选填必练2-3 方程(组)与不等式(组) 函数-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

7　 选填必练 2　 方程(组)与不等式(组) 涵盖必考点 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题考查频次 考查特点 1. 解方程或不等式(组) T14 5 年 5 考 以解分式方程和解不等式(组)为主,难度不大 2. 一元二次方程根的判 别式和根与系数的关系 (样卷变化考点)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 T10 未考查 2022 年版课标将一元二次方程的根与系数关系 的※去掉,意味着由选学变为必学,2025 河北样 卷首次出现,需重视! 此考点一般难度不大,重点在于牢记公式 3. 方程与不等式的实际 应用 T8 5 年 3 考 以一元一次方程和一元二次方程的应用为主, 解题难点在于读懂题意,找准数量关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 若 m,n 是关于 x 的方程 2x2 -4x+1 = 0 的两 个根,则 1 m + 1 n 的值为 ( ) A. -4 B. - 1 4 C. 1 4 D. 4 2. 小莹在解关于 x 的方程 ax2 -4x+2 = 0(a≠ 0)时,抄错了 a 的符号,解出其中一个根是 x= 1,则原方程的根的情况是 ( ) A. 有一个实数根是 x= -1 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 若关于 x 的方程x -1 x-5 = mx 10-2x 无解,则 m 的 值为 ( ) A. - 8 5 B. - 8 5 或-2 C. 5 D. - 9 5 4. (数学文化)我国古代数学名著《张丘建算 经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑 酒一斗直粟三斗. 今持粟三斛,得酒五斗, 问清、醑酒各几何?”大意是:现有一斗清酒 价值 10 斗谷子,一斗醑酒价值 3 斗谷子, 现在拿 30 斗谷子,共换了 5 斗酒,问清酒、 醑酒各几斗? 如果设清酒 x 斗,那么可列 方程为 ( ) A. 10x+3(5-x)= 30 B. 3x+10(5-x)= 30 C. x 3 +30-x 10 = 5 D. x 10 +30-x 3 = 5 5. (生活情境)据研究,当洗衣机中洗衣粉的 含量在 0. 2% ~ 0. 5%时,衣服的洗涤效果 较好,因为这时表面活性较大. 现将 4. 94 千克的衣服放入最大容量为 15 千克的洗 衣机中,欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到 0. 4%,那么洗衣机中需要加入( )千克 水. (1 匙洗衣粉约为 0. 02 千克,假设洗衣 机以最大容量洗涤. 提示:设洗衣机中需加 入 x 千克水,y 匙洗衣粉) A. 3 B. 10 C. 8 D. 5 6. (开放性试题)若 m-2<2 0250,写出一个符 合条件的正整数m的值:　 1(答案不唯一)　 . 7. 若关于 x 的一元二次方程( k- 1) x2 - 2kx+ k-3 = 0 有实数根,则 k 的取值范围为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. 已知关于 x 的一元一次方程(m+ 1 2 ) x-1 = 6- 1 2 x 中,m 为整数. 若方程的解是整数, 则所有满足条件的 m 取值之和为　 -4　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 8　 选填必练 3　 函　 数 涵盖必考点 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题考查频次 考查特点 1. 函 数 图 象 的 分 析 与 判断 未涉及 5 年 3 考 2022 ~ 2024 年连续考查,均在选择题靠后的题 位,难度中等,多涉及实际背景或动点问题 2. 反比例函数的图象与 性质 T15 5 年 5 考 在填空题中考查居多,难度中等偏上,形式灵活 多样 3. 二 次 函 数 的 图 象 与 性质 T11 5 年 2 考 均在选择题的倒数第 1 或第 2 个题位出现,综 合性较强 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 在如图所示的网格中,以点 O 为原点,若 m,n 所在直线分别代表 y 轴、x 轴,则与点 A 在同一反比例函数 y = k x (k≠0)图象上 的点是 ( ) 第 1 题图 A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 2. 新课标方向 跨物理学科 如图是嘉淇某 次实验中的情形,左侧每个钩码的质量均 为 2 kg,杠杆总长 30 cm,其余数据如图所 示,此时杠杆处于平衡状态,则 y 与 x 的函 数图象可能是 ( ) 第 2 题图 3. 已知二次函数 y= -x2 -2x-2 的图象上存在 A( -2,y1),B( -1,y2),C(4,y3)三点,则 y1, y2,y3 的大小关系为 ( ) A. y1 <y2 <y3 B. y2 <y1 <y3 C. y1 <y3 <y2 D. y3 <y1 <y2 4. 当 x<0 时,函数 y= 1 x 和函数 y = - 2 x 的图象 如图所示,则函数图象所在坐标系的原点 是 ( ) 第 4 题图 A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 9　 5. (河北特殊考法·结论辨析)对于题目: “如果函数 y = 2ax2 +(a+ 2) x+ 1 的图象与 x 轴有唯一公共点,求 a 的值. ” 甲的解法 如下:“函数图象与 x 轴有唯一公共点,可 以令 y= 0,则关于 x 的方程 2ax2 +(a+2)x+ 1 = 0 有两个相等的实数根,∴ ( a + 2) 2 - 8a= 0,解得 a = 2,∴ a 的值为 2. ”而乙说: “甲考虑得不完整,应该还有一种情况. ” 下列判断正确的是 ( ) A. 乙说得不对,a 的值为 2 B. 甲求得结果不对,a 的值为-2 C. 乙说得对,a 还有一个值为 0 D. 两个人说得都不对,a 应有 3 个不同 的值 6. 已知反比例函数 y= k x (k<0),对于正数 m, 当自变量 x 满足 m≤x≤m+1 时,函数 y 的 最小值为 a,则当- 2m≤x≤-m 时,函数 y 有 ( ) A. 最大值-2a B. 最小值-2a C. 最大值- a 2 D. 最小值- a 2 7. 如图,平面直角坐标系中有两条抛物线,它 们的顶点 P,Q 都在 x 轴上,平行于 x 轴的 直线与两条抛物线相交于 A,B,C,D 四点. 若 AB = 10,BC = 5,CD = 6,则 PQ 的长度 为 ( ) 第 7 题图 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图 1, 在平行四边形 ABCD 中, BC = 15 cm,连接 AC,BD,AC 与 BD 相交于点 O,点 P 从点 B 出发,沿 B→C→D 以 1 cm/ s 的速度匀速运动到点 D. 图 2 是点 P 运动 时,线段 OP 的长 y( cm)随时间 t( s)变化 的函数关系图象,其中 E,F 分别是两段曲 线的最低点,则 AB 的长为 ( ) 图 1 图 2 第 8 题图 A. 5 cm B. 3 5 cm C. 5 cm D. 5 5 cm 9. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y= -x+5 的图象与反比例函数 y = 4 x (x>0) 的图象交于 A,B 两点,P 是反比例函数图 象上的一个动点,连接 PA,PB. 当△PAB 的 面积为定值时,相应的点 P 有 3 个,则点 P 到直线 AB 的距离为 ( ) 第 9 题图 A. 1 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 10. (2024 河北 T24 考法·分段函数)已知函 数 y= x2(0≤x<1), 2x-2(x≥1),{ 若 y= 2,则 x= 　 2　 . 11. (开放性试题、新定义)若一个二次函数 的图象经过点( t,0),则称 t 的值是这个 函数的“零点” . 例如,二次函数 y = a( x- 3)(x+2) (a≠0),无论 a 取何值,这个函 数的图象总经过点(3,0)和点( -2,0),所 以 3 和-2 是这个函数的“零点” . 如果一 个二次函数有且只有一个“零点” - 1,那 么这个二次函数的解析式可以是　 y=(x+ 1) 2(答案不唯一) 　 . (写出一个即可) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 31　 选 填 必 练 件 BC = FE 判定△ABC≌ △DFE 用的判定定理是 SAS,故错误; D. 添加条件∠B = ∠F 判定△ABC≌ △DFE 用的判定定理是 AAS,故错误. 故选 A. 选填独有方法技巧 1. D　 【常规解法】∵ 1 x - 1 y = 3,∴ x-y = - 3xy,∴ 原式 = 2(x-y)-14xy (x-y)-2xy = -6xy-14xy -3xy-2xy = 4. 2. A　 【常规解法】如解图,取 CD 的中点 G,连接 GO, GE,OE. 可得 GO=CG=GD = 1 2 DC. ∵ P 为等边三角形 CDE 的外心,∴ G,P,E 三点共线,PE= 2GP,∴ GE= 3GP, CG= 3GP,∴ GO GP = 3GP GP = 3 , GE GO = 3GP 3GP = 3 ,∴ GO GP = GE GO . ∵ ∠PGO = ∠OGE,∴ △PGO∽△OGE,∴ OP OE = GP GO = 3 3 ,∴ OP= 3 3 OE= 3 3 ×6 = 2 3 . 第 2 题解图 3. <　 【常规解法】∵ Q-P= (m2 - 8 15 m) -( 7 10 m-1) = m2 - 37 30 m+1 = (m-37 60 ) 2 +2 231 3 600 >0,∴ P<Q. 4. 40°　 【常规解法】∵ AC = AE,BC = BD,∴ 设∠AEC = ∠ACE= x°,∠BDC = ∠BCD = y°, ∴ ∠A = 180° - 2x°, ∠B= 180° - 2y°. ∵ ∠ACB+ ∠A+ ∠B = 180°,∴ 100° + (180°- 2x°) + ( 180° - 2y°) = 180°, ∴ x° + y° = 140°, ∴ ∠DCE = 180° - ( ∠AEC + ∠BDC) = 180°- ( x° + y°)= 40°. 5. C　 【常规解法】由题意,得 AB= 6 x-2 -x-1 2-x = 6 x-2 +x-1 x-2 = x+5 x-2 = x-2+7 x-2 = 1+ 7 x-2 . ∵ AB 的长为整数,∴ x= 3 或 9. 6. C 　 【 常 规 解 法 】 由 新 定 义, 得 2x+1≥2-x, 2x+1>3{ 或 2x+1<2-x, 2-x>3,{ 解得 x>1 或 x<-1. 7. B　 【常规解法】 2x-3>0①, x-4<0②,{ 由①得,x> 3 2 . 由②得,x< 4,∴ 不等式组的解集为 3 2 <x<4. 故选 B. 8. C　 【常规解法】设小亮今年的年龄为 x 岁,则 42-x+ 5 = 3(x+5),解得 x= 8,即小亮今年的年龄为 8 岁. 选填必练 1　 数与式 1. C　 2. B　 3. B　 4. C　 5. A　 6. C　 7. D　 8. D　 9. -3 10. 3. 784×1014 　 11. ④　 12. -4a-5　 13. 4 选填必练 2　 方程(组)与不等式(组) 1. D　 2. D　 3. B　 4. A　 5. B　 6. 1(答案不唯一) 7. k≥ 3 4 且 k≠1　 8. -4 选填必练 3　 函　 数 1. C　 2. C　 3. D　 4. D　 5. C　 6. D　 7. B　 8. D 第 9 题解图 9. B　 【解析】如解图,过点 P 作MN∥ AB 交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N, 过点 N 作 NK⊥AB 于点 K,设 AB 交 x 轴于点 T. ∵ 当△PAB 的面积 为定值时, 相应的点 P 有 3 个, ∴ 在 AB 左侧,过点 P 且与 AB 平 行的直线和反比例函数 y = 4 x (x>0)的图象只有一个 交点(交点为 P) . 设直线 MN 的解析式为 y = -x+b,联 立 y= 4 x , y= -x+b { 得-x+b= 4x ,∴ x2 -bx+4 = 0,∴ Δ = b2 -16 = 0,解得 b= 4 或 b = -4(舍去),∴ y = -x+4. 令 y = 0,得 x= 4,∴ N( 4,0) . 在 y = - x + 5 中,令 y = 0,得 x = 5, ∴ T(5,0),∴ NT= 5-4 = 1. 由 y = -x+ 5 可知,∠NTK = 45°. ∵ NK⊥AB,∴ △NTK 是等腰直角三角形,∴ NK = NT 2 = 1 2 = 2 2 ,∴ 点 P 到直线 AB 的距离为 2 2 . 10. 2　 11. y= (x+1) 2(答案不唯一) 选填必练 4　 三角形 1. C　 2. A　 3. C　 4. B　 5. C　 6. C　 7. B　 8. C　 9. B　 10. D　 11. A　 12. 80°　 13. 60°　 14. 45 15. 1 7 　 【解析】如解图,过点 F 作 FG∥CN 交 AB 于点 G. ∵ 点 M 是 DF 的中点,∴ N 是 DG 的中点,∴ MN 是 △DGF 的中位线,∴ GF = 2MN. ∵ GF∥CN,EF∥AB, ∴ 四边形 GFHN 是平行四边形,∴ NH = GF = 2MN, ∴ MH= MN. 设 MH = MN = a,则 GF = 2a. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC =AD AB = 1 4 ,∴ BC = 4DE. ∵ EF∥ AB,DE∥BC,∴ 四边形 DEFB 是平行四边形,∴ DE = BF. ∵ FG∥CN,∴ △BFG∽△BCN,∴ BF BC =GF CN . ∵ BF BC = DE BC = 1 4 ,∴ GF CN = 1 4 ,∴ CN = 4GF = 8a,∴ CM=CN-MN = 8a-a=7a,∴ MN CM = a 7a = 1 7 . 第 15 题解图 选填必练 5　 四边形与圆 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. D　 6. A　 7. C　 8. D　 9. A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学