解答必练3 与三角形有关的实际应用题-【众相原创】2025年河北中考数学必考点二轮快练

25　 解答必练 3　 与三角形有关的实际应用题(2024 河北中考、2025 样卷新变化题型) 2025 样卷 考查题位 2020 ~ 2024 真题 考查频次 考查特点 T22 5 年 1 考 (2024. 22) 2 问,一般考查两方面的内容:①锐角三角函数的实际应用;②相 似三角形的实际应用. 一般以生活中的素材为背景设题,要认真 读题,从中提取有用的信息 1. 新课标方向 跨物理学科 【学科融合】如图 1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法 线在同一平面内,反射光线和入射光线分别位于法线两侧,反射角 r 等于入射角 i,这就是 光的反射定律. 【问题解决】如图 2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是 墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点 G 处,灯泡到地面的高度 AG = 1. 2 m,手电筒的光从 平面镜上点 B 处反射后,恰好经过木板的边缘点 F,落在墙上的点 E 处,木板的高度 CF = 1. 8 m,灯泡到木板的水平距离 AC= 6 m,木板到墙的水平距离 CD= 4 m. 图中 A,B,C,D 在 同一条直线上. 图 1 　 　 　 　 图 2 第 1 题图 (1)求灯泡到平面镜的水平距离 AB 的长; (2)求点 E 到地面的高度 DE. 解:(1)根据题意,得∠CBF=∠ABG,∠FCB=∠GAB, ∴△FCB∽△GAB,∴CF AG =BC AB . ∵AG= 1. 2 m,CF= 1. 8 m,AC= 6 m, ∴1. 8 1. 2 = 6-AB AB ,∴AB= 2. 4 m. 答:灯泡到平面镜的水平距离 AB 的长为 2. 4 m. (2)由题意,得∠EDB=∠GAB,∠EBD=∠GBA, ∴△EDB∽△GAB,∴DE AG =BD AB , 即 DE 1. 2 = 4+6-2. 4 2. 4 ,解得 DE= 3. 8 m. 答:点 E 到地面的高度 DE 为 3. 8 m. 众相原创·河北数学 26　 2. 根据以下材料,完成探究任务. 利用相似三角形测高 发现、 提出 问题 周末,数学老师组织同学们来到湿地 公园开展“利用相似三角形测高”的 综合实践活动. 如图,在公园某处,他 们发现一个简易工具房前有一堵围 墙 AB,同学们提出问题:围墙 AB 的 高度是多少米? 第 2 题图 分析 问题 结合课本上“利用相似三角形测高” 的知识,同学们进行如下操作: ①当阳光恰好从围墙最高点 A 经窗 户点 C 处射进房间地面 F 点时,测得 OF= 5 m; ②当阳光恰好从围墙最高点经窗户 点 D 处射进房间地面 E 点时,测得 OE = 0. 8 m. 此外,测得:窗高 CD = 1. 5 m,窗户距地面的高度 OD= 1 m. 解决 问题 (1)求 OB 的长; (2)请利用上述数据,求出围墙 AB 的 高度. 解:(1)连接 CD. ∵AB⊥BF,DO⊥BF,∠BEA=∠OED, ∴△ABE∽△DOE,∴ AB OD =BE OE . ∵OD= 1 m,OE= 0. 8 m,∴AB 1 =OB+0. 8 0. 8 , ∴AB= 5 4 OB+1. 同理,△ABF∽△COF, ∴AB CO =BF OF ,则 AB 1+1. 5 =OB+5 5 , ∴AB= 1 2 OB+ 5 2 , ∴ 5 4 OB+1= 1 2 OB+ 5 2 ,解得 OB= 2 m. (2)由(1)知 OB= 2 m,AB= 1 2 OB+ 5 2 , ∴AB= 7 2 m,∴围墙 AB 的高度为 7 2 m. 3. 新课标方向 跨化学学科 实验是培养学 生创新能力的重要途径. 如图 1 是小亮同 学安装的化学实验装置,安装要求为试管 口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的 三分之一处. 现将图 1 的实验装置图抽象 成图 2 的示意图,已知试管 AB = 24 cm, BE= 1 3 AB,试管倾斜角∠ABG 为 12°. (1)求试管口 B 与铁杆 DE 的水平距离 BG 的长度; (2)实验时,导气管紧靠水槽壁 MN,延长 BM 交 CN 的延长线于点 F,且 MN⊥ CF 于点 N(点 C,D,N,F 在一条直线 上),经测得:DE = 28 cm,MN = 8 cm, ∠ABM= 147°,求线段 DN 的长度. (结果用含非特殊角的三角函数表示) 图 1 图 2 第 3 题图 解:(1)∵AB= 24 cm,∴BE= 1 3 AB= 8(cm) . ∵cos12°=BG BE =BG 8 ,∴BG= 8cos12°(cm) . (2)∵sin12°=EG BE =EG 8 ,∴EG= 8sin12°(cm) . 如解图,延长 GB,NM 交于点 H, 则四边形 DNHG 是矩形, ∴NH=DG=DE-EG=(28-8sin12°)cm, ∴HM=NH-MN=(20-8sin12°)cm. ∵∠ABG= 12°,∠ABM= 147°, ∴∠FBG= 135°,∴∠MBH= 45°, ∴BH=HM=(20-8sin12°)cm, ∴ DN = GH = BG + BH = ( 8cos12° + 20 - 8sin12°)cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创·河北数学 27　 4. 随着时代的发展,手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流. 某种手机支架如 图 1 所示,立杆 AB 垂直于地面,其高为 115 cm,BC 为支杆,它可绕点 B 旋转,其中 BC 长 为 30 cm,CD 为悬杆,滑动悬杆可调节 CD 的长度. (参考数据:sin53°≈ 0. 80,cos53° ≈ 0. 60,tan53°≈1. 33) 图 1 　 图 2 　 图 3 第 4 题图 (1)如图 2,当 B,C,D 三点共线,CD = 40 cm 时,且支杆 BC 与立杆 AB 之间的夹角∠ABC 为 53°,求端点 D 距离地面的高度; (2)调节支杆 BC,悬杆 CD,使得∠ABC = 60°,∠BCD = 97°,如图 3 所示,且点 D 到地面的 距离为 140 cm,求 CD 的长. (结果精确到 1 cm) 解:(1)如解图 1,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E. ∵BC= 30 cm,CD= 40 cm,∴BD=BC+CD= 70(cm) . 在 Rt△DBE 中,∠ABC= 53°,∴BE=BD·cos53°≈42(cm) . ∵AB= 115 cm,∴AE=AB-BE≈73(cm), ∴端点 D 距离地面的高度约为 73 cm. (2)如解图 2,过点 D 作 DF 垂直于地面,交地面于点 F,过点 C 作 CG⊥DF,垂足为 G,延长 GC 交 AB 于点 H. 由题意得 GH⊥AB,AH=FG,DF= 140 cm,∴∠BHG= 90°. ∵∠ABC= 60°,∴∠BCH= 90°-∠ABC= 30°. ∵BC= 30 cm,∴BH= 1 2 BC= 15(cm) . ∵AB= 115 cm,∴FG=AH=AB-BH= 100(cm),∴DG=DF-FG= 40(cm) . ∵∠BCD= 97°,∴∠DCG= 180°-∠BCH-∠BCD= 53°. 在 Rt△DCG 中,CD= DG sin53° ≈50(cm),∴CD 的长约为 50 cm. 众相原创·河北数学 33　 解 答 必 练 易得 BP= 16-4t-(-12)= 28-4t, BQ= 16-2t-(-12)= 28-2t,BA= 16-(-12)= 28, ∴ BA +BP BQ = 28+28-4t 28-2t = 2,∴ BA +BP BQ 为定值. 6.解:(1)①<;② = ;③<. (2)4m≤m2 +4. 理由如下: ∵ (m2 +4)-4m= (m-2) 2 ≥0,∴ 4m≤m2 +4. (3)∵ x2 +2-2x2 -4x-6 = -(x+2) 2 ≤0, ∴ x2 +2≤2x2 +4x+6. 7.解:(1)3;2. (2)∵ M(0,x)+D(6,8)= -2, ∴ 0 +x 2 + | 6-8 | = -2,∴ x 2 +2 = -2,解得 x= -8, ∴ D(x,2)= D(-8,2)= | -8-2 | = 10. (3)∵ D(-2,7)+D(4,x)= 13, ∴ | -2-7 | + | 4-x | = 13,∴ 9+ | 4-x | = 13, ∴ | 4-x | = 4, ∴ 4-x= 4 或 4-x= -4,解得 x= 0 或 x= 8, ∴ M(x -1 2 ,6)= 1 2 ×(0 -1 2 +6)= 11 4 或 M(x -1 2 ,6)= 1 2 ×(8 -1 2 +6)= 19 4 . 解答必练 2　 统计与概率题 1.解:(1) 1 3 . (2)由题意得 A 是圆,B 是矩形,C 是圆. 列表略. 共有 6 种等可能的结果,其中抽取的两张卡片上的俯 视图都是圆的结果有(A,C),(C,A),共 2 种, ∴ 抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的概率为 2 6 = 1 3 . 2.解:(1)列表如下: 　 　 xy　 　 2 3 4 1 (2,1) (3,1) (4,1) 2 (2,2) (3,2) (4,2) 3 (2,3) (3,3) (4,3) 4 (2,4) (3,4) (4,4) 由上表可知,共有 12 种等可能出现的结果. (2)x2 -5x+6 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 3. 由表格可知 x,y 都是方程的解的有(2,2),(2,3),(3, 2),(3,3),共 4 种结果,都不是方程的解的有(4,1), (4,4)两种结果, ∴ P(张铭获胜)= 4 12 = 1 3 ,P(李灵获胜)= 2 12 = 1 6 . ∵ 1 3 > 1 6 ,∴ 张铭获胜的概率大. 3.解:(1)小军属于甲组学生. (2)①乙组同学成绩的平均分高于甲组同学成绩,即 乙组同学成绩的总体平均水平高; ②乙组同学成绩的方差比甲组小,即乙组同学的成绩 比甲组同学的成绩稳定. (答案不唯一,合理即可) 4.解:(1) 由题意可知,参赛学生的总人数为 4 ÷ 8% = 50(人), ∴ y 的值为 8÷50×100% = 16%, ∴ 70≤a<80 的人数为 50-4-23-8 = 15(人), 将频数分布直方图补充完整略. (2)95;94. (3)1 200× 8 50 = 192(人) . 答:估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀 的有 192 人. 5.解:(1)a= 4×(5+5)-3-8-17 = 12. 由频数分布表可知,中位数位于 C 等级中,由【收集数 据】中的表格可知,将 C 等级的数据按照从小到大排 列是:75,77,77,78,79,80,81,83,85,86,86,87,87, 88,89,89,89,∴ b = (85+ 86) ÷ 2 = 85. 5,n% = 3 ÷ 40 × 100% = 7. 5%,∴ n= 7. 5. 补全的频数分布直方图略. (2)40 000×7. 5% = 3 000(名), ∴ 估计该市七年级学生体质健康测试不及格(59 分及 以下)的有 3 000 名. (3)建议:学校可以加强学生们的室外体育课、劳动课 的管理,增强学生们的锻炼;学生个人可以加强体育 锻炼,合理饮食. (答案不唯一,合理即可) 解答必练 3　 与三角形有关的 实际应用题 1.解:(1)灯泡到平面镜的水平距离 AB 的长为 2. 4 m. (2)点 E 到地面的高度 DE 为 3. 8 m. 2.解:(1)连接 CD. ∵ AB⊥BF,DO⊥BF,∠BEA= ∠OED, ∴ △ABE∽△DOE,∴ AB OD =BE OE . ∵ OD= 1 m,OE= 0. 8 m,∴ AB 1 =OB+0. 8 0. 8 , ∴ AB= 5 4 OB+1. 同理,△ABF∽△COF, ∴ AB CO =BF OF ,则 AB 1+1. 5 =OB+5 5 ,∴ AB= 1 2 OB+ 5 2 , ∴ 5 4 OB+1 = 1 2 OB+ 5 2 ,解得 OB= 2 m. (2)由(1)知 OB= 2 m,AB= 1 2 OB+ 5 2 , ∴ AB= 7 2 m,∴ 围墙 AB 的高度为 7 2 m. 3.解:(1)∵ AB= 24 cm,∴ BE= 1 3 AB= 8(cm) . ∵ cos12° =BG BE =BG 8 ,∴ BG= 8cos12°(cm) . (2)∵ sin12° =EG BE =EG 8 ,∴ EG= 8sin12°(cm) . 如解图,延长 GB,NM 交于点 H, 则四边形 DNHG 是矩形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学 34　 解 答 必 练 ∴ NH=DG=DE-EG= (28-8sin12°)cm, ∴ HM=NH-MN= (20-8sin12°)cm. ∵ ∠ABG= 12°,∠ABM= 147°, ∴ ∠FBG= 135°,∴ ∠MBH= 45°, ∴ BH=HM= (20-8sin12°)cm, ∴ DN=GH=BG+BH= (8cos12°+20-8sin12°)cm. 第 3 题解图 4.解:(1)如解图 1,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E. ∵ BC= 30 cm,CD= 40 cm,∴ BD=BC+CD= 70(cm) . 在 Rt△DBE 中,∠ABC= 53°, ∴ BE=BD·cos53°≈42(cm) . ∵ AB= 115 cm,∴ AE=AB-BE≈73(cm), ∴ 端点 D 距离地面的高度约为 73 cm. 图 1 　 　 　 图 2 第 4 题解图 (2)如解图 2,过点 D 作 DF 垂直于地面,交地面于点 F,过点 C 作 CG⊥DF,垂足为 G,延长 GC 交 AB 于 点 H. 由题意得 GH⊥AB,AH=FG,DF= 140 cm, ∴ ∠BHG= 90°. ∵ ∠ABC= 60°,∴ ∠BCH= 90°-∠ABC= 30°. ∵ BC= 30 cm,∴ BH= 1 2 BC= 15(cm) . ∵ AB= 115 cm,∴ FG=AH=AB-BH= 100(cm), ∴ DG=DF-FG= 40(cm) . ∵ ∠BCD= 97°,∴ ∠DCG= 180°-∠BCH-∠BCD= 53°. 在 Rt△DCG 中,CD= DG sin53° ≈50(cm), ∴ CD 的长约为 50 cm. 解答必练 4　 综合与实践 1.解:(1)(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 . (2)a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab. 由题意,得(11-x) 2 +( x- 8) 2 = [( 11-x) +( x- 8)] 2 - 2(11-x)(x-8)= 32 -2×2 = 5, 即(11-x) 2 +(x-8) 2 的值是 5. (3)∵ AC⊥BD,AE=DE,BE=CE, ∴ S△AED = 1 2 AE2 ,S△BEC = 1 2 CE2 , ∴ 种花区域的面积为 S△AED +S△BEC = 1 2 (AE2 +CE2 ) = 25 2 (m2 ),∴ AE2 +CE2 = 25. ∵ AC= 7 m,∴ AE+CE= 7 m, ∴ (AE+CE) 2 =AE2 +CE2 +2AE·CE= 72 , ∴ AE·CE= 12. 又∵ AE=DE,BE=CE,∴ DE·CE=AE·BE= 12, ∴ S△ABE+S△CDE = 1 2 (AE·BE+DE·CE)= 12(m2 ), ∴ 种草区域的面积为 12 m2 . 2.解:(1) 2 . (2)如解图,展示了两种不同的拼法: 　 　 第 2 题解图 (3)①3;2. ②由①可知 HQ= 3,HN= 2. 在 Rt△QHN 中,QN= HQ2 +HN2 = 13 . 在 Rt△BQN 中,BN2 -QN2 =BQ2 . 在 Rt△BHQ 中,BQ2 =BH2 +HQ2 , ∴ BN2 -QN2 =BH2 +HQ2 . 设 BH= x,∴ (x+2) 2 -( 13 ) 2 = x2 +32 , 解得 x= 9 2 , ∴ BQ= HQ2 +BH2 = 3 13 2 , ∴ 正方形 BQPG 的边长是3 13 2 . 3.解:(1)不赞同小明的结论. 理由如下:如解图 1,连接 OB,OC. ∵ AD=BC=1. 6 m,OD=0. 6 m,∴ OA=AD-OD=1(m). ∵ AB=0. 8 m,∴ OB= OA2+AB2 = 41 5 (m)>1. 2(m). ∵ 过道宽度都是 1. 2 m, ∴ 该物品不能顺利通过直角过道, ∴ 不赞同小明的结论. 图 1 　 　 　 图 2 第 3 题解图 (2)如解图 2,过点 D 作 DM⊥OT 交 OT 于点 M,延长 MD 交 PQ 于点 N. ∵ OT∥PQ,∴ DN⊥PQ. ∵ ∠DCN+∠PCB= 90°,∠PCB+∠PBC= 90°, ∴ ∠DCN= ∠CBP. ∵ tan∠CBP= 3 4 ,∴ tan∠DCN= 3 4 =DN CN , ∴ 可设 DN= 3k m,则 CN= 4k m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创· 河北数学