精品解析： 2025年黑龙江省绥化市海伦市 市直初中联考九年级模拟考试 数学试题

海伦市2024-2025学年度第二学期市直校九年级联考 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A. B. C. D. 7. 体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30 A. 中位数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 8. 为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（ ） A. 63km/h B. 60km/h C. 72km/h D. 80km/h 9. 如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 20 10. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 的算术平方根是 C. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 11. 如图，在正方形中，，点E为上一点，连接交于点F，延长交的延长线于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论： ①；②； ③方程的两个根为，； ④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 人的头发直径约为米，将数据用科学记数法可表示为______． 14. 因式分解：______． 15. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________． 16. 如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．） 17. 化简=_____________________． 18. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为_______． 20. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为_______． 21. 如图，已知，点在射线上，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，若，的长为_______． 22. 如图，在矩形纸片中，，，E是的中点，F是边上的一个动点（点F不与点A，D重合）．将沿所在直线翻折，点A的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为_______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长． 24. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图． （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 25. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． （1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． （2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． （3）在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 26. 如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 27. 【基础巩固】 （1）如图①，在中，D，E，F分别为，，上的点，，， 交于点M，求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接，．若，，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图③，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点M，交于点F．若，平分，，求的长． 28. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_______． （3）点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标； （4）若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海伦市2024-2025学年度第二学期市直校九年级联考 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视力，在俯视图中标出相应正方体的个数可得答案． 【详解】解：如图所示： 或 ， 故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）． 故选：B． 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则：且， 解得：且． 故选：D． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 ，原计算错误，故选项不符合题意； B、，原计算错误，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、 ，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键． 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 6. 已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 7. 体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30 A. 中位数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为， 则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50， 第25、26个数据都是50， 则中位数为50， 故选：． 8. 为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（ ） A. 63km/h B. 60km/h C. 72km/h D. 80km/h 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键；设原来的平均速度是，则现在的平均速度为，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设原来的平均速度是，则现在的平均速度为， 由题意得： 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是， 故选：C． 9. 如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ， ， ， ， 故选：B． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 的算术平方根是 C. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据确定圆的条件、算术平方根的定义、内心的性质及矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，该选项命题错误，不合题意； 、的算术平方根是，该选项命题错误，不合题意； 、三角形的内心到三角形三条边的距离相等，该选项命题错误，不合题意； 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，该选项命题正确，符合题意； 故选：． 11. 如图，在正方形中，，点E为上一点，连接交于点F，延长交的延长线于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、勾股定理、相似三角形判定与性质，先求出，进而求出，证明即可求出结论．正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 在中，， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论： ①；②； ③方程的两个根为，； ④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 则另一个交点， ∴时，， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴交于点和， ∴的两根为6和， ∴，，则，， ∴方程转化为 整理得， ∴ 解得，，故③错误； ∵， ∴P、Q两点分布在对称轴的两侧， ∵， 即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故④正确． 综上，正确的有④． 故选：A． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 人的头发直径约为米，将数据用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 15. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________． 【答案】##74度 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质． 先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ， 由折叠的性质得：， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．） 【答案】102 【解析】 【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在中，由求得，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 化简=_____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法运算和零指数幂公式，运用相关运算法则运算即可． 【详解】解：原式 18. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． 连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于， ∵为等腰直角三角形，， ∴点为的中点， ∴， ∵点、是反比例函数上的点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质，合理做出辅助线是解本题的关键． 过点作于点M，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过点作于点M， 在菱形中，， ，， ∴为等边三角形，， ∵在中，， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ， 在中，， 则的最小值为． 21. 如图，已知，点在射线上，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，若，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律探究，解直角三角形，找到变换规律是解题的关键． 先求出，，的值，找出规律，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 22. 如图，在矩形纸片中，，，E是的中点，F是边上的一个动点（点F不与点A，D重合）．将沿所在直线翻折，点A的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为_______． 【答案】或2或 【解析】 【分析】分三种情况：当，连接，勾股定理求得的长，可判断，，三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，于是得到结论；当时，连接，，证明点，，三点共线，再用勾股定理可得答案． 【详解】解：①当时，连接，如图： 点是的中点，，，四边形是矩形， ，，， ， 将沿所在直线翻折，得到， ， ， ， 点，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ； ②当时，如图： ， 点在线段的垂直平分线上， 点在线段的垂直平分线上， 点是的中点， 是的垂直平分线， ， 将沿所在直线翻折，得到， ，， 四边形是正方形， ； ③当时，连接，，如图： 点是的中点，，，四边形是矩形， ，， ， 将沿所在直线翻折，得到， ， ， ， 点，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ； 综上所述，的长为或2或， 故答案为：或2或． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可； （2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD． 【详解】（1）作图如下： （2）连接AD，OD，如图所示 由（1）知：平分，且° ∴° ∴° 在中，， ∴，即 在中， 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键． 24. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图． （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）300，，见解析 （2）1750人 （3）见解析，恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关信息，求扇形的圆心角度数，中位数的定义，用列表法或树状图求概率等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用等级人数除以其圆心角占周角的比例即可得出总人数，用乘以等级人数所占比例即可； （2）用总人数乘以样本中等级人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 点评 【小问1详解】 解：随机抽查的学生共有（人）， C组学生人数：（人）， 测试成绩分布直方图： 扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为， 故答案为：300，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计等级为C的学生约有1750人； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下： 女 女 女 男 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 男，女 男 女，男 女，男 女，男 男，女 从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是． 25. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． （1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． （2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． （3）在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 【答案】（1）a的值是10，b的值是14 （2）有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 （3）再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个， 购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为10，b的值为14； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：， ∴可以取58，59，60，，41，40， ∴有3种购买方案． 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个； 【小问3详解】 解：购买方案1可获得的总利润为（元； 购买方案2可获得的总利润为（元； 购买方案3可获得的总利润为（元； 设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个， ∴当获得的总利润为320元时，， ， 又，y均为正整数， 或或或， 此时的最小值为． 再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个． 26. 如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可推出，是的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是的切线； （2）可证明，进而推出； （3）可推出，，从而，，，进而推出，，，从而，设，则..，，根据列出方程，求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 由（2）知：， ， ，，， ，， ， ， ， 设，则，， 由（2）得：， ， ，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程． 27. 【基础巩固】 （1）如图①，在中，D，E，F分别为，，上的点，，， 交于点M，求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接，．若，，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图③，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点M，交于点F．若，平分，，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）1+ 【解析】 【分析】（1）由可得，，根据对应边成比例得出，结合，可得； （2）由垂直平分，可得，由可得，根据对应边成比例可得的值； （3）延长交于点N，连接，过点N作 于点P，由四边形为平行四边形，可得，仿照（2）中求解过程可得，求出，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解即可． 【详解】（1）证明:∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长交于点N，连接，过点N作 于点P， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， 由（1）同理可证， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，第3问有一定难度，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_______． （3）点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标； （4）若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）点坐标为时，面积最大，最大值为（4）点坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）由，得到，，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）由点在抛物线对称轴上运动且、关于对称轴对称可得，，所以当点、、在同一直线上时，周长最小．求直线解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点纵坐标． （3）过点作轴于点，交直线与点，设点横坐标为，则能用表示的长．面积拆分为与的和，以为公共底计算可得，把含的式子代入计算即得到关于的二次函数，配方即求得最大值和的值，进而求得点坐标． （4）以为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点在坐标． 【详解】解：（1）， ， 抛物线过点、 解得： 抛物线解析式为 （2）当时，，解得：， ，抛物线对称轴为直线 点在直线上，点、关于直线对称 ， 当点、、在同一直线上时，最小 设直线解析式为 ，解得： 直线 故答案为 （3）过点作轴于点，交直线与点 设，则 当时，面积最大 点坐标为时，面积最大，最大值为． （4）存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形． ， ，AC＝ ①为菱形的边长，如图3， 则且， ，， ②若为菱形的对角线，如图，则， 设 解得： 综上所述，点坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查抛物线的有关计算，这是中考的压轴题，这类题目应用的知识点比较多，必须仔细的研究题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $