精品解析：福建省福州市长乐区福建省长乐第一中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

长乐一中2024—2025学年第二学期第二次适应性练习数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 把直线向下平移2个单位，得到的直线是（　　） A. B. C. D. 3. 样本方差，数字20表示样本的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 数据的个数 D. 平均数 4. 小明每天利用部分时间整理学习中的问题，他记录了一周内每天完成该项整理的时间，并将时间数据绘制成折线图，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 21，21 B. 21，24 C. 21，27 D. 27，21 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 方程经过配方后，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 9. 已知正比例函数的图象上任意两点，，都有，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝_____． 12. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩平均数、中位数、方差如下表： 班级 人数 平均数/分 中位数/分 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 58 规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是_______班（填“甲”或“乙”）． 13. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 16. 在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，四边形平行四边形，F是中点，延长交延长线于点E．证明：． 19. 如图，在中，是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 21. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．某校为弘扬科学精神，普及科学知识，在以“科技创造未来”为主题的科技节活动中，开展了科普知识竞赛．八（1）班的林老师对本班参加竞赛的同学的竞赛成绩进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）八（1）班本次参加竞赛的同学共有 人； （2）补全条形统计图； （3）八（1）班同学本次竞赛成绩平均分是 分； （4）八（1）班的小红同学请假未参加竞赛，返校后参加了补测，成绩为80分．加入她的成绩后，请你对八（1）班总体成绩的变化情况进行评价．（请从“众数”“中位数”“平均数”“方差”中任选两方面进行具体说明） 22. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 23. 某学校为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间与绿化部门申请组织八年级学生进行“绿色生态，植树造林”活动．该学校经调研决定购买，两种树苗共棵，其中种树苗每棵元，种树苗每棵元．设学校购买种树苗棵，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若种树苗的数量不超过种树苗的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 24. 如图1，菱形中，点、分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）如图2，若上一点，连接、，使，求证：． 25. 如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，，若面积等于面积的，求t的值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐一中2024—2025学年第二学期第二次适应性练习数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求出即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等，是基础题． 2. 把直线向下平移2个单位，得到直线是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移变换，理解一次函数图象平移规律是解题的关键． 根据一次函数图象平移中的“上加下减”原则，即可判断． 【详解】解：原直线的；向下平移2个单位长度得到了新直线， 那么新直线． 所以新直线的解析式为． 故选：A． 3. 样本方差，数字20表示样本的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 数据的个数 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】写出方差公式，对比，即可得到答案 【详解】方差公式： 其中是~的平均数 故选：D 【点睛】本题考查方差的计算方法，注意公式的正确记忆 4. 小明每天利用部分时间整理学习中的问题，他记录了一周内每天完成该项整理的时间，并将时间数据绘制成折线图，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 21，21 B. 21，24 C. 21，27 D. 27，21 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，掌握定义是解题的关键． 根据众数是指一组数据中出现次数做多的数；根据中位数是指把一组数据按从小到大重新排列后，最中间的那个数，确定中位数，问题即可解答． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30， 排列最中间的数是21，故中位数为21； 21出现的次数最多，故众数是21． 故选：A． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的情况，根据平方数为非负数得到一元二次方程没有实数根，正确理解平方数的意义是解题的关键 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：D 6. 在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，利用菱形的性质，求出，得出三角形是直角三角形，再根据含度角的直角三角形的性质，求出. 【详解】解：∵四边形是菱形， ，是对角线，， ∴，， ∴，，，即三角形是直角三角形， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 7. 方程经过配方后，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法将原式进行整理，即可求解， 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解本题的关键． 【详解】解： 故选：C． 8. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 9. 已知正比例函数的图象上任意两点，，都有，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，判断出随的增大而增大，得到一次函数各部分的符号，再判断图象． 【详解】解：∵， ∴且，或且， ∴且，或且， ∴随的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是根据已知不等式判断出随的增大而增大． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C， ∵∠BFE+∠BFG＝180°， ∴∠C＝∠BFG＝90°， 又∵BG＝BG， ∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）， ∴FG＝CG， 设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x， 在Rt△DEG中，由勾股定理得， EG2＝DE2+DG2， ∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2， 解得x＝， 即CG＝， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，再根据矩形的性质即可得． 【详解】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，且MN＝3， ∴BO＝2MN＝6． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2BO＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 12. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表： 班级 人数 平均数/分 中位数/分 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是_______班（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查利用中位数做决策，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，班级人数相同，都为人，中位数为班级分数排序以后的第位同学的分数，甲班的分高于乙班分，则得出答案． 【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于人，乙班的小于等于人， 则甲班的优生人数较多， 故答案为：甲． 13. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数． 【详解】解：当4是直角边时， ∵， ∴， 当4是斜角边时， （不是整数，舍去）， 故答案为：5． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到原点的距离，根据勾股定理即可得出线段长，在由完全平方公式求出最小值即可． 详解】解：∵点， ∴， ∴ ∵， ∴， 即线段长的最小值为． 故答案为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程；先求出，再由求根公式，即可求解；选用恰当的方法解方程是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 18. 如图，四边形是平行四边形，F是中点，延长交延长线于点E．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定是解题的关键；由平行四边形的性质可得，进而可证，即可证明； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F是中点， ， ∴， ； 19. 如图，在中，是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， 的长为14． 20. 已知关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】证明：∵， ， 方程总有两个实数根． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 21. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．某校为弘扬科学精神，普及科学知识，在以“科技创造未来”为主题的科技节活动中，开展了科普知识竞赛．八（1）班的林老师对本班参加竞赛的同学的竞赛成绩进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）八（1）班本次参加竞赛的同学共有 人； （2）补全条形统计图； （3）八（1）班同学本次竞赛成绩的平均分是 分； （4）八（1）班的小红同学请假未参加竞赛，返校后参加了补测，成绩为80分．加入她的成绩后，请你对八（1）班总体成绩的变化情况进行评价．（请从“众数”“中位数”“平均数”“方差”中任选两方面进行具体说明） 【答案】（1）50； （2）见解析 （3）80； （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查数据的整理与描述，条形统计图与扇形统计图，理解中位数，众数，平均数，方差的计算方法是正确求解的前提． （1）根据90分的人数和所占的百分比可得本次参加竞赛的同学总人数； （2）根据总人数和条形统计图上的数据即可求出70分的人数和100分的人数，画出图即可； （3）根据加权平均数的定义进行计算即可； （4）求出众数，平均数，中位数，方差，选取两个进行比较说明即可． 【小问1详解】 解：八（1）班本次参加竞赛的同学共有（人）； 【小问2详解】 解：70分的人数为：（人）， 100分的人数为：（人）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：八（1）班同学本次竞赛成绩平均分为：（分） 【小问4详解】 解：由题可得：数据的中位数为80分，小红成绩加入后中位数不变； 众数为80分，小红成绩加入后众数不变； 平均数为80分，小红成绩加入后平均数不变； 方差为 ， 小红成绩加入后为，人数为51人，故方差变小． 22. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 证明：是的角平分线， ， ∵ABCD， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键． 23. 某学校为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间与绿化部门申请组织八年级学生进行“绿色生态，植树造林”活动．该学校经调研决定购买，两种树苗共棵，其中种树苗每棵元，种树苗每棵元．设学校购买种树苗棵，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若种树苗的数量不超过种树苗的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1） （2）最省钱的购买方案是：购买种树苗棵，购买种树苗棵．该方案所需的费用是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据总费用购买种树苗的费用购买种树苗的费用列出关系式即可； （2）根据一次函数的增减性结合的取值范围即可解答. 【小问1详解】 解：学校购买种树苗棵， 购买种书面棵． 根据题意，得 ． 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， （，且为整数）． ， 当时，随的增大而减小， 当时，有最小值， 最小值为， 此时． 答：最省钱的购买方案是：购买种树苗棵，购买种树苗棵．该方案所需的费用是元． 24. 如图1，菱形中，点、分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）如图2，若为上一点，连接、，使，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCF，可得结论； （2）由“AAS”可证△DFG≌△AFH，可得FG=FH，由等腰三角形的性质可得∠FCG＝∠HCG，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D， ∵点E、F分别为AB、AD的中点， ∴DF＝AD，BE＝AB， ∴BE=DF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴CE=CF； 【小问2详解】 证明：∵HC2-HF2=CE2，CE=CF， ∴HC2=HF2+CF2， ∴∠CFH=90°， ∴CF⊥HF， 如图2，延长HF交CD延长线于点G， 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠G=∠AHF，∠FDG=∠A， 在△DFG和△AFH中， ， ∴△DFG≌△AFH（AAS）， ∴FG=FH， ∵CF⊥GH， ∴∠FCG＝∠HCG， 由（1）得△BCE≌△DCF， ∴∠FCG=∠BCE， ∴∠BCE＝∠HCG， 菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠CHB=∠HCG， ∴∠BCE＝∠CHB， 即∠CHB=2∠BCE． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些解决问题是解题的关键． 25. 如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，，若面积等于面积的，求t的值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）10或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或； （3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图： ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． 【小问3详解】 如图，过点作点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得，， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $