解答必练5 函数的实际应用-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

31　 解答必练 5　 函数的实际应用题 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题 考查频次 考查特点 T23 5 年 4 考 2~ 4 问,所涉及函数多为一次函数或二次函数,设题背景多样,如 销售与利润问题、行程问题、实物模型、几何图形等. 近两年跨学􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 科问题也是全国考查的热点,可持续关注􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 1. 某水果店包装一种果篮需要 A,B 两种水 果,A 种水果的单价比 B 种水果的单价少 2 元 /斤,若用 600 元购进 A 种水果和用 800 元购进 B 种水果的数量一样多,包装 一个果篮需要 A 种水果 4 斤和 B 种水果 2 斤,每个果篮还需包装费 8 元. 经市场调查 发现:该果篮每月的销量 y(个)与每个果 篮的售价 x(元) ( x 是整数)的关系式为 y= -10x+1 200. (1)求一个果篮的成本(成本 = 进价+包装 费); (2)若每月销售该果篮所获利润是 w 元, 求 w 关于 x 的函数关系式(不需要写 出自变量的取值范围); (3)若每个果篮的售价不超过 m 元(m 是 大于 70 的整数),求每月销售该果篮 所获的最大利润. 解:(1)设 A 种水果的单价为 a 元,则 B 种水 果的单价为(a+2)元. 依题意,得600 a = 800 a+2 ,解得 a= 6, 经检验,a= 6 是原分式方程的解,且符合题意, ∴ a+2= 8, ∴一个果篮的成本为 4×6+8×2+8= 48(元) . (2)依题意,得 w = (x-48) ( -10x+1 200) = -10x2+1 680x-57 600. (3)由(2)可知,w = -10x2 +1 680x-57 600 = -10(x-84) 2+12 960. ∵-10<0, ∴若 70<m<84,则当 x =m 时,w 取得最大值, 最大利润为(-10m2+1 680m-57 600)元; 若 m≥84,则当 x = 84 时,w 取得最大值,最大 利润为 12 960 元. 2. 某经销商出售一种进价为 4 元 /升(注: 1 升= 0. 001 m3)的液体原料,在市场营销 中发现,此商品的日销售量 y(升)与日销 售价 x(元 / 升)满足反比例函数关系,部分 数据如下表: x(元 /升) 4 5 6 y(升) 150 120 100 (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式. (2)已知如图所示的长方体容器中装满了 该液体原料,设日销售后长方体中剩 余液体的高度为 h(m) . ①求 h 与 x 的函数关系式; ②物价局规定此液体原料的日销售价 不能超过 8 元 /升,若该液体原料按 最大日销售利润的售价销售 20 天, 则长方体容器中剩余液体原料多 少升? 第 2 题图 解:(1)y 与 x 的函数关系 式为 y= 600 x (x>0) . (2)①液体原料的日销售 量为 1×1×(2-h) = (2- h)m3 = 1 000(2-h)升, ∴ y= 600 x = 1 000(2-h),∴h= 2- 3 5x . ②设此液体原料的日销售利润为 W(元),则 W=(x-4)·600 x = 600-2 400 x . ∵4≤x≤8,∴当 x= 8 时,W 取得最大值,此时 日销售量为 y= 600 8 = 75. ∵该液体原料按最大日销售利润的售价销售 20 天, ∴长方体容器中剩余液体原料为 1 × 1 × 2 × 1 000-75×20= 500(升) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 32　 3. 有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛,设净化药物的消耗量为 x(kg),室内甲醛含量为 y(mg / m3),开机后净化器开始消耗净化药物. 当 0<x≤1 时,室内 甲醛含量不改变;当 x>1 时,净化器开始计时,开始计时后,设时间为 t( h) ( t>0),并有以 下两种工作模式: 模式Ⅰ　 室内甲醛含量 y(mg / m3)与净化药物的消耗量 x(kg)成反比,且当 x=2 时,y=0. 9; 模式Ⅱ　 净化药物的消耗量由档位值 k(0<k≤10,且 k 为整数)控制,消耗量是档位值 k 与 时间 t 的积,计时后甲醛的减少量 d(mg / m3)与时间 t(h)的平方成正比,且当 t = 2 时, d= 20. 已知开机前测得该室内的甲醛含量为 1. 8 mg / m3 . (1)在模式Ⅰ下,直接写出 y 与 x 的关系式(不写 x 的取值范围) . (2)在模式Ⅱ下: ①用 k,t 表示 x,用 t 表示 d; ②当 k= 5 时,求 y 与 x 的关系式(不写 x 的取值范围) . (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛,当 k = 5,y = 1 mg / m3 时,与模式Ⅰ相比,消耗相同的净化药 物,哪种模式去除甲醛的效果更好? 请通过计算说明理由. 解:(1)在模式Ⅰ下,y 与 x 的关系式为 y= 1. 8 x . (2)①由已知得 x=kt+1; 设 d=at2 . ∵当 t= 2 时,d= 20,∴20=22a,∴ a= 5,∴ d= 5t2 . ②当 k= 5 时,x= 5t+1, ∴ t=x -1 5 ,∴ y= 1. 8-d= 1. 8-5t2 =- 1 5 (x-1) 2+1. 8. (3)模式Ⅰ去除甲醛的效果更好. 理由如下:对于模式Ⅱ,当 k= 5,y= 1 mg / m3 时,y=- 1 5 (x-1) 2+1. 8= 1,解得 x= 3(负值已舍) . 当 x= 3 时,对于模式Ⅰ,有 y= 1. 8÷3= 0. 6. ∵1>0. 6,∴模式Ⅰ去除甲醛的效果更好. 众相原创·河北数学 33　 4. 如图,某跳水运动员在 10 米跳台上进行 207C 跳水训练,运动员(将运动员看成一点)在空 中运动的路线是经过原点 O 的抛物线,水面与 y 轴交于点 E(0,-10),在跳 207C 动作时, 运动员在空中最高处点 A 的坐标为( 3 4 , 9 16 ) . 正常情况下,运动员在距水面高度 5 米之前 必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误. 运动员入水后,运动 路线为另一条抛物线. (1)求运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式及入水处点 B 的坐标; (2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好与 y 轴的水平距离为 3 米,问该运动员此次 跳水会不会失误? 说明理由; (3)在该运动员入水处点 B 的正前方有 M,N 两点,且 EM = 6 米,EN = 8 米,该运动员入水 后运动路线对应的抛物线的解析式为 y= (x-h) 2 +k. 若该运动员出水处点 D 在 MN 之 间(包括 M,N 两点),直接写出 k 的取值范围. 第 4 题图 解:(1)设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 y=a(x- 3 4 ) 2+ 9 16 . 将(0,0)代入,得 9 16 a+ 9 16 = 0,解得 a=-1, ∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 y=-(x- 3 4 ) 2+ 9 16 =-x2+ 3 2 x. 令 y=-10,解得 x= 4 或 x=- 5 2 (舍去), ∴点 B 的坐标为(4,-10) . (2)该运动员此次跳水不会失误. 理由如下: 当 x= 3 时,y=-x2+ 3 2 x=- 9 2 . ∵- 9 2 -(-10)= 11 2 (米)>5 米, ∴该运动员此次跳水不会失误. (3)-14≤k≤-11. 　 【解法提示】∵EM= 6 米,EN= 8 米,E(0,-10),∴M(6,-10),N(8,-10) . 对 于 y=(x-h) 2+k,将 B(4,-10)代入,得-10=(4-h) 2+k,∴ k=-10-(4-h) 2 . 若抛物线经过点M(6, -10),则抛物线的对称轴为直线 x= 4 +6 2 = 5,∴h= 5,∴ k = -11;若抛物线经过点 N(8,-10),则抛 物线的对称轴为直线 x= 4 +8 2 = 6,∴h= 6,∴ k=-14. ∵出水处点 D 在 MN 之间(包括 M,N 两点), ∴-14≤k≤-11. 众相原创·河北数学 34　 5. 如图 1,某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱,两水箱各配有一条智能水管,当甲水箱 至最低水位 10 cm 时 1 号管启动,将乙水箱中的水(此时乙箱水满)匀速注入甲水箱. 甲、 乙两水箱的水位相同时 2 号管启动(1 号管位置低于水位相同高度),将外部自来水匀速 注入乙水箱(两管的注水速度相同,两水箱分别注满后其对应的水管停止工作,期间饮水 机不对外出水) . 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位 h(cm)关于时间 t(min) 的函数图象如图 2. (1)图 2 中表示甲水箱的函数图象的是　 111　 (填①或②); (2)图 2 中 a 的值为　 130　 ,b 的值为　 110　 ; (3)分别求出当 0≤t≤8 时,甲水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式和当 8≤t≤b 时,乙 水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式; (4)为节约能源,设定当两水箱的水位差不超过 20 cm 时甲水箱启动加热,加热时每分钟 耗电 0. 06 度,另外每根水管工作 1 min 均耗电 0. 01 度,直接写出图 2 中从 0 min 到 b min 的整个过程中所消耗的电量. 图 1 　 　 　 图 2 第 5 题图 解:(1)①. (2)30;10. 　 【解法提示】由题意得,甲水箱水位上升的速度为(90-10)÷8= 10(cm / min),∴当 t= 2 时,水位上升了 20 cm,∴ a= 10+20 = 30. ∵前 2 min,乙水箱向甲水箱注水,乙水箱水位下降了 90-30= 60(cm) . 第 8 min 开始,甲水箱已注满,仅剩外部自来水匀速注入乙水箱,并且两管的注 水速度相同,∴乙水箱的水位从 30 cm 上升至 90 cm,共 60 cm,也需要 2 min,∴ b= 8+2= 10. (3)设当 0≤t≤8 时,甲水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式为 h=kt+c. 将(0,10)和(8,90)分别代入,得 c= 10, 8k+c= 90,{ 解得 k= 10, c= 10,{ ∴当 0≤t≤8 时,甲水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式为 h= 10t+10. 设当 8≤t≤b 时,乙水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式为 h=mt+n. 将(8,30)和(10,90)分别代入,得 8m+n= 30, 10m+n= 90,{ 解得 m= 30, n=-210,{ ∴当 8≤t≤b 时,乙水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式为 h= 30t-210. (4)图 2 中从 0 min 到 b min 的整个过程中所消耗的电量为 0. 35 度. 　 【解法提示】见答案 P54. 众相原创·河北数学 35　 解 答 必 练 ∴ CD= 5k m,∴ 5k= 0. 8,∴ k= 4 25 . ∴ DN= 12 25 m,CN= 16 25 m,∴ MD=MN-DN= 18 25 (m) . ∵ ∠MDO+∠NDC= 90°,∠NDC+∠DCN= 90°, ∴ ∠MDO= ∠DCN. 又∵ ∠OMD= ∠DNC= 90°,∴ △MDO∽△NCD, ∴ MD CN =OD CD ,∴ 18 25 16 25 =OD 4 5 ,∴ OD= 9 10 m. (3)若求该过道可以通过的物品的最大长度,此时 O 为 AD 的中点,OC⊥PQ,OB⊥PR,且 OB =OC = 1. 2 m, ∴ OD= OC2 -CD2 = 2 5 5 (m), ∴ AD= 2OD= 4 5 5 ≈1. 789(m) . ∵ 考虑到实际问题,BC 长的最大值不能超过1. 789 m, ∴ 精确到 0. 01 m 时,BC 长的最大值为 1. 78 m. 解答必练 5　 函数的实际应用题 1.解:(1)一个果篮的成本为 48 元. (2)依题意,得 w = ( x- 48) ( - 10x+ 1 200) = -10x2 + 1 680x-57 600. (3)由( 2) 可知,w = - 10x2 + 1 680x- 57 600 = -10(x- 84) 2 +12 960. ∵ -10<0, ∴ 若 70<m<84,则当 x=m 时,w 取得最大值,最大利润 为(-10m2 +1 680m-57 600)元; 若 m≥84,则当 x = 84 时,w 取得最大值,最大利润为 12 960 元. 2.解:(1)y 与 x 的函数关系式为 y= 600 x (x>0) . (2)①液体原料的日销售量为 1×1×(2-h)= (2-h)m3 = 1 000(2-h)升, ∴ y= 600 x = 1 000(2-h),∴ h= 2- 3 5x . ②设此液体原料的日销售利润为 W(元), 则 W= (x-4)·600 x = 600-2 400 x . ∵ 4≤x≤8,∴ 当 x = 8 时,W 取得最大值,此时日销售 量为 y= 600 8 = 75. ∵ 该液体原料按最大日销售利润的售价销售 20 天, ∴ 长方体容器中剩余液体原料为 1×1×2× 1 000- 75× 20 = 500(升) . 3.解:(1)在模式Ⅰ下,y 与 x 的关系式为 y= 1. 8 x . (2)①由已知得 x= kt+1; 设 d=at2 . ∵ 当 t= 2 时,d= 20,∴ 20 = 22a,∴ a= 5,∴ d= 5t2 . ②当 k= 5 时,x= 5t+1, ∴ t= x -1 5 ,∴ y= 1. 8-d= 1. 8-5t2 = - 1 5 (x-1) 2 +1. 8. (3)模式Ⅰ去除甲醛的效果更好. 理由如下:对于模式Ⅱ,当 k= 5,y= 1 mg / m3 时, y= - 1 5 (x-1) 2 +1. 8 = 1,解得 x= 3(负值已舍) . 当 x= 3 时,对于模式Ⅰ,有 y= 1. 8÷3 = 0. 6. ∵ 1>0. 6,∴ 模式Ⅰ去除甲醛的效果更好. 4.解:(1)运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式 为 y= -(x- 3 4 ) 2 + 9 16 = -x2 + 3 2 x. 点 B 的坐标为(4,-10) . (2)该运动员此次跳水不会失误. 理由如下: 当 x= 3 时,y= -x2 + 3 2 x= - 9 2 . ∵ - 9 2 -(-10)= 11 2 (米)>5 米, ∴ 该运动员此次跳水不会失误. (3)-14≤k≤- 11. 　 【解法提示】∵ EM = 6 米,EN = 8 米,E(0,- 10),∴ M(6,- 10),N( 8,- 10) . 对于 y = (x-h) 2 +k,将 B( 4, - 10) 代入,得- 10 = ( 4 - h) 2 + k, ∴ k= -10-(4-h) 2 . 若抛物线经过点 M(6,-10),则抛 物线的对称轴为直线 x= 4 +6 2 = 5,∴ h= 5,∴ k = -11;若 抛物线经过点 N(8,- 10),则抛物线的对称轴为直线 x= 4 +8 2 = 6,∴ h= 6,∴ k = -14. ∵ 出水处点 D 在 MN 之 间(包括 M,N 两点),∴ -14≤k≤-11. 5.解:(1)①. (2)30;10. (3)当 0≤t≤8 时,甲水箱的水位 h 关于时间 t 的函数 解析式为 h= 10t+10. 当 8≤t≤b 时,乙水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析 式为 h= 30t-210. (4)图 2 中从 0 min 到 b min 的整个过程中所消耗的电 量为 0. 35 度. 　 【解法提示】由函数图象可知,0≤t≤2 时是 1 号管单独工作,2<t≤8 时是 1 号管和 2 号管同 时工作,8<t≤10 时是 2 号管单独工作,∴ 两根水管在 整个过程中一共工作 2 + 2 × ( 8 - 2 ) + ( 10 - 8 ) = 16(min) . 当 0≤t≤2 时,设乙水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式为 h= k1 t+b1 . 将(0,90)和(2,30)分别代 入,得 b1 = 90, 2k1 +b1 = 30, { 解得 k1 = -30, b1 = 90, { ∴ 当 0≤t≤2 时,乙 水箱的水位 h 关于时间 t 的函数解析式为 h = - 30t+ 90. ∵ 两水箱的水位差不超过 20 cm 时甲水箱启动加 热,∴ 当 0≤t≤2 时,令( -30t+90) -(10t+10) = 20,解 得 t= 1. 5;当 2<t≤8 时,令 10t+10-30 = 20,解得 t = 4; 当 8 < t≤10 时,令 90 - ( 30t- 210) = 20,解得 t = 28 3 , ∴ 在 0≤ t ≤ 8 时, 需 要 加 热 的 时 间 为 4 - 1. 5 = 2. 5(min),在 8<t≤10 时,需要加热的时间为 10- 28 3 = 2 3 (min),∴ 消耗的电量为 16 × 0. 01 + ( 2. 5 + 2 3 ) × 0. 06 = 0. 35(度) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学