF∥CN,EF∥AB, ∴ 四边形 GFHN 是平行四边形,∴ NH = GF = 2MN, ∴ MH= MN. 设 MH = MN = a,则 GF = 2a. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC =AD AB = 1 4 ,∴ BC = 4DE. ∵ EF∥ AB,DE∥BC,∴ 四边形 DEFB 是平行四边形,∴ DE = BF. ∵ FG∥CN,∴ △BFG∽△BCN,∴ BF BC =GF CN . ∵ BF BC = DE BC = 1 4 ,∴ GF CN = 1 4 ,∴ CN = 4GF = 8a,∴ CM=CN-MN = 8a-a=7a,∴ MN CM = a 7a = 1 7 . 第 15 题解图 选填必练 5　 四边形与圆 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. D　 6. A　 7. C　 8. D　 9. A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学