2025江西中考数学仿真组合卷（一）-【一战成名新中考】2025江西数学·考前冲刺仿真模拟组合卷

1 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一．单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 一战成名·2025江西中考数学仿真组合卷（一） 分） 1．（2023 秋•吉安县期末）下列各数是负数的是（ ） A．0 B． 1 3 C．﹣（﹣3） D．√−3 3 2．（2023 秋•南昌期末）下列运算正确的是（ ） A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a2b）2＝a2b2 D．4a3b÷ab＝4a2 3．（2023 秋•永修县期末）下图是由一个长方体，截去了一部分的得到的几何体，则其俯视图是（ ） A B C D （第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） 4．（2023 春•章贡区期中）如图，在△ABC 中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE 是中位线，则 DE 的 长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．2√3 5．（2023 秋•遂川县期末）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC 和 AD 边上，BE＝2，AF＝6，AE ∥CF，则△ABE 的面积为（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 6．（2023 秋•赣州期末）数学课上，夏老师给出关于 x 的函数 y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k 为实数）．学生 们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充 了一些结论，并从中选择了以下四条： ①存在函数，其图象经过点（1，0）； ②存在函数，该函数的函数值 y 始终随 x 的增大而减小； ③函数图象有可能经过两个象限； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 上述结论中正确的为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7．（2023 秋•宜春期末）因式分解：5a2﹣5y2＝ ． 8．（2023 秋•余江区期末）中国空间站离地球的远地点距离约为 347000m，其中 347000 用科学记数法可表示 为 ． 9．（2023 秋•广丰区期末）已知方程 x2﹣6x+3＝0 的两个根分别为 x1，x2，则 x1+x2﹣x1•x2 的值为 ． 10．（2023 秋•兴国县期末）如图，直线 a∥b∥c，则图中 x 的值为 ． （第 10 题） （第 11 题） （第 12 题） 11．（2023 秋•高安市期末）如图，把平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转 α°得平行四边形 AB'C'D'，点 B'落在 CD 边上，若∠C＝76°，当 B，B'，C'三点共线时，α 的度数为 ． 12．（2023 秋•峡江县期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 是 AD 边上一动点（不与 A，D 重合），△ABE 与△FBE 关于 BE 成轴对称，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，当点 F 落在矩形 ABCD 的内角平 分线上时，BG 的长为 ． 三．解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．（2023 秋•修水县期末）（1）计算：2𝑠𝑖𝑛60° − |1 − √3| − (𝜋 − 2024)0． （2）解方程：x2+4x＝4． 14．（2023•东湖区开学）以下是某同学化简分式 𝑎−𝑏 𝑎 ÷ (𝑎 − 2𝑎𝑏−𝑏2 𝑎 )的部分运算过程： 解：原式= 𝑎−𝑏 𝑎 ÷ 𝑎 − 𝑎−𝑏 𝑎 ÷ 2𝑎𝑏−𝑏 2 𝑎 ⋯第一步 = 𝑎−𝑏 𝑎 ⋅ 1 𝑎 − 𝑎−𝑏 𝑎 ⋅ 𝑎 2𝑎𝑏−𝑏 2⋯第二步 = 𝑎−𝑏 𝑎2 − 𝑎−𝑏 2𝑎𝑏−𝑏 2⋯第三步 … （1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误； 2 （2）请你写出完整的解答过程． 15．（2023 秋•抚州期末）如图，已知菱形 ABCD．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图 1 中，点 E 是 BC 的中点，画出线段 AB 的中点 M； （2）在图 2 中，AE⊥BC，垂足为 E，过点 C 画出 AD 边上的高 CN． 16．（2023 秋•修水县期末）因强降雨天气，有 500 名群众被困，某救援队前往救援，已知 3 艘小型船和 2 艘大型船一次可救援 125 名群众，1 艘小型船和 3 艘大型船一次可救援 135 名群众． （1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？ （2）若安排 m 艘小型船和 n 艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案． 17．（2023 秋•兴国县期末）2023 年 12 月 18 日甘肃地震，造成重大人员伤亡财产损失．社会各界纷纷伸出 援手共克时艰．我县人民医院计划选派护士支援其防疫工作，甲、乙、丙、丁 4 名护士积极报名参加， 其中甲是共青团员，其余 3 人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． （1）“随机抽取 1 人，甲恰好被抽中”是 事件； A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若需从这 4 名护士中随机抽取 2 人，请求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 四．解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18．（2023 秋•赣州期末）如图，双曲线𝑦 = 𝑘 𝑥 (𝑥＞0)经过△OAB 的顶点 A，交 OB 于点 C，点 A 的坐标为（4， m），点 C 的坐标为（m+2，3）． （1）确定 k 的值； （2）若点 C 为 OB 中点，求△OAB 的面积． 19．（2024•修水县一模）图 1 为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图 2 为其示意图，支撑杆 AB 垂直 于地面，AB＝115cm，斜杆 CD 连接在支撑杆顶端 A 处，CD＝80cm，其中 AC 的长度可通过斜杆的滑动 来进行调节，斜杆 CD 还可以绕着点 A 旋转，且与支撑杆 AB 的夹角为∠BAC（60°≤∠BAC≤150°）． （1）当 AC＝50cm，∠BAC＝120°时，求话筒 C 到地面的高度； （2）落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节 CA 的长度和夹角∠BAC 的度数，某运动员使用落地式 话筒的适合高度是 183cm，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据： √3 ≈1.73） 3 20．（2024•青山湖区模拟）某区积极响应国家“双减”政策，为了了解全区 4000 名七年级的学生完成作业 时间情况，随机抽取几所学校七年级学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结 果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查活动抽取的七年级有 人，扇形统计图中 m 的值是 ； （2）补全频数分布直方图，并估计全区平均每天完成作业时长在“60≤t＜80”分钟的学生约有多少人； （3）若平均每天完成作业时长在 100 分钟以下学生认定为“学习轻松者”，那你估计一下全区有多少位 七年级的孩子是“学习轻松者”？ 五．解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．（2023 秋•高安市期末）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点 D． （1）过点 D 作 DE∥AB，求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若 AC＝8，BC＝6，求 BD 的长和阴影部分的面积． 4 22．（2023 秋•赣县区期末）已知抛物线 C1：y＝ax 2﹣2ax﹣4a（x≥0），其中 a 为常数，且 a≠0，将抛物线 C1 关于原点对称的抛物线记为 C2． （1）抛物线 C1 顶点坐标为 ，抛物线 C2 的解析式为 （x≥0）； （2）①求抛物线 C1 与 x 轴的交点坐标； ②当图象 C1 的最低点到 x 轴距离为 3 时，求 a 的值； （3）抛物线 C1、抛物线 C2 合起来得到的图象记为 M，当 a＝1 时，若点（m，5）在图象 M 上，求 m 的值． 六．解答题（本大题 12 分） 23．（2023 秋•遂川县期末）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 问题提出 如图，正方形 ABCD 中，P 在 CD 边上任意一点（不与点 C 重合），以 P 为旋转中心，将 PA 逆时针旋转 90°，得到 PM，连接 AM，AM，PM 分别交 BC 于点 E，F． 操作发现 （1）当∠DAP＝35°时，∠BAE 的度数为 ，∠EFM 的度数为 ； 数学思考 （2）连接 BM，当 P 为 CD 中点时，求证：∠CBM＝45°； 拓展应用 （3）若 AB＝4，AF 是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由． 5 一战成名·2025江西中考数学仿真组合卷（一） 参考答案与试题解析 1．D 2．D 3．C 4．A【解析】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC= 1 2 AB＝4，又∵DE 是中位线，∴DE= 1 2 BC＝2． 5．B【解析】∵四边形是 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC，∠B＝90°，∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴CE＝AF＝6，∵BE＝2，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴AB＝8，∵∠B＝90°，∴△ABE 的面积= 1 2 •AB•BE= 1 2 ×8×2＝8． 6．B【解析】①将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1＝0，解得 k＝0，故①正确；②当 k＝0 时，y＝ ﹣x+1，该函数的函数值 y 随 x 的增大而减小，故②正确；③当 k＝0 时，y＝﹣x+1，函数图象经过三个象 限，当 k≠0 时，Δ＝（4k+1）2﹣4×2k（﹣k+1）＝24k2+1＞0，抛物线必与 x 轴相交，所以图象必经过 三个象限，故③错误；④当 k＝0 时，函数无最大最小值，k≠0 时，函数最值= − 24𝑘 2 +1 8𝑘 ，当 k＞0 时， 有最小值，最小值为负，当 k＜0 时，有最大值，最大值为正，故④正确；故选 B． 7．5（a+y）（a﹣y） 8．3.47×105 9．3【解析】∵方程 x2﹣6x+3＝0 的两个根为 x1，x2，∴𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎 = − −6 1 = 6，𝑥1 × 𝑥2 = 𝑐 𝑎 = 3 1 = 3， ∴x1+x2﹣x1•x2＝6﹣3＝3． 10． 27 4 【解析】∵a∥b∥c，∴ 3 𝑥 = 4 9 ，∴x= 27 4 ． 11．28°【解析】∵平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转 α°得平行四边形 AB'C'D'，∴AB＝AB′，∠C＝∠C′， ∠B′AB＝α，AB′∥C′D′，而∠C＝76°，∴∠C′＝76°＝∠AB′B，∴α＝180°﹣2×∠AB′B＝ 28°． 12．【解析】连接 AF，如解图 1 所示，∵四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝4，BC＝6，∴CD＝AB＝4，AD＝ BC＝6，∠BAC＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，由轴对称图形的性质得：BF＝BA＝4，AE＝EF，根 据轴对称图形的性质得：BE 为线段 AF 的垂直平分线，∴当点 E 在 AD 边上运动时，点 F 在以 B 为圆心 以 AB 为半径的圆上运动，当点 F 落在矩形 ABC 的内角平分线上，点 E 不可能落在∠BCD 的平分线上， 理由如下：设∠BCD 的平分线交 AD 与 Q，过点 B 作 BQ⊥CQ 于 T，如解图 2 所示，∵∠BCQ＝45°， ∴△BCT 为等腰直角三角形，即 BT＝CT，在 Rt△BCT 中，由勾股定理得：BT2+CT2＝BC2，∴2BT2＝ 62，∴BT= 3√2＞4，∴BT＞AB，∴点 T 在以 B 为圆心以 BA 为半径的圆外，∵点 F 在以 B 为圆心以 AB 为半径的圆上运动，∴点 F 不可能落在∠BCD 的平分线上，因此有以下三种情况：①当点 F 落在∠BAD 的平分线上时，则∠EAF＝45°，∵BE 为线段 AF 的垂直平分线，∴∠AEB＝45°，∴∠ABE＝45°， ∴AB＝AE，∴AB＝AE＝EF＝BF，∴四边形 AEFB 为正方形，∴点 F 与点 G 重合，如解图 3 所示，∴ BG＝AB＝4；②当点 F 落在∠ABC 的平分线上时，则∠FBG＝45°，如解图 4 所示，∴△BFG 为等腰直 角三角形，即 BG＝FG，由勾股定理得 BG2+FG2＝BF2，∴2BG2＝42，∴BG= 2√2；③当点 F 落在∠ADC 的平分线上时，延长 GF 交 AD 于 H，则∠HDF＝45°，如解图 5 所示，则四边形 ABGH 为矩形，∴AB ＝GH＝4，BG＝AH＝x，设 BG＝x，则 AH＝x，DH＝AD﹣AH＝6﹣x，∵∠HDF＝45°，∴△DHF 为 等腰直角三角形，即 FH＝DH＝6﹣x，∴FG＝GH﹣FH＝4﹣（6﹣x）＝x﹣2，在 Rt△BGF 中，BF＝4， FG＝x﹣2，BG＝x，由勾股定理得 BG2+FG2＝BF2，即 x2+（x﹣2）2＝42，整理得 x2﹣2x﹣6＝0，解得 x1= 1 + √7，x2= 1 − √7（不合题意，舍去）．综上所述，当点 F 落在矩形 ABCD 的内角平分线上时，BG 的长为 4 或2√2或1 + √7． 第 12 题解图 13．解：（1）原式= 2 × √3 2 − (√3 − 1) − 1 = √3 − √3 + 1 − 1 ＝0； （2）x2+4x＝4， x2+4x+4＝4+4， 即（x+2）2＝8， ∴x+2＝±2√2， ∴𝑥1 = −2 + 2√2，𝑥2 = −2 − 2√2． 14．解：（1）一； 6 （2）原式= 𝑎−𝑏 𝑎 ÷ 𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏 2 𝑎 = 𝑎−𝑏 𝑎 • 𝑎 (𝑎−𝑏)2 = 1 𝑎−𝑏 ． 15．解：（1）如解图 1，点 M 即为所求； （2）如解图 2，CN 即为所求． 第 15 题解图 16．解：（1）设每艘小型船能坐 x 名群众，每艘大型船能坐 y 名群众， 由题意得{ 3𝑥 + 2𝑦 = 125 𝑥 + 3𝑦 = 135 ，解得{ 𝑥 = 15 𝑦 = 40 ， 答：每艘小型船能坐 15 名群众，每艘大型船能坐 40 名群众． （2）由题意得 15m+40n＝500，整理得𝑚 = 100−8𝑛 3 ， ∵m，n 为非负整数， ∴{ 𝑚 = 28 𝑛 = 2 或{ 𝑚 = 20 𝑛 = 5 或{ 𝑚 = 12 𝑛 = 8 或{ 𝑚 = 4 𝑛 = 11 ， 有 4 种方案，分别为： ①安排 28 艘小型船和 2 艘大型船；②安排 20 艘小型船和 5 艘大型船； ③安排 12 艘小型船和 8 艘大型船；④安排 4 艘小型船和 11 艘大型船． 17．解：（1）C； （2）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 由表格可知，共有 12 种等可能的结果，其中被抽到的两名护士都是共产党员的结果有：（乙，丙），（乙， 丁），（丙，乙），（丙，丁），（丁，乙），（丁，丙），共 6 种， ∴被抽到的两名护士都是共产党员的概率为 6 12 = 1 2 ． 18．解：（1）∵点 A（4，m），C（m+2，3）在反比例函数𝑦 = 𝑘 𝑥 (𝑥＞0)上， ∴4m＝3（m+2），解得 m＝6； ∴A（4，6），∴k＝xy＝4×6＝24； （2）由（1）得 m＝6，∴C（8，3）， ∵C 为 AB 中点，∴B（16，6）， ∴AB∥x 轴，∴AB＝12， ∴𝑆△𝑂𝐴𝐵 = 1 2 × 6 × 𝐴𝐵 = 1 2 × 6 × 12 = 36． 19．解：（1）过点 C 作 CE 垂直地面于点 E，过点 A 作 AF⊥CE，如解图， 第 19 题解图 ∵AF⊥CE，CE⊥BE，AB⊥BE， ∴四边形 ABEF 是矩形，∴EF＝AB＝115cm， ∵AC＝50cm，∠BAC＝120°， ∴∠CAF＝30°，∴CF＝25cm， ∴CE＝CF+EF＝25+115＝140cm； （2）∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是 183cm， ∴CE＝183cm，∴CF＝183﹣115＝68（cm）， 当∠BAC＝150°时，∠CAF＝60°， ∴AC= 𝐶𝐹 𝑠𝑖𝑛60° = 68 √3 2 ≈78.43（cm）， ∵CD＝80cm＞78.43cm， ∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要， 20．解：（1）200，10；【解法提示】此次调查活动抽取的七年级人数为 40÷20%＝200（人），200﹣40﹣50 ﹣30﹣60＝20（人），m%＝20÷200×100%＝10%，即 m 的值是 10． 7 （2）补充统计图如解图所示； 4000× 30 200 =600（人）， 答：估计全区平均每天完成作业时长在“60≤t＜80”分钟的学生约有 600 人； （3）4000× 110 200 =2200（人）， 答：估计全区有 2200 位七年级的孩子是“学习轻松者”． 21．（1）证明：如解图，连接 OD， 第 21 题解图 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD= 1 2 ∠ACB＝45°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝90°， ∵DE∥AB，∴∠ODE＝∠BOD＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，且 DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）解：∵AB 为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6，∴AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 =10， ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴AD＝BD= √2 2 AB＝5√2， ∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∴∠BOD＝90°， ∴阴影部分的面积＝扇形 BOD 的面积﹣△BOD 的面积= 90⋅𝜋×5 2 360 − 1 2 ×5×5= 25 4 π− 25 2 ． 22．解：（1）（1，﹣5a），y＝﹣ax2﹣2ax+4a； 【解法提示】抛物线𝐶1：𝑦 = 𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑥 − 4𝑎(𝑥 ≥ 0) =a（x﹣1）2﹣5a，∴抛物线的顶点坐标为（1， ﹣5a）；∵抛物线 C1 关于原点对称的抛物线记为 C2，∴抛物线 C2 的顶点坐标为（﹣1，5a），且开口方 向与抛物线 C1 相反，∴抛物线 C2 的解析式为 y＝﹣a（x+1） 2+5a＝﹣ax2﹣2ax+4a（x≤0）． （2）①当 ax2﹣2ax﹣4a＝0 时，∵a≠0，∴x2﹣2x﹣4＝0， 解得𝑥1 = 1 + √5，𝑥2 = 1 − √5， ∵x≥0，∴抛物线 C1 与 x 轴的交点坐标为：(1 + √5，0)； ②由题意得 y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a， ∵图象 C1 的最低点到 x 轴距离为 3， ∴抛物线开口向上，则 a＞0，且|﹣5a|＝3， ∴5a＝3，∴𝑎 = 3 5 ； （3）把 a＝1 代入 y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）， 得 y＝x2﹣2x﹣4， 把 a＝1 代入 y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x≤0）， 得 y＝﹣x2﹣2x+4， 若点（m，5）在图象 C1 上， 即 m≥0 时，m2﹣2m﹣4＝5， 解得𝑚1 = 1 + √10，𝑚2 = 1 − √10（舍去）， 若点（m，5）在图象 C2 上， 即 m≤0 时，﹣m2﹣2m+4＝5， 解得 m1＝m2＝﹣1． 综上所述，m 的值为1 + √10或﹣1． 23．解：（1）10°，55°；【解法提示】∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将 PA 逆时针 旋转 90°得到 PM，∴PA＝PB，∠APB＝90°，∴∠PAM＝∠M＝45°，∵∠DAP＝45°，∴∠BAE＝ ∠BAD﹣∠PAM﹣∠DAP＝10°，∴∠AEB＝∠FEM＝90°﹣∠BAE＝80°，∴∠EFM＝180°﹣∠FEM ﹣∠M＝55°． （2）如解图 1，过点 M 作 MQ⊥DC 交 DC 延长线于 Q，MN⊥BC 于 N， 则∠Q＝∠MNC＝∠BNB＝90°， 8 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝DC＝BC，∠D＝∠BCD＝90°， ∴∠D＝∠Q＝∠BCQ＝∠MNC＝∠BNB＝90°，∠DAP+∠APD＝90°， ∴四边形 MNCQ 为矩形， ∵将 PA 逆时针旋转 90°得到 PM， ∴PA＝PB，∠APB＝90°， ∴∠APD+∠MPQ＝90°，∴∠DAP＝∠MPQ， ∴△ADP≌△PQM（AAS），∴DP＝MQ，AD＝PQ， ∵P 为 CD 的中点，∴𝑃𝐷 = 𝑃𝐶 = 1 2 𝐶𝐷 = 1 2 𝐴𝐷 = 1 2 𝑃𝑄， ∴MQ＝PC＝CQ，∴四边形 MNCO 为正方形 ∴𝑀𝑁 = 𝐶𝑁 = 𝑀𝑄 = 1 2 𝐴𝐷 = 1 2 𝐵𝐶， ∴BN＝CN，∴MN＝BN， ∴△BMN 是等腰直角三角形，∴∠CBM＝45°； 图 1 图 2 （3）存在． 如解图 2，连接 AF，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， 由勾股定理可知 𝐴𝐹 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐹2， ∴当 BF 取最小值时，AF 有最小值， 而 BF＝BC﹣CF， ∴当 CF 取最大值时，BF 有最小值时， 即当 CF 取最大值时，AF 有最小值， 设 DP＝x，CF＝y，则 PC＝4﹣x， 由（2）可知，∠DAP＝∠FPC， ∴△ADP∽△PCF， ∴ 𝐴𝐷 𝑃𝐶 = 𝐷𝑃 𝐶𝐹 ，∴ 4 4−𝑥 = 𝑥 𝑦 ， ∴𝑦 = 𝑥(4−𝑥) 4 = − 1 4 𝑥2 + 𝑥 = − 1 4 (𝑥 − 2)2 + 1， ∴x＝2 时，y 有最大值 1， 此时 DP＝2，CF＝1，则 BF＝3， ∴AF= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐹2 = √42 + 32 =5， 即当 DP＝2 时，AF 存在最小值，此时 AF 取得最小值为 5．