精品解析：2025年浙江省初中学业水平考试数学卷

浙江省2025年初中学业水平考试 数学 考生注意： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，用三个大小相同的正方体搭成一个立体图形，则（　　） A. 它的左视图与主视图相同 B. 它的左视图与俯视图相同 C. 它的俯视图与主视图相同 D. 它的主视图、左视图和俯视图都相同 3. 我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A. B. C. D. 5. 下列整式运算中，正确的是（　　） A. B. 5 C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 7. 甲、乙、丙三个城市的人口年龄统计频数分布直方图如下，已知三个城市的总人口数量（万人）相同，则下列推断出的关于这三个城市人口平均年龄大小的结论中，正确的是（　　） A. 甲丙乙 B. 甲乙丙 C. 乙丙甲 D. 乙甲丙 8. 清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比（即黄金分割比）．如图，在中，．点在边上，过点作于点，作于点，若四边形的周长与的周长之比恰好为中末比，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（ ）     A. B. C. D. 10. 如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：___________． 12. 若式子与式子的值相等，则的值为___________． 13. 掷两次六个面上分别标有，，，，，点数的质地均匀的骰子，朝上一面点数的和为的倍数的概率为___________． 14. 如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为________． 15. 如图，是等边三角形，分别是边上的点，点关于直线的对称点为点，若点在边上，且，则的值为___________． 16. 已知抛物线经过和两点，若，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 省卫健委等15部门联合制定了《浙江省“体重管理年”活动实施方案》，进一步倡导和推进文明健康生活方式，预防和控制超重肥胖．某公司对员工的体重管理情况进行如下调查． 亲爱的员工，为给大家提供更贴心的健康支持，现开展匿名健康状况调查，您的回答将助力打造更健康和谐的工作环境，期待您积极参与！ 您的身高是___________m，体重是___________． 请根据公式体重身高计算您的为___________．（结果保留1位小数） 根据体重判定标准，如果您的不低于24，请您回答以下问题． 您有计划通过___________来控制体重（填写序号，可多选）． （1）加强锻炼；（2）合理饮食；（3）医疗干预；（4）其他． 并将结果绘制成如下图所示的统计图（表）． 员工体重指数频数分布表 类别 体重指数（）范围 频数 频率 过轻 14 正常 96 过重 64 肥胖 26 过重及肥胖员工控制体重方式条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查共选取了___________份调查报告进行统计； （2）试估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数； （3）请对该公司员工体重情况作出评价，并提出合理化建议． 20. 如图是某机场的机动客梯车工作状态下的简化图，其中为固定升降梯，为活动升降梯，伸缩可调整载客高度，为载客平台，为液压连杆．该状态下，点距地面的高度为．一架客机即将降落机场，需要该客梯车待命载客，已知这架飞机的机舱门离地高度为，该客梯车是否需要调整载客高度？若需要，求调整后的长；若不需要，请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 21. 如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下 表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 （1）你认为表中哪次数据是明显错误的； （2）你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； （3）某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 22. 如图，在中，，是斜边上一点，过点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，过点作的垂线，垂足为点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）当点在什么位置时，最短？请说明理由． 23. 背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为 ，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为 ，喷水口的竖直高度为 ，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 24. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接，，，并延长分别交和于点F，G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，记分别交，于点M，N，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2025年初中学业水平考试 数学 考生注意： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，用三个大小相同的正方体搭成一个立体图形，则（　　） A. 它的左视图与主视图相同 B. 它的左视图与俯视图相同 C. 它的俯视图与主视图相同 D. 它的主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图；分别确定这个组合体的三视图，即可得出答案． 【详解】解：主视图、左视图相同，如图①，俯视图如图②． 故选：A． 3. 我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的一般形式为：，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于小于，且更靠近， A选项：，，故A选项不符合题意； B选项：，，故B选项不符合题意； B选项：，，故C选项符合题意； D选项：，，故D选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列整式运算中，正确的是（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，解题关键是掌握上述法则． 根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，对四个式子分别计算，再作出判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形与坐标的性质是解题的关键； 分在原点同侧和异侧两种情况进行讨论，A的坐标分别乘以和，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，按相似比把线段缩小， 点A的对应点的坐标可以是，也可以是，即或． 故选：D． 7. 甲、乙、丙三个城市的人口年龄统计频数分布直方图如下，已知三个城市的总人口数量（万人）相同，则下列推断出的关于这三个城市人口平均年龄大小的结论中，正确的是（　　） A. 甲丙乙 B. 甲乙丙 C. 乙丙甲 D. 乙甲丙 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图中的数据判断即可． 【详解】解：∵三个城市的总人口数量（万人）相同， 甲市年龄在岁的有万人， 乙市年龄在岁的有万人， 丙市年龄在岁的有万人， ∴在年龄跨度相同，且人数基本相同的情况下，可以判断，甲市的平均年龄乙市的平均年龄丙市的平均年龄． 故选：B． 8. 清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比（即黄金分割比）．如图，在中，．点在边上，过点作于点，作于点，若四边形的周长与的周长之比恰好为中末比，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由题意得到，设，则，则，根据，求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 由题知四边形是矩形， ， ， 设，则，则， 矩形的周长为， ， 解得． ， 故选A． 9. 如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象． 【详解】解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，设，则 由平移的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于，∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数，且随的增大而减小， ∴选项符合题意． 10. 如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明可得，再进一步结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ∴， ， 同理得， 在和中， ， ∴， ， ， 如图，过点作的垂线，分别交于点，， 在平行四边形中，，， ∴， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法与公式法综合运用分解因式是解题的关键． 先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若式子与式子的值相等，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题可知，， ∴， 解得． 故答案为： 13. 掷两次六个面上分别标有，，，，，点数的质地均匀的骰子，朝上一面点数的和为的倍数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，能够不重不漏的列出所有可能结果是解题的关键．先根据题意，列出表格，得出所有等可能出现的结果，再用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：掷两次六个面上分别标有，，，，，点数的质地均匀的骰子，列表如下： 和 9 9 9 由列表可知，共有种等可能的结果，其中朝上一面点数的和为的倍数（，，，，，）的共有种结果， ∴朝上一面点数的和为的倍数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，根据圆的切线得到，进而求出的度数，结合等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，再利用圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，分别是边上的点，点关于直线的对称点为点，若点在边上，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由是等边三角形得到，求出，如解图①，过点作于点，则，设，则，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：是等边三角形， 由对称的性质可知， 如解图①，过点作于点，则， 设，则，， 在Rt中， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 已知抛物线经过和两点，若，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的性质得出抛物线的对称轴为直线，当时，此时，根据抛物线的对称性得出：当或时，抛物线的函数值均为；点在抛物线上关于对称轴对称的点的横坐标为；根据题意，可得点一定在点下方，结合题意分情况讨论：点在点左侧或点在点右侧，结合图象，列出不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，此时， 根据抛物线的对称性可得时，此时， 即当或时，抛物线的函数值均为； ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴对称的点的横坐标为； ∵，， ∴点一定在点下方， 分情况讨论： 如图①，若点在点左侧，此时，解得； 如图②，若点在点右侧，此时，解得； 综上所述，的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上只是并灵活运用是解题的关键． 先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再根据有理数的加减混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键，先计算括号内分式的加减，再计算分式的乘除，即可化简，最后将代入化简结果并计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 省卫健委等15部门联合制定了《浙江省“体重管理年”活动实施方案》，进一步倡导和推进文明健康生活方式，预防和控制超重肥胖．某公司对员工的体重管理情况进行如下调查． 亲爱的员工，为给大家提供更贴心的健康支持，现开展匿名健康状况调查，您的回答将助力打造更健康和谐的工作环境，期待您积极参与！ 您的身高是___________m，体重是___________． 请根据公式体重身高计算您的为___________．（结果保留1位小数） 根据体重判定标准，如果您的不低于24，请您回答以下问题． 您有计划通过___________来控制体重（填写序号，可多选）． （1）加强锻炼；（2）合理饮食；（3）医疗干预；（4）其他． 并将结果绘制成如下图所示的统计图（表）． 员工体重指数频数分布表 类别 体重指数（）范围 频数 频率 过轻 14 正常 96 过重 64 肥胖 26 过重及肥胖员工控制体重方式条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查共选取了___________份调查报告进行统计； （2）试估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数； （3）请对该公司员工体重情况作出评价，并提出合理化建议． 