解答必练7 函数综合题-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

39　 解答必练 7　 函数综合题 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题 考查频次 考查特点 T21 5 年 5 考 3 ~ 5 问,函数类型为一次函数或二次函数或两者的综合,常见的 设问为求函数解析式、点坐标、取值范围、面积等 1. 2024 真题变化方向 学科内融合 如图,已知直线 l1 经过点 A( -1,-1)和 B(1,3),约定在 坐标系内可对直线 l1 进行如下两种方式操作: 甲方式:先向上平移 3 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度; 乙方式:先向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度. (1)求直线 l1 的解析式. (2)若对直线 l1 连续进行两次操作. ①若这两次操作均为甲方式,请直接写出所得直线 l2 的解析式,并求其与坐标轴的交 点坐标; ②若这两次操作方式是随机选择的,设事件 N= “所得直线与 l1 重合”,求事件 N 发生 的概率 P(N) . (3)嘉嘉对直线 l1 连续进行 10 次操作得到直线 l3,若 l1,l3 及(2)中的 l2 这三条直线满足 “任意两条相邻直线间的距离相等”,直接写出嘉嘉按甲方式进行了几次操作. 第 1 题图 解:(1)设直线 l1 的解析式为 y=kx+b(k≠0) . 将 A(-1,-1),B(1,3)分别代入,得 -k+b=-1, k+b= 3,{ 解得 k= 2, b= 1,{ ∴直线 l1 的解析式为 y= 2x+1. (2)①将直线 l1 按甲方式操作一次,得到直线的解析式为 y = 2(x-1) +1+ 3= 2x+2, 再按甲方式操作一次,得到直线 l2 的解析式为 y= 2(x-1)+2+3= 2x+3. 令 x= 0,则 y= 3,∴直线 l2 与 y 轴的交点坐标为(0,3) . 令 y= 0,则 2x+3= 0,解得 x=- 3 2 ,∴直线 l2 与 x 轴的交点坐标为(- 3 2 ,0) . ②由①可知,进行一次甲操作相当于将直线向上平移 1 个单位长度. 将直线 l1 按乙方式操作所得直线的解析式为 y= 2(x-2)+1+3= 2x,即进行一次乙操作相当于将直 线向下平移 1 个单位长度, ∴进行一次甲操作和一次乙操作所得直线与直线 l1 重合. 两次操作方式列表如下: 甲 乙 甲 (甲,甲) (乙,甲) 乙 (甲,乙) (乙,乙) (3)嘉嘉按甲方式进行了 7 次或 4 次操作. 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学 40　 2. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y= kx-10 经过点 A(12,0)和 B(a,-5),反比例函数 y= m x (x>0)的图象经过点 B. (1)求该直线和反比例函数的解析式. (2)点 C 从点 A 出发,沿过点 A 且与 y 轴平行的直线向下运动,速度为每秒 1 个单位长度, 点 C 的运动时间为 t 秒(0<t<12),连接 BC,作 BD⊥BC 交 x 轴于点 D,连接 CD, ①当点 C 在反比例函数的图象上时,t 的值为　 　 　 　 ; ②在 0<t<6 内,∠BCD 的大小是否发生变化? 如果发生变化,求 tan∠BCD 的变化范 围;如果不发生变化,求 tan∠BCD 的值; ③当 DC= 13 61 12 时,请直接写出 t 的值. 第 2 题图 解:(1)∵直线 y=kx-10 经过点 A(12,0),∴12k-10= 0,解得 k= 5 6 , ∴该直线的解析式为 y= 5 6 x-10. 将 B(a,-5)代入,得-5= 5 6 a-10,解得 a= 6,∴B(6,-5) . ∵反比例函数 y=m x (x>0)的图象经过点 B, ∴m=-30,∴该反比例函数的解析式为 y=-30 x (x>0) . (2)① 5 2 . 　 【解法提示】∵ AC∥y 轴,∴ 点 C 的横坐标为 12,∴ y = -30 12 = - 5 2 ,∴ C(12,- 5 2 ), ∴AC= 5 2 ,∴当点 C 在反比例函数的图象上时,t 的值为 5 2 . ②在 0<t<6 内,∠BCD 的大小不发生变化. 如解图 1,设直线 AB 交 y 轴于点 P,则 P(0,-10),取 CD 的中点 K,连接 AK,BK. ∵∠CBD=∠DAC= 90°,DK=KC, ∴BK=AK= 1 2 CD=DK=KC, ∴A,D,B,C 四点共圆, ∴∠BCD=∠BAD. 分析可知,在 0<t<6 内,点 D 在线段 OA 上,∴∠BAD 不变, ∴∠BCD 不变,tan∠BCD=tan∠BAD=OP OA = 10 12 = 5 6 . ③t 的值为 5 2 或 15 2 . 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学 41　 3. 如图,直线 l:y= x+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,C,抛物线 L:y=ax2 -2x+c 经过点 B(2,0)和 点 C,其顶点为 M,对称轴与 x 轴交于点 H,P 是抛物线 L 上的一点,设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线 L 的解析式,并经过计算判断抛物线 L 是否经过点 A. (2)若点 P 介于点 M,B 之间(包括端点),点 D 与点 P 关于对称轴 MH 对称,作 DE∥y 轴, 交直线 l 于点 E. ①当 m= 1 时,求 DE 的长; ②若 DE 的长随 m 的增大而增大,求 m 的取值范围. (3)若点 P 在第二象限,直接写出点 P 与直线 l 距离的最大值. 第 3 题图 　 　 　 备用图 解:(1)对于 y=x+6,当 x= 0 时,y= 6,∴C(0,6) . 将 B(2,0),C(0,6)分别代入 y=ax2-2x+c,得 0= 4a-4+c, c= 6,{ 解得 a=- 1 2 , c= 6, ì î í ï ï ïï ∴抛物线 L 的解析式为 y=- 1 2 x2-2x+6. 把 y= 0 代入 y=x+6,得 x=-6,∴A(-6,0) . 把 x=-6 代入 y=- 1 2 x2-2x+6,得 y=- 1 2 ×36+2×6+6= 0,∴抛物线 L 经过点 A. (2)①当 m= 1 时,y=- 1 2 -2+6= 7 2 ,∴P(1, 7 2 ) . 由 y=- 1 2 x2-2x+6=- 1 2 (x+2) 2+8 知,抛物线 L 的对称轴为直线 x=-2, ∴D(-5, 7 2 ) . 将 x=-5 代入 y=x+6,得 y= 1,∴E(-5,1),∴DE= 7 2 -1= 5 2 . ②∵P(m,- 1 2 m2-2m+6),点 D 与点 P 关于对称轴 MH 对称, ∴D(-m-4,- 1 2 m2-2m+6) . ∵DE∥y 轴,点 E 在直线 y=x+6 上,∴E(-m-4,-m-4+6),即 E(-m-4,-m+2), ∴DE=- 1 2 m2-2m+6-(-m+2)= - 1 2 (m+1) 2+ 9 2 . 又∵-2≤m≤2,DE 的长随 m 的增大而增大,∴m 的取值范围是-2≤m≤-1. (3)点 P 与直线 l 距离的最大值为9 2 4 . 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学 42　 4. 如图,抛物线 y=ax2 +5ax+c 交 x 轴于 A( -6,0),B 两点(点 A 在点 B 的左侧),交 y 轴于点 C(0,-3),D( -1,m)为抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式及 m 的值. (2)过点 D 作 DM⊥x 轴,垂足为 M,点 P 在直线 AD 下方的抛物线上运动,过点 P 分别作 PE⊥AD 于点 E,PF⊥DM,垂足 F 在线段 DM 上. ①求△MPD 面积的最小值; ②求 2PE+PF 的最大值. (3)将原抛物线沿射线 CA 方向平移 5 2 个单位长度,平移后的抛物线上有一点 G 在第三象 限内,使得∠CAG= 45°,请直接写出符合条件的点 G 的横坐标. 第 4 题图 解:(1)将 C(0,-3),A(-6,0)分别代入 y=ax2+5ax+c,得 c=-3, 36a-30a+c= 0,{ 解得 a= 1 2 , c=-3, ì î í ïï ïï ∴抛物线的解析式为 y= 1 2 x2+ 5 2 x-3. 将 D(-1,m)代入,得 m= 1 2 - 5 2 -3=-5. (2)①∵D(-1,-5),∴DM= 5,∴S△MPD = 1 2 PF·DM= 5 2 PF. ∵PF⊥DM,垂足 F 在线段 DM 上,∴当 F,D 重合时,PF 最小,此时△MPD 的面积最小. 令 y= 1 2 x2+ 5 2 x-3=-5,解得 x=-1 或-4,∴PF=-1-(-4)= 3, ∴△MPD 面积的最小值为 5 2 ×3= 15 2 . ②如解图 1,过点 P 作 PH∥y 轴交 AD 于点 H. 由点 A,D 的坐标得,直线 AD 的解析式为 y=-x-6,易得∠MDA=∠PHE= 45°,∴PH= 2PE. 设 P(x, 1 2 x2+ 5 2 x-3),易得-6<x≤-4,则 H(x,-x-6), ∴ 2PE+PF=PH+(xF-xP)= (-x-6- 1 2 x2- 5 2 x+3)+(-1-x)= - 1 2 x2- 9 2 x-4=- 1 2 (x+ 9 2 ) 2+49 8 . ∵- 1 2 <0,∴当 x=- 9 2 时, 2PE+PF 取得最大值,最大值为 49 8 . (3)符合条件的点 G 的横坐标为 -13+ 21 2 . 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学 37　 解 答 必 练 解答必练 7　 函数综合题 1.解:(1)直线 l1 的解析式为 y= 2x+1. (2)①将直线 l1 按甲方式操作一次,得到直线的解析 式为 y= 2(x-1)+1+3 = 2x+2, 再按甲方式操作一次,得到直线 l2 的解析式为 y = 2(x- 1)+2+3 = 2x+3. 令 x= 0,则 y= 3, ∴ 直线 l2 与 y 轴的交点坐标为(0,3) . 令 y= 0,则 2x+3 = 0,解得 x= - 3 2 , ∴ 直线 l2 与 x 轴的交点坐标为(- 3 2 ,0) . ②由①可知,进行一次甲操作相当于将直线向上平移 1 个单位长度. 将直线 l1 按乙方式操作所得直线的解析式为 y = 2(x- 2)+1+3 = 2x,即进行一次乙操作相当于将直线向下平 移 1 个单位长度, ∴ 进行一次甲操作和一次乙操作所得直线与直线 l1 重合. 两次操作方式列表如下: 甲 乙 甲 (甲,甲) (乙,甲) 乙 (甲,乙) (乙,乙) 由表格可知,共有 4 种等可能的结果,其中事件 N 发 生的结果有 2 种, ∴ P(N)= 2 4 = 1 2 . (3)嘉嘉按甲方式进行了 7 次或 4 次操作. 　 【解法提 示】由(1) (2)得直线 l1 的解析式为 y = 2x+ 1,直线 l2 的解析式为 y = 2x+3. 根据直线 l1 ,l2 ,l3 满足“任意两 条相邻直线间的距离相等”,可分为三种情况:①若直 线 l3 在直线 l2 上方,则直线 l3 的解析式为 y= 2x+5,即 将直线 l1 向上平移 4 个单位长度得到直线 l3 ,∴ 10 次 操作中按甲方式进行了 7 次,按乙方式进行了 3 次; ②若直线 l3 在直线 l1 和直线 l2 之间,则直线 l3 的解析 式为 y= 2x+2,即将直线 l1 向上平移 1 个单位长度得 到直线 l3 ,进行 10 次操作无法得到;③若直线 l3 在直 线 l1 下方,则直线 l3 的解析式为 y= 2x-1,即将直线 l1 向下平移 2 个单位长度得到直线 l3 ,∴ 10 次操作中按 甲方式进行了 4 次,按乙方式进行了 6 次. 综上所述, 嘉嘉按甲方式进行了 7 次或 4 次操作. 2.解:(1)∵ 直线 y= kx-10 经过点 A(12,0), ∴ 12k-10 = 0,解得 k= 5 6 , ∴ 该直线的解析式为 y= 5 6 x-10. 将 B(a,-5)代入,得-5 = 5 6 a-10,解得 a= 6, ∴ B(6,-5) . ∵ 反比例函数 y= m x (x>0)的图象经过点 B, ∴ m= -30, ∴ 该反比例函数的解析式为 y= -30 x (x>0) . (2)① 5 2 . ②在 0<t<6 内,∠BCD 的大小不发生变化. 如解图 1,设直线 AB 交 y 轴于点 P,则 P(0,- 10),取 CD 的中点 K,连接 AK,BK. ∵ ∠CBD= ∠DAC= 90°,DK=KC, 第 2 题解图 1 ∴ BK=AK= 1 2 CD=DK=KC, ∴ A,D,B,C 四点共圆, ∴ ∠BCD= ∠BAD. 分析可知,在 0<t<6 内,点 D 在线段 OA 上, ∴ ∠BAD 不变, ∴ ∠BCD 不变,tan∠BCD= tan∠BAD=OP OA = 10 12 = 5 6 . ③t 的值为 5 2 或 15 2 . 　 【解法提示】如解图 2,当 t<5 时, 点 C 在点 B 的上方,过点 B 作 BM⊥OA 于点M,过点 C 作 CN⊥BM 于点 N,则△CNB∽△BMD,∴ CN BM = BN DM , ∴ 6 5 = -t+5 DM ,∴ DM = 5 6 ( 5 - t),∴ AD = 6 + 5 6 ( 5 - t) . ∵ DC= 13 61 12 ,∴ [6+ 5 6 (5- t)] 2 + t2 = ( 13 61 12 ) 2 ,解 得 t= 5 2 或 t = 15 2 (舍去) . 当 t>5 时,点 C 在点 B 的下 方,同法可得[6- 5 6 ( t-5)] 2 +t2 = (13 61 12 ) 2 ,解得 t = 15 2 或 t= 5 2 (舍去) . 当 t = 5 时,BC∥x 轴,∴ BC = 6, BD= 5,∴ CD = BC2 +BD2 = 61 ≠ 13 61 12 ,不符合题 意. 综上所述,t 的值为 5 2 或 15 2 . 第 2 题解图 2 3.解:(1)对于 y= x+6,当 x= 0 时,y= 6,∴ C(0,6) . 将 B( 2, 0 ), C ( 0, 6 ) 分别代入 y = ax2 - 2x + c, 得 0 = 4a-4+c, c= 6,{ 解得 a= - 1 2 , c= 6, { ∴ 抛物线 L 的解析式为 y= - 1 2 x2 -2x+6. 把 y= 0 代入 y= x+6,得 x= -6,∴ A(-6,0) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 38　 解 答 必 练 把 x= -6 代入 y= - 1 2 x2 -2x+6, 得 y= - 1 2 ×36+2×6+6 = 0,∴ 抛物线 L 经过点 A. (2)①当 m= 1 时,y= - 1 2 -2+6 = 7 2 ,∴ P(1, 7 2 ) . 由 y= - 1 2 x2 -2x+6 = - 1 2 (x+2) 2 +8 知,抛物线 L 的对 称轴为直线 x= -2, ∴ D(-5, 7 2 ) . 将 x= -5 代入 y= x+6,得 y= 1, ∴ E(-5,1),∴ DE= 7 2 -1 = 5 2 . ②∵ P(m,- 1 2 m2 - 2m+ 6),点 D 与点 P 关于对称轴 MH 对称, ∴ D(-m-4,- 1 2 m2 -2m+6) . ∵ DE∥y 轴,点 E 在直线 y= x+6 上, ∴ E(-m-4,-m-4+6),即 E(-m-4,-m+2), ∴ DE= - 1 2 m2 -2m+6-(-m+2)= - 1 2 (m+1) 2 + 9 2 . 又∵ -2≤m≤2,DE 的长随 m 的增大而增大, ∴ m 的取值范围是-2≤m≤-1. (3)点 P 与直线 l 距离的最大值为9 2 4 . 　 【解法提示】 如解图,过点 P 分别作 PQ⊥AC 于点 Q,PG⊥x 轴于点 G,交 AC 于点 F. 在 Rt△AOC 中,AO =OC = 6,∠AOC = 90°, ∴ ∠CAO = 45°. 在△PQF 中, ∠PFQ = ∠AFG = ∠OAC= 45°,∴ PQ = PF·sin45° = 2 2 PF. ∵ 点 P 的坐 标为(m,- 1 2 m2 -2m+6),∴ 点 F 的坐标为(m,m+6), ∴ PF=- 1 2 m2-2m+6-m-6= - 1 2 m2 -3m,∴ PQ= 2 2 PF = 2 2 (- 1 2 m2 -3m)= - 2 4 (m2 +6m)= - 2 4 (m+3) 2 +9 2 4 , ∴ PQ 的最大值为9 2 4 (此时 m= -3 符合题意),即点 P 与直线 l 距离的最大值为9 2 4 . 第 3 题解图 4.解:(1)抛物线的解析式为 y= 1 2 x2 + 5 2 x-3. m= -5. (2)①∵ D(-1,-5),∴ DM= 5, ∴ S△MPD = 1 2 PF·DM= 5 2 PF. ∵ PF⊥DM,垂足 F 在线段 DM 上, ∴ 当 F,D 重合时,PF 最小,此时△MPD 的面积最小. 令 y= 1 2 x2 + 5 2 x-3 = -5,解得 x= -1 或-4, ∴ PF= -1-(-4)= 3, ∴ △MPD 面积的最小值为 5 2 ×3 = 15 2 . ②如解图 1,过点 P 作 PH∥y 轴交 AD 于点 H. 第 4 题解图 1 由点 A,D 的坐标得,直线 AD 的解析式为 y= -x-6, 易得∠MDA= ∠PHE= 45°,∴ PH= 2PE. 设 P(x, 1 2 x2 + 5 2 x-3),易得-6<x≤-4, 则 H(x,-x-6), ∴ 2PE+PF=PH+(xF -xP) = ( -x- 6- 1 2 x2 - 5 2 x+ 3) + (-1-x)= - 1 2 x2 - 9 2 x-4 = - 1 2 (x+ 9 2 ) 2 +49 8 . ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 x= - 9 2 时, 2PE+PF 取得最大值,最大值为 49 8 . (3)符合条件的点 G 的横坐标为 -13+ 21 2 . 　 【解法 提示】如解图 2,将原抛物线沿射线 CA 方向平移 5 2 个 单位长度,相当于将抛物线向左平移 1 个单位长度、向 上平移 1 2 个单位长度,则新抛物线的解析式为 y = 1 2 x2 + 7 2 x+ 1 2 ①. 设直线 AG 交 y 轴于点 N,过点 N 作 NT⊥ AC 于点 T. 由点 A, C 的坐标得 AC = 3 5 . ∵ ∠TCN=∠ACO,∴ tan∠TCN = tan∠ACO, ∴ NT CT = OA OC = 2,∴ NT = 2CT. 设 CT = x,则 NT = 2x. ∵ ∠CAN = 45°, ∠ATN= 90°,∴ NT = AT,∴ 2x = x+ 3 5 ,解得 x = 3 5 , ∴ CN= 5 x= 15,∴ N(0,-18) . 由点 A,N 的坐标得,直 线 AN 的解析式为 y = - 3x- 18②. 联立①②得 1 2 x2 + 7 2 x+ 1 2 = -3x-18,解得 x = -13+ 21 2 (不合题意的值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 39　 解 答 必 练 已舍去),∴ 符合条件的点 G 的横坐标为 -13+ 21 2 . 第 4 题解图 2 解答必练 8　 三角形、四边形探究题 1.解:(1)如解图 1,△ADM 即为所求. 第 1 题解图 1 △ADM≌△BDC. 理由如下: ∵ CD 为 AB 边上的中线, ∴ AD=BD. 又∵ ∠ADM= ∠BDC,MD=CD, ∴ △ADM≌△BDC(SAS) . (2) 1 2 <CD< 5 2 . 　 【解法提示】由 (1)可知 AM=BC= 2. 在△ACM 中, AC-AM<CM<AC+AM,AC = 3,∴ 3- 2<CM< 3+ 2,即 1< 2CD<5,∴ 1 2 <CD< 5 2 . (3)∠CFE= ∠BCD. 理由如下: 如解图 2,延长 CD 至点 N,使 DN=CD,连接 AN. ∵ CD 为 AB 边上的中线,∴ AD=BD. 又∵ ∠ADN= ∠BDC, ∴ △ADN≌△BDC(SAS),∴ AN=BC,∠N= ∠BCD. ∵ AF=BC,∴ AF=AN, ∴ ∠N= ∠AFN,∴ ∠BCD= ∠AFN. ∵ ∠CFE= ∠AFN,∴ ∠CFE= ∠BCD. 图 2 　 　 　 图 3 第 1 题解图 拓展:∠BAE= 90°- 1 2 α. 　 【解法提示】如解图 3,延长 AE,DC 交于点 P. ∵ AB∥DC,∴ ∠P = ∠BAE. ∵ AE 是 ∠BAD 的平分线,∴ ∠DAE = ∠BAE, ∴ ∠P= ∠DAE. ∵ ∠D=α,∴ ∠DAE+∠P = 180°-α,∴ ∠BAE = ∠DAE = 180°-α 2 = 90°- 1 2 α. 2. (1)证明:∵ AH⊥BC,∴ ∠AHB= 90°. ∵ ∠B= 60°,∴ ∠BAH= 30°. ∵ AB= 8,∴ BH= 1 2 AB= 4,AH= 3 2 AB= 4 3 . ∵ FG= 4,EG= 4 3 ,∠G= 90°, ∴ BH=FG,AH=EG,∠AHB= ∠G= 90°, ∴ △ABH≌△EFG(SAS) . (2)解:①由(1)知,∠FEG= ∠BAH= 30°,EF=AB= 8. ∵ EG∥AF, ∴ ∠AFE= ∠FEG= 30°. 又∵ EF⊥AD,即∠AEF= 90°, ∴ AE=EF·tan∠AFE= 8 3 3 . ②CM 的长为 12-6 3 . 　 【解法提示】当点 G 落在 CD 上时,∵ AD∥BC,∠C = 90°,∴ ∠D = 90°. ∵ EF⊥AD, ∴ EF∥DC, ∴ ∠DGE = ∠FEG = 30°, ∴ DG= EG · cos∠DGE= 6. ∵ ∠D = ∠C = ∠AHC = 90°, ∴ 四边形 AHCD 为矩形,∴ DC =AH =AB·sinB = 4 3,∴ CG =DC- DG=4 3 - 6. ∵ ∠DGE = 30°,∠EGF = 90°,∴ ∠MGC = 60°,∴ CM=CG·tan60° = 12-6 3 . (3)解:PH 的长为 3 12 d2 - 3 d+ 4 3 . 　 【解法提示】 ∵ ∠HEP = 30°, ∠HAE = 30°, ∴ ∠HEP = ∠HAE. 又 ∵ ∠EHP = ∠AHE, ∴ △EHP ∽ △AHE, ∴ PH EH = EH AH , ∴ PH=EH 2 AH . 如解图,过点 H 作 HN⊥AB 于点 N,则 HN= 1 2 AH = 2 3 ,BN = 1 2 BH = 1 4 AB = 2,∴ AN = AB- BN= 6,∴ EN= | 6-d | ,∴ EH2 =EN2 +HN2 = (d-6) 2 +12, ∴ PH=EH 2 AH = (d-6) 2 +12 4 3 = 3 12 d2 - 3d+4 3 . 第 2 题解图 3. (1)解:如解图 1,从 P1 ,P2 ,P3 三点中找出两点即可. (答案不唯一) 图 1 　 　 　 图 2 第 3 题解图 (2)①证明:∵ AD∥BC,∠A= 120°, ∴ ∠ABC= 180°-∠A= 60°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠DBC= 1 2 ∠ABC= 30°. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB= ∠DBC= 30°,∴ ∠ADB= ∠ABD, ∴ AB=AD,∴ △ABD 是等腰三角形. ∵ ∠ADC= 105°,AD∥BC,∠ADB= 30°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学