解答必练8 三角形、四边形探究题-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

39　 解 答 必 练 已舍去),∴ 符合条件的点 G 的横坐标为 -13+ 21 2 . 第 4 题解图 2 解答必练 8　 三角形、四边形探究题 1.解:(1)如解图 1,△ADM 即为所求. 第 1 题解图 1 △ADM≌△BDC. 理由如下: ∵ CD 为 AB 边上的中线, ∴ AD=BD. 又∵ ∠ADM= ∠BDC,MD=CD, ∴ △ADM≌△BDC(SAS) . (2) 1 2 <CD< 5 2 . 　 【解法提示】由 (1)可知 AM=BC= 2. 在△ACM 中, AC-AM<CM<AC+AM,AC = 3,∴ 3- 2<CM< 3+ 2,即 1< 2CD<5,∴ 1 2 <CD< 5 2 . (3)∠CFE= ∠BCD. 理由如下: 如解图 2,延长 CD 至点 N,使 DN=CD,连接 AN. ∵ CD 为 AB 边上的中线,∴ AD=BD. 又∵ ∠ADN= ∠BDC, ∴ △ADN≌△BDC(SAS),∴ AN=BC,∠N= ∠BCD. ∵ AF=BC,∴ AF=AN, ∴ ∠N= ∠AFN,∴ ∠BCD= ∠AFN. ∵ ∠CFE= ∠AFN,∴ ∠CFE= ∠BCD. 图 2 　 　 　 图 3 第 1 题解图 拓展:∠BAE= 90°- 1 2 α. 　 【解法提示】如解图 3,延长 AE,DC 交于点 P. ∵ AB∥DC,∴ ∠P = ∠BAE. ∵ AE 是 ∠BAD 的平分线,∴ ∠DAE = ∠BAE, ∴ ∠P= ∠DAE. ∵ ∠D=α,∴ ∠DAE+∠P = 180°-α,∴ ∠BAE = ∠DAE = 180°-α 2 = 90°- 1 2 α. 2. (1)证明:∵ AH⊥BC,∴ ∠AHB= 90°. ∵ ∠B= 60°,∴ ∠BAH= 30°. ∵ AB= 8,∴ BH= 1 2 AB= 4,AH= 3 2 AB= 4 3 . ∵ FG= 4,EG= 4 3 ,∠G= 90°, ∴ BH=FG,AH=EG,∠AHB= ∠G= 90°, ∴ △ABH≌△EFG(SAS) . (2)解:①由(1)知,∠FEG= ∠BAH= 30°,EF=AB= 8. ∵ EG∥AF, ∴ ∠AFE= ∠FEG= 30°. 又∵ EF⊥AD,即∠AEF= 90°, ∴ AE=EF·tan∠AFE= 8 3 3 . ②CM 的长为 12-6 3 . 　 【解法提示】当点 G 落在 CD 上时,∵ AD∥BC,∠C = 90°,∴ ∠D = 90°. ∵ EF⊥AD, ∴ EF∥DC, ∴ ∠DGE = ∠FEG = 30°, ∴ DG= EG · cos∠DGE= 6. ∵ ∠D = ∠C = ∠AHC = 90°, ∴ 四边形 AHCD 为矩形,∴ DC =AH =AB·sinB = 4 3,∴ CG =DC- DG=4 3 - 6. ∵ ∠DGE = 30°,∠EGF = 90°,∴ ∠MGC = 60°,∴ CM=CG·tan60° = 12-6 3 . (3)解:PH 的长为 3 12 d2 - 3 d+ 4 3 . 　 【解法提示】 ∵ ∠HEP = 30°, ∠HAE = 30°, ∴ ∠HEP = ∠HAE. 又 ∵ ∠EHP = ∠AHE, ∴ △EHP ∽ △AHE, ∴ PH EH = EH AH , ∴ PH=EH 2 AH . 如解图,过点 H 作 HN⊥AB 于点 N,则 HN= 1 2 AH = 2 3 ,BN = 1 2 BH = 1 4 AB = 2,∴ AN = AB- BN= 6,∴ EN= | 6-d | ,∴ EH2 =EN2 +HN2 = (d-6) 2 +12, ∴ PH=EH 2 AH = (d-6) 2 +12 4 3 = 3 12 d2 - 3d+4 3 . 第 2 题解图 3. (1)解:如解图 1,从 P1 ,P2 ,P3 三点中找出两点即可. (答案不唯一) 图 1 　 　 　 图 2 第 3 题解图 (2)①证明:∵ AD∥BC,∠A= 120°, ∴ ∠ABC= 180°-∠A= 60°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠DBC= 1 2 ∠ABC= 30°. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB= ∠DBC= 30°,∴ ∠ADB= ∠ABD, ∴ AB=AD,∴ △ABD 是等腰三角形. ∵ ∠ADC= 105°,AD∥BC,∠ADB= 30°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 40　 解 答 必 练 ∴ ∠BDC= ∠DCB= 75°,∴ BD=BC, ∴ △BDC 是等腰三角形, ∴ 四边形 ABCD 是以 BD 为等距线的等距四边形. ②解:存在. 当 DQ∥AB 时,四边形 ABQD 是以 BD 为等 距线的等距四边形. 证明如下:∵ DQ∥AB,∴ ∠BDQ= ∠ABD= 30°, ∴ ∠BDQ= ∠DBQ,∴ QB=QD, ∴ △BDQ 是等腰三角形. 由①知,△ABD 是等腰三角形, ∴ 四边形 ABQD 是以 BD 为等距线的等距四边形. 易得四边形 ABQD 为菱形,如解图 2,连接 AQ 交 BD 于 点 G,则 AQ⊥BD. ∵ ∠ABG= 30°,AB=AD= 2,∴ AG= 1 2 AB= 1, ∴ BG= AB2-AG2 = 3,∴ AQ=2AG=2,BD=2BG=2 3, ∴ 四边形 ABQD 的面积为 1 2 AQ·BD= 2 3 . (3)解:CM2 的值为 32-16 3或 16. 　 【解法提示】∵ AM 是四边形 ABMC 的等距线,∴ △AMC 是等腰三角形. 如解图 3,当 AM = AC 时,AB = AM =BM,∴ △ABM 是等 边三角形,∴ ∠BAM = 60°. ∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠MAC = 30°. 过点 M 作 ME⊥AC 于点 E,则 ME = 1 2 AM = 2, ∴ AE= AM2 -ME2 = 2 3 ,∴ CE = AC-AE = 4 - 2 3 , ∴ CM2 =CE2 +ME2 = 32 - 16 3 . 如解图 4,当 CM = AC 时,△AMC 是等腰三角形,CM2 = 16. 综上所述,CM2 的 值为 32-16 3或 16. 图 3 　 　 　 图 4 第 3 题解图 4.解:(1) 2 3 . (2)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ ∠B= ∠D= 90°,AB=CD. 当点 E 运动到点 C 处时,由折叠的性质可得,∠F = ∠B= 90°,AF=AB, ∴ ∠F= ∠D,AF=CD=ED. 在△AFG 和△EDG 中, ∠F= ∠D= 90°, ∠AGF= ∠EGD, AF=ED, { ∴ △AFG≌△EDG(AAS) . (3)①根据题意,画出△AFE 的示意图如解图 1. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,BC= 8 cm, ∴ ∠BAD= ∠ABC= 90°,AD=BC= 8 cm. ∵ AB= 6 cm,∴ BD= AB2 +AD2 = 10(cm) . 由折叠的性质,得 AF=AB=6 cm,∠AFE=∠ABC=90°, ∴ DF=AD-AF= 2(cm),EF∥AB, ∴ DF AD =DK BD ,即 2 8 =DK 10 ,∴ DK= 5 2 cm. ②6 s. 　 【解法提示】当点 E 在 BE0 上运动时,如解图 2,此阶段△AEF 不能覆盖点 K;当点 E 在 E0C 上运动 时,如解图 3,此阶段△AEF 能覆盖点 K. 易得四边形 ABE0F0 为正方形, ∴ BE0 = AB = 6 cm, ∴ CE0 = BC - BE0 = 2(cm),∴ 此阶段运动时间为 2÷1 = 2(s) . 当点 E 在 CD 段运动时, 如解图 4, 在 AE 经过点 K 之前, △AEF 能覆盖点 K. 当 AE 经过点 K 时,如解图 5,∵ 四 边形 ABCD 为矩形, ∴ AB∥CD, ∴ △DEK∽ △BAK, ∴ DK BK =DE AB ,即 5 2 10- 5 2 = DE 6 ,解得 DE = 2( cm),∴ CE = CD-DE= 4( cm),∴ 此阶段运动时间为 4÷ 1 = 4( s), ∴ △AEF 能覆盖点 K 的时长为 2+4 = 6(s) . (4)d= 12n 2 36+n2 cm. 　 【解法提示】如解图 6,过点 F 作 FH⊥BC 于点 H,延长 HF 交 AD 于点 G,则∠BAD = ∠ABC = ∠BHG = 90°, ∴ 四 边 形 ABHG 为 矩 形, ∴ ∠AGF= 90°,GH = AB = 6 cm,BH = AG,∴ EH = BH- BE=AG-BE = AG-n. ∵ FH = d,∴ GF = (6-d) cm. 由折 叠的性质,得∠AFE= ∠ABC= 90°,EF=BE=n cm,AF= AB= 6 cm,∴ ∠AFG+∠EFH = 90°. ∵ ∠AFG+∠FAG = 180°- ∠AGF = 90°, ∴ ∠FAG = ∠EFH. 又∵ ∠AGF = ∠FHE= 90°,∴ △AGF∽ △FHE,∴ AF FE = GF HE = AG FH ,即 6 n = 6-d AG-n = AG d ,整理可得 AG = 6d n = 12n-nd 6 ,解得 d = 12n2 36+n2 cm. 图 1 　 　 　 图 2 图 3 　 　 　 图 4 图 5 　 　 　 图 6 第 4 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 43　 解答必练 8　 三角形、四边形探究题 (2025 样卷、2024 河北中考新变化设问) 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题 考查频次 考查特点 T24 5 年 5 考 (1)4 ~ 5 问; (2)均为动态问题,解题时常用到全等三角形、相似三角形的性质与判 定,还常涉及分类讨论思想; (3)2024 河北中考、2025 样卷均首次在解答题中涉及尺规作图,需特别􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 关注,强化复习􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 1. 2025 样卷方向 几何探究与尺规作图综合 如图 1,在△ABC 中,CD 为 AB 边上的中线. (1)用直尺和圆规在图 1 中作出△ADM,使点 M 在 CD 的延长线上,且 MD=CD(保留作图 痕迹,不写作法),判断△ADM 与△BDC 是否全等,并说明理由; (2)如图 1,若 AC= 3,BC= 2,直接写出 CD 的取值范围; (3)如图 2,在△ABC 中,CD 为 AB 边上的中线,点 E 在 BC 边上,连接 AE 交 CD 于点 F,且 AF=BC. 判断∠CFE 与∠BCD 的大小关系,并说明理由; 拓展:如图 3,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 是 BC 的中点,若 AE 是∠BAD 的平分线, ∠D=α,用含 α 的式子直接表示∠BAE. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 第 1 题图 解:(1)如解图 1,△ADM 即为所求. △ADM≌△BDC. 理由如下: ∵CD 为 AB 边上的中线,∴AD=BD. 又∵∠ADM=∠BDC,MD=CD,∴△ADM≌△BDC(SAS) . (2) 1 2 <CD< 5 2 . 　 【解法提示】由(1)可知 AM=BC= 2. 在△ACM 中,AC-AM<CM<AC+AM,AC= 3,∴3-2<CM<3+2,即 1<2CD<5,∴ 1 2 <CD< 5 2 . (3)∠CFE=∠BCD. 理由如下: 如解图 2,延长 CD 至点 N,使 DN=CD,连接 AN. ∵CD 为 AB 边上的中线,∴AD=BD. 又∵∠ADN=∠BDC, ∴△ADN≌△BDC(SAS),∴AN=BC,∠N=∠BCD. ∵AF=BC,∴AF=AN,∴∠N=∠AFN,∴∠BCD=∠AFN. ∵∠CFE=∠AFN,∴∠CFE=∠BCD. 众相原创·河北数学 44　 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B = 60°,∠C = 90°,AB = 8,AH⊥BC 于点 H. 在△EFG 中,FG= 4,EG= 4 3 ,∠G= 90°. 将△EFG 按如图 1 放置,顶点 E 在 AD 上,且 EF⊥AD,然后 将△EFG 沿 DA 平移至点 E 与点 A 重合,再改变△EFG 的位置,如图 3,将顶点 E 沿 AB 移 动至点 B,并使点 H 始终在 EF 上. (1)求证:△ABH≌△EFG. (2)当点 E 在 DA 上运动时, ①如图 1,连接 AF,当 EG∥AF 时,求 AE 的长; ②如图 2,当顶点 G 落在 CD 上时,设 FG 与 BC 的交点为 M,直接写出 CM 的长. (3)如图 3,当点 E 在 AB 上运动时,设 EG 交 AH 于点 P,AE = d,请直接用含 d 的式子表示 PH 的长. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 第 2 题图 (1)证明:∵AH⊥BC,∴∠AHB= 90°. ∵∠B= 60°,∴∠BAH= 30°. ∵AB= 8,∴BH= 1 2 AB= 4,AH= 3 2 AB= 4 3 . ∵FG= 4,EG= 4 3,∠G= 90°, ∴BH=FG,AH=EG,∠AHB=∠G= 90°, ∴△ABH≌△EFG(SAS) . (2)解:①由(1)知,∠FEG=∠BAH= 30°,EF=AB= 8. ∵EG∥AF, ∴∠AFE=∠FEG= 30°. 又∵EF⊥AD,即∠AEF= 90°, ∴AE=EF·tan∠AFE= 8 3 3 . ②CM 的长为 12-6 3 . 　 【解法提示】见答案 P54. (3)PH 的长为 3 12 d2- 3d+4 3 . 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学 45　 3. 2024 真题变化方向 新定义 如图 1,在四边形 ABCD 中,BD 为对角线,若△ABD 和△BCD 均为等腰三角形,则称该四边形为等距四边形,对角线 BD 为等距线. (1)如图 2,在 5×5 的正方形网格中,A,B,C 均为格点(网格线的交点),请在网格中找出格 点 P,使以 A,B,C,P 为顶点的四边形是等距四边形,并画出相应的图形. (找出两点即可) (2)如图 3,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A= 120°,∠ADC= 105°,BD 平分∠ABC,AD= 2. ①证明:四边形 ABCD 是以 BD 为等距线的等距四边形; ②Q 为线段 BC 上一动点(不与点 B,C 重合),是否存在四边形 ABQD 是以 BD 为等距 线的等距四边形? 若存在,请写出证明过程,并求出四边形 ABQD 的面积;若不存 在,请说明理由. (3)如图 4,在△ABC 中,AB = AC = 4,∠BAC = 90°,将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 α(45°< α≤90°)得到 BM,连接 AM,CM. 若四边形 ABMC 是以 AM 为等距线的等距四边形,请 直接写出 CM2 的值. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 第 3 题图 众相原创·河北数学 46　 4. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB= 6 cm,BC= 8 cm,点 E 从点 B 出发,沿 BC 做匀速运动. 点 E 运动的同时,将△ABE 沿 AE 所在直线折叠,得到△AFE. (1)如图 1,当点 E 运动到 BC 的中点时,tan∠EAF= 　 　 　 　 . (2)如图 2,当点 E 运动到点 C 处时,设 EF 与 AD 交于点 G,求证:△AFG≌△EDG. (3)在点 E 运动过程中, ①当 AF 恰好落在 AD 边上时,EF 与 BD 的交点为 K,请在图 3 中画出△AFE 的示意 图,并求线段 DK 的长; ②若点 E 到达点 C 后继续匀速沿 CD 运动,直至到达点 D 停止. 设点 E 的运动速度为 1 cm / s,在点 E 沿 B-C-D 运动的整个过程中,直接写出△AEF 能覆盖①中所得点 K 的时长(含边界) . (4)设 BE=n cm,当 0<n<6 时,直接写出点 F 到 BC 的距离 d(用含 n 的式子表示) . 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 　 　 　 备用图 第 4 题图 解:(1) 2 3 . 　 【解法提示】∵四边形 ABCD 为矩形,∴∠B= 90°. 当点 E 运动到 BC 的中点时,BE= 1 2 BC= 4(cm) . 由折叠的性质可得,∠EAF=∠EAB,∴tan∠EAF=tan∠EAB=BE AB = 4 6 = 2 3 . (2)证明:∵四边形 ABCD 为矩形,∴∠B=∠D= 90°,AB=CD. 当点 E 运动到点 C 处时,由折叠的性质可得,∠F=∠B= 90°,AF=AB, ∴∠F=∠D,AF=CD=ED. 在△AFG 和△EDG 中, ∠F=∠D= 90°, ∠AGF=∠EGD, AF=ED, ì î í ï ï ï ï ∴△AFG≌△EDG(AAS) . (3)①根据题意,画出△AFE 的示意图如解图 1. ∵四边形 ABCD 为矩形,BC=8 cm,∴∠BAD=∠ABC=90°,AD=BC=8 cm. ∵AB= 6 cm,∴BD= AB2+AD2 = 10(cm) . 由折叠的性质,得 AF=AB= 6 cm,∠AFE=∠ABC= 90°, ∴DF=AD-AF= 2(cm),EF∥AB,∴DF AD =DK BD ,即 2 8 =DK 10 ,∴DK= 5 2 cm. ②6 s. 　 【解法提示】见答案 P54. (4)d= 12n 2 36+n2 cm. 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学