【答案】（1）200 （2）540人 （3） 该公司很多员工的体重不标准，部分员工达到肥胖，建议部分员工健康饮食，多锻炼身体．（答案不唯一，言之有理即可）． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键。 （1）把表格中所有选项的频数相加即可得到答案； （2）先估计出肥胖或体重超重的人数，再求出采取合理饮食来控制体重的人数占比即可得到答案； （3）该公司很多员工的体重不标准，部分员工达到肥胖，建议部分员工健康饮食，多锻炼身体． 【小问1详解】 解：（份）， ∴本次调查共选取了200份调查报告进行统计； 【小问2详解】 解；体重过重及肥胖的员工所占比例为， 估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工人数为（人）． 本次调查中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的占调查体重过重及肥胖的员工总人数的， 估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数为（人）； 【小问3详解】 略 20. 如图是某机场的机动客梯车工作状态下的简化图，其中为固定升降梯，为活动升降梯，伸缩可调整载客高度，为载客平台，为液压连杆．该状态下，点距地面的高度为．一架客机即将降落机场，需要该客梯车待命载客，已知这架飞机的机舱门离地高度为，该客梯车是否需要调整载客高度？若需要，求调整后的长；若不需要，请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】该客梯车需要调整载客高度， 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角形中边角关系． 过点作垂直地面于点，过点分别作于点，交于点，作于点，易知四边形是矩形，结合解直角三角形算出的长度与飞机的机舱门离地高度为进行比较判断，即可推出该客梯车需要调整载客高度，再结合与求解，即可解题． 【详解】解：该客梯车需要调整载客高度． 如解图，过点作垂直地面于点，过点分别作于点，交于点，作于点，易知四边形是矩形， ， 在中，， ， 点距地面的高度为，即有， ， ， ， ， ， 该客梯车需缩短的长度调整载客高度， 当时云梯车高度合适， 此时， 答：调整后的长约为． 21. 如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下 表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 （1）你认为表中哪次数据是明显错误的； （2）你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； （3）某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 【答案】（1）第次 （2）反比例函数； （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用， （1）根据表中数据可得：天平要达到平衡，总质量越小越大，据此进行判断即可； （2）设关于的函数表达式为，然后将，，代入求解即可； （3）设空牛奶盒的质量为，可得，然后求解即可． 根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． 【小问1详解】 解：天平要达到平衡，总质量越小越大，与第，次相比，第次总质量小，反而小， 第次数据是明显错误的； 【小问2详解】 与满足的函数关系为反比例函数， 故答案为：反比例函数； 设关于的函数表达式为， 则， ∵当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； 【小问3详解】 设空牛奶盒的质量为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：这个空牛奶盒的质量为． 22. 如图，在中，，是斜边上一点，过点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，过点作的垂线，垂足为点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）当点在什么位置时，最短？请说明理由． 【答案】（1） 证明：， ． 又， 四边形是矩形； （2） 当于点时，最短，理由如下：如解图，连接． 四边形是矩形， ，，． ，． ， ． ， ， ． ， ， 当最短，即于点时，最短． 【解析】 【分析】本题考查矩形判定、垂线段最短等知识，解题关键是利用矩形性质及线段关系转化与关联。 （1）依据矩形判定定理，通过已知垂直条件找、和为直角，证四边形是矩形。 （2）先连，借矩形性质、线段关系推导，再依垂线段最短，得时最短，从而最短。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为 ，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为 ，喷水口的竖直高度为 ，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为； 任务2： ； 任务3：，所设计的喷泉比较美观． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为 ； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 24. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接，，，并延长分别交和于点F，G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，记分别交，于点M，N，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ． （2） 证明：，是的直径， ，， ，即， 由（1）得，， ， 又， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角和平行线的判定即可证明； （2）利用垂径定理得到，推出，进而得到，即可证明； （3）作于点，连接，由是的直径得出，通过解求出的长，再利用等面积法求出的长，通过证明得到，在利用正切的定义得出，设，利用列出方程，解出的值，求出的长，再证明求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于点，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是的高， ， ， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在中，， ， 设，则，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点，学会作垂线构造直角三角形是解题的关键．本题属于圆综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $