解答必练6 圆的综合题-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

36　 解 答 必 练 解答必练 6　 圆的综合题 1. (1)证明略. (2)解:如解图,设☉C 交 BC 于点 K,交 DC 于点 L. 第 1 题解图 ∵ 菱形 ABCD 的边长 AB= 4 3 ,∠BAD= 60°, ∴ BC=DC=AB= 4 3 ,∠KCL= ∠BAD= 60°. ∵ BC∥AD,∴ ∠CBE= ∠BAD= 60°. ∵ ∠BEC= 90°,∴ ∠BCE= 90°-∠CBE= 30°, ∴ BE= 1 2 BC= 2 3 ,∴ CE= BC2 -BE2 = 6, ∴ S菱形ABCD = 4 3 ×6 = 24 3 ,S扇形KCL = 60π×62 360 = 6π, ∴ S阴影 =S菱形ABCD-S扇形KCL = 24 3 -6π. 2.解:(1)作图如解图. 第 2 题解图 (2)PB 是☉O 的切线. 证明略. (3)如解图,连接 OC. ∵ AC 为 OP 的垂直平分线,∴ OC=CP= 5. 在 Rt△BOC 中,BC= OC2 -OB2 = 4, ∴ BP=BC+CP= 9. 在 Rt△BOP 中,OP= BP2 +OB2 = 3 10 . 3.解:(1)如解图 1,连接 AB,过点 O 作 OD⊥AB 于点 C, 与☉O 交于点 D. 由题意得,OA=OB=OD= 75 cm,AB= 90 cm. ∵ OC⊥AB,∴ AC=BC= 1 2 AB= 45(cm), ∴ OC= OA2 -AC2 = 60(cm), ∴ CD=OD-OC= 15(cm),即点 A 的竖直高度为 15 cm. 图 1 　 　 图 2 第 3 题解图 (2)如解图 2,过点 A 分别作 AE⊥OB 于点 E,AF⊥MN 于点 F. ∵ ☉O 与 MN 相切于点 B,∴ OB⊥MN, ∴ 四边形 AFBE 为矩形,∴ AF=BE,AE=BF. 设 AF=BE= x cm,则 OE= (75-x)cm. 在 Rt△AOE 中,AE2 =OA2 -OE2 = 752 -(75-x) 2 . 在 Rt△ABE 中,AE2 =AB2 -BE2 = 902 -x2 , ∴ 752 -(75-x) 2 = 902 -x2 ,解得 x= 54,即 AF= 54 cm, ∴ 当☉O 与 MN 相切于点 B 时,点 A 的竖直高度为 54 cm. ∵ 54-15 = 39(cm), ∴ 点 A 的竖直高度升高了 39 cm. (3)185π 12 cm. 　 【解法提示】如解图 1,BD ( 的长即为圆 心 O 运动的路径长. 由(1)知,BC= 45 cm,OC = 60 cm, ∴ tan∠CBO=OC BC = 60 45 = 4 3 . ∵ tan53°≈ 4 3 ,∴ ∠CBO≈ 53°,∴ ∠BOD≈90°-53° = 37°,∴ BD ( 的长为 37π×75 180 = 185 12 π(cm),∴ 圆心 O 运动的路径长为185 12 π cm. 4.解:(1)1. (2)证明:∵ △OQP≌△ABC,∴ ∠COG= ∠A. ∵ OA=OC,∴ ∠OCA= ∠A,∴ ∠COG= ∠OCA, ∴ OG∥AC. ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠OGB= ∠ACB= 90°,∴ OG⊥BC,∴ BG=CG. (3)①如解图 1,连接 AH. 由(2)知∠C= 90°. ∵ OA=OB,OH⊥AB,∴ OH 是 AB 的垂直平分线, ∴ AH=BH. 设 BH= x,则 AH= x,CH= 8-x. 在 Rt△CHA 中,由勾股定理,得 CH2 +AC2 =AH2 , ∴ (8-x) 2 +62 = x2 ,解得 x= 25 4 ,∴ BH= 25 4 . 图 1 　 　 　 图 2 第 4 题解图 ②d 的最大值为 2 13 -3. 　 【解法提示】如解图 2,连 接 OM 交 BC 于点 N. 由题意可知,当 OM⊥BC 时,ON 的长取得最小值. ∵ OM 的长是定值,∴ 此时 d 取得最 大值,且 BN = CN,∴ BN = 1 2 BC = 4. ∵ ∠C= 90°,AC = 6,BC = 8,∴ AB = AC2 +BC2 = 10,∴ OB = 1 2 AB = 5, ∴ ON = OB2 -BN2 = 3. ∵ △OQP ≌ △ABC, ∴ OP = AC= 6,PQ=BC= 8. ∵ M 为 PQ 的中点,∴ PM = 1 2 PQ = 4,∴ OM = PM2 +OP2 = 2 13 , ∴ d最大 = MN = OM - ON= 2 13 -3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 35　 解答必练 6　 圆的综合题 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题 考查频次 考查特点 T20 5 年 5 考 2 ~ 4 问,为实际问题或者几何动态问题. 常用到的知识点:弧长、 扇形面积的计算公式,垂径定理,切线的性质 1. 如图,四边形 ABCD 是菱形,半圆 C 分别与射线 AB,AD 相切于点 E,F,GH 是半圆 C 的直 径,连接 CE,CF,连接 EF 分别交 BC,AC,CD 于点 M,Q,N. (1)求证:EM=FN; (2)若菱形的边长 AB= 4 3 ,∠BAD= 60°,求图中阴影部分的面积. 第 1 题图 (1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=DC. ∵半圆 C 分别与射线 AB,AD 相切于点 E,F,∴AE⊥CE,AF⊥CF,∴∠BEC=∠DFC= 90°. ∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE. 在 Rt△BEC 和 Rt△DFC 中, BC=DC, CE=CF,{ ∴Rt△BEC≌Rt△DFC(HL), ∴∠BCE=∠DCF. 在△MCE 和△NCF 中, ∠CEM=∠CFN, CE=CF, ∠MCE=∠NCF, ì î í ï ï ï ï ∴△MCE≌△NCF(ASA),∴EM=FN. (2)解:如解图,设☉C 交 BC 于点 K,交 DC 于点 L. ∵菱形 ABCD 的边长 AB= 4 3,∠BAD= 60°,∴BC=DC=AB= 4 3,∠KCL=∠BAD= 60°. ∵BC∥AD,∴∠CBE=∠BAD= 60°. ∵∠BEC= 90°,∴∠BCE= 90°-∠CBE= 30°,∴BE= 1 2 BC= 2 3,∴CE= BC2-BE2 = 6, ∴S菱形ABCD = 4 3 ×6= 24 3,S扇形KCL = 60π×62 360 = 6π,∴S阴影 =S菱形ABCD-S扇形KCL = 24 3 -6π. 众相原创·河北数学 36　 2. 2025 样卷方向 尺规作图 《义务教育数学课程标准》 (2022 年版)规定,切线长定理由 “选学”改为“必学”,并新增“会过圆外的一个点作圆的切线” . 在学完《切线的性质与判 定》后,王老师布置一题: 如图,已知☉O 及☉O 外一点 P. 第 2 题图 (1)按要求完成作图并准确标注字母. 尺规作图:作出线段 OP 的垂直平分线交 OP 于点 A;以点 A 为圆心,AP 的长为半径作 ☉A,☉A 与☉O 交于点 B(点 B 位于直线 OP 上方),连接 PB. (2)请问(1)中作图得到的 PB 是☉O 的切线吗? 若是,请进行证明;若不是,请说明理由. (3)设(1)中所作垂直平分线交 BP 于点 C. 若☉O 的半径为 3,CP= 5,求 OP 的长. 解:(1)作图如解图. (2)PB 是☉O 的切线. 证明如下: 如解图,连接 OB. ∵OP 是☉A 的直径, ∴∠OBP= 90°,即 PB⊥OB 于点 B. ∵OB 是☉O 的半径, ∴PB 是☉O 的切线. (3)如解图,连接 OC. ∵AC 为 OP 的垂直平分线,∴OC=CP= 5. 在 Rt△BOC 中,BC= OC2-OB2 = 4, ∴BP=BC+CP= 9. 在 Rt△BOP 中,OP= BP2+OB2 = 3 10 . 众相原创·河北数学 37　 3. 如图 1 是木马玩具底部水平放置的示意图,点 O 是 AB ( 所在圆的圆心. 已知☉O 的半径为 75 cm,点 A,B 之间的水平距离为 90 cm,且两点距离地面 MN 的竖直高度一样高. 计算 (1)求点 A 的竖直高度; 操作 (2)将图 1 的木马玩具沿地面 MN 向右做无滑动地滚动,当☉O 与 MN 相切于点 B 时,如图 2,点 A 的竖直高度升高了多少? 探究 (3)在上述操作过程中,直接写出圆心 O 运动的路径长. (参考数据:tan53°≈ 4 3 ) 图 1 　 　 　 　 图 2 第 3 题图 解:(1)如解图 1,连接 AB,过点 O 作 OD⊥AB 于点 C,与☉O 交于点 D. 由题意得,OA=OB=OD= 75 cm,AB= 90 cm. ∵OC⊥AB,∴AC=BC= 1 2 AB= 45(cm), ∴OC= OA2-AC2 = 60(cm), ∴CD=OD-OC= 15(cm),即点 A 的竖直高度为 15 cm. (2)如解图 2,过点 A 分别作 AE⊥OB 于点 E,AF⊥MN 于点 F. ∵☉O 与 MN 相切于点 B,∴OB⊥MN, ∴四边形 AFBE 为矩形,∴AF=BE,AE=BF. 设 AF=BE=x cm,则 OE=(75-x)cm. 在 Rt△AOE 中,AE2 =OA2-OE2 = 752-(75-x) 2 . 在 Rt△ABE 中,AE2 =AB2-BE2 = 902-x2, ∴752-(75-x) 2 = 902-x2,解得 x= 54,即 AF= 54 cm, ∴当☉O 与 MN 相切于点 B 时,点 A 的竖直高度为 54 cm. ∵54-15= 39(cm),∴点 A 的竖直高度升高了 39 cm. (3)185π 12 cm. 　 【解法提示】如解图 1,BD ( 的长即为圆心 O 运动的路径长. 由(1)知,BC = 45 cm, OC= 60 cm,∴tan∠CBO=OC BC = 60 45 = 4 3 . ∵tan53°≈ 4 3 ,∴∠CBO≈53°,∴∠BOD≈90°-53° = 37°, ∴BD ( 的长为 37π×75 180 = 185 12 π(cm),∴圆心 O 运动的路径长为185 12 π cm. 众相原创·河北数学 38　 4. 如图,以 AB 为直径作☉O,C 为☉O 上一点,△OQP≌△ABC,OQ 与 BC 交于点 G,AC = 6, BC= 8. (1)如图 1,当 OP 经过点 C 时,PC= 　 1　 . (2)在(1)的条件下,求证:BG=CG. (3)如图 2,将△OQP 从图 1 的位置开始绕点 O 顺时针旋转(OP 与 OB 重合时停止转动), OP 与 BC 交于点 H,设 PQ 的中点 M 到 BC 的距离为 d. ①当 OP⊥AB 时,求 BH 的长; ②直接写出旋转过程中 d 的最大值. 图 1 　 　 　 图 2 第 4 题图 解:(1)1. 　 【解法提示】∵AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB = 90°,∴AB = AC2+BC2 = 10,∴OC = 5. ∵△OQP≌△ABC,∴OP=AC= 6,∴当 OP 经过点 C 时,PC=OP-OC= 1. (2)证明:∵△OQP≌△ABC,∴∠COG=∠A. ∵OA=OC,∴∠OCA=∠A,∴∠COG=∠OCA,∴OG∥AC. ∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB= 90°,∴∠OGB=∠ACB= 90°,∴OG⊥BC,∴BG=CG. (3)①如解图 1,连接 AH. 由(2)知∠C= 90°. ∵OA=OB,OH⊥AB,∴OH 是 AB 的垂直平分线,∴AH=BH. 设 BH=x,则 AH=x,CH= 8-x. 在 Rt△CHA 中,由勾股定理,得 CH2+AC2 =AH2,∴ (8-x) 2+62 =x2,解得 x= 25 4 ,∴BH= 25 4 . ②d 的最大值为 2 13 -3. 　 【解法提示】如解图 2,连接 OM 交 BC 于点 N. 由题意可知,当 OM⊥ BC 时,ON 的长取得最小值. ∵OM 的长是定值,∴此时 d 取得最大值,且 BN=CN,∴BN= 1 2 BC= 4. ∵∠C= 90°,AC= 6,BC = 8,∴ AB = AC2+BC2 = 10,∴OB = 1 2 AB = 5,∴ON = OB2-BN2 = 3. ∵△OQP≌△ABC,∴ OP = AC = 6,PQ = BC = 8. ∵M 为 PQ 的中点,∴ PM = 1 2 PQ = 4,∴ OM = PM2+OP2 = 2 13,∴ d最大 =MN=OM-ON= 2 13 -3. 众相原创·河北数学