河北数学仿真组合卷（二）-【一战成名新中考】2025河北数学·考前冲刺仿真模拟组合卷

1 仿真组合卷（二） 一．选择题（共 16 小题） 1．下列单项式中，与单项式 2a2b3是同类项的是（ ） A．﹣ab4 B．2a3b2 C．3b3a2 D．﹣2a2b2c 2．如图，甲从 A处出发沿北偏东 60°向走向 B处，乙从 A处出发沿南偏西 30°方向走到 C处，则∠BAC 的度数是（ ） A．160° B．150° C．120° D．90° 3．已知 1 � □ 3 � = 1 3 ，能使左边等式恒成立的运算符号是（ ） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 4．下列事件中，必然事件是（ ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有 2个黄球和 3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 180° 5．有四根长度分别为 3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角 形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（ ） 甲：x的取值可能有 4个； 2 乙：组成的三角形中，周长最大为 16 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 6．小李在计算 20232023﹣20232021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 7．实数 a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 �2 + 2� + 1 − �2 − 4� + 4的结果正确的是（ ） A．﹣a﹣b+1 B．﹣a+b+1 C．a﹣b﹣1 D．a+b﹣1 8．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图 1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线 OP．其作图过程如下： （1）如图 2，在射线 OA上取一点 D（不与点 O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点 C落在∠AOB内部； （2）如图 3，以点 D为圆心，以 DO长为半径作弧，交射线 DC于点 P，作射线 OP，射线 OP就是∠ AOB的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线 OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 3 9．如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦 CD长时，发现 C点、D点分别与刻度 1 和 4对齐，则 A、B两点的距离是（ ） A．2 2 B．2 3 C．3 3 D．6 10．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为 9.4×10﹣7m，则下列说法正确的是（ ） A．9.4×10﹣7+10＝9.4×10﹣6 B．9.4×10﹣7﹣1.4＝8×10﹣7 C．9.4×10﹣7是 8位小数 D．9.4×10﹣7是 7位小数 11．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，D为 BC上一点，且满足 AD＝CD，E为 AC 的中点，连接 BE交 AD于点 F，则△ABF的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 12．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的 个数至少是（ ） 4 A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 13．在证明等腰三角形的性质定理：“等腰三角形的两底角相等”时，李老师在黑板上出示了“已知，在△ ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C”． 甲同学做法：“作∠BAC的平分线 AD，利用‘SAS’证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C”； 乙同学做法：“作 BC边上的高 AD，利用‘HL’证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C”； 丙同学做法：“作 BC边上的中线 AD，利用‘SSS’证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C”； 下列说法正确的是（ ） A．甲、乙、丙做法都对 B．甲、乙、丙做法都不对 C．只有乙做法不对 D．只有丙做法不对 14．如图 1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点 P从点 A出发沿折线 A→B→C匀速运动至点 C后停止．设 点 P的运动路程为 x，线段 AP的长度为 y，图 2是 y随 x变化的关系图象，其中 M为曲线 DE的最低点， 则△ABC的面积为（ ） A．4 3 B． 4 3 3 C．2 3 D． 2 3 3 15．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（ ） 5 A．105° B．120° C．150° D．165° 16．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于点 M（m，0），N（m+2，0），其中 m为常数，则该抛物 线顶点的纵坐标为（ ） A．a B．− �2� C．− � � D．﹣a 二．填空题（共 3 小题） 17．写出一个 y与 x之间的函数关系式 ，使它满足：①它的图象经过点（3，6）； ②y随 x增大而减小． 18．如果一个三位自然数的百位数字与 1的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“差一数”．例 如：726，∵7+1＝2+6，726是“差一数”．又如：632，∵6+1≠3+2，∴632不是“差一数”，则最小的 “差一数”是 ；若一个“差一数”P为���，且 P可以被 5整除，又�(�) = 2�+2�+142�+� ，且 G（P）为整数，则满足条件的“差一数”P的最大值为 ． 19．如图，点G是正六边形 ABCDEF的CD边的中点，AG与CF交于H点．则∠AHF+∠HGC＝ 度， 若 AB＝a，则 FH＝ （用含 a的代数式表示）． 三．解答题（共 7 小题） 20．某商店对出售的 A，B两种商品开展促销活动，活动方案如表： 商品 标价/元 每件商品出售价格 6 A 200 按标价降价 20% B 400 按标价降价 a% （1）商品 B降价后的出售价格为 元（用含 a的式子表示）； （2）小华购买 A商品 20件，B商品 10件，共花费 6000元，求 a的值． 21．数学课上，老师给出一个整式（ax2+bx）﹣（x+1）（x﹣1）（其中 a、b为常数，且表示为系数），然后 让同学给 a、b赋予不同的数值进行探究． （1）甲同学给出一组数据，最后计算结果为（x+1）2，请分别求出甲同学给出的 a、b的值； （2）乙同学给出了 a＝5，b＝﹣4，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数． 22．立定跳远是一项有益身心的运动，它能够锻炼我们的各项身体素质，让我们的身体更加健康和灵活， 初中生立定跳远也是中考体育中的一项．某校为了解初三学生立定跳远的情况，对初三学生进行立定跳 远水平测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩，将结果绘制成如下不完整的统计图表． 学生立定跳远测试成绩分布表 成绩 x（m） 频数 频率 1.2≤x＜1.4 8 0.16 1.4≤x＜1.6 m 0.24 1.6≤x＜1.8 16 0.32 1.8≤x＜2.0 10 0.2 2.0≤x＜2.2 4 0.08 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数为 名，补全频数分布直方图； （2）所抽取成绩的中位数落在范围内，若以每组成绩的组中值（如 1.2≤x＜1.4的组中值为 1.3）为该组 成绩的平均成绩，求所抽取学生立定跳远的平均成绩； （3）若该校初三年级共有 600名学生，请你估计该校初三学生中立定跳远成绩不低于 1.6m的学生人数． 23．如图 1，公园草坪的地面 O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下 平移，图 2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在 O处，水线落地点为 A，OA＝4m；若喷水口上升 1.5m 到 P处，水线落地点为 B，OB＝6m． （1）求水线最高点与点 B之间的水平距离； （2）当喷水口在 P处时， ①求水线的最大高度； ②身高 1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与 O的水平距离应满足什么条件？请 说明理由． 24．如图，在四边形 ABCD中，连接 AC，作△ABC的外接圆⊙O交 CD于点 E，连接 BE，交 AC于点 F， 8 AB＝AC＝10． （1）若 AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线； （2）若 BC＝12，求⊙O的半径； （3）若 CE＝6，E为��的中点，则 BE的长为 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，点 A坐标为（6，0），点 B坐标为（2，﹣2），直线 AB与 y轴交于点 C． （1）求直线 AB的函数表达式及线段 AC的长； （2）点 B关于 y轴的对称点为点 D． ①请直接写出点 D的坐标为 ； ②在直线 BD上找点 E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点 E的横坐标为 ． 26．综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形 ABCD（如图 1），其中 AB＝2，连接对角线 AC，且∠ 9 DAC＝30°，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动． 以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： 猜想证明： （1）如图 2，“奋勇”小组将△ADC绕点 D旋转得到△A′DC′，当点 C′落到对角线 AC上时，A′C′ 与 AD交于点 F．试猜想线段 CC′与 AC′的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取 A′C′的中点 E，连接 AE，DE，试判断四边形 AEDC' 的形状，并说明理由； 深入探究： （3）在△ADC绕点 D旋转的过程中，当 DC′∥AC时，求点 A与点 A′之间的距离，请你思考此问题， 直接写出答案． 1 仿真组合卷（二）答案 1．C． 2．B 【解析】由方向角的意义可知，∠NAB＝60°，∠SAC＝30°， ∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAS+∠SAC ＝30°+90°+30° ＝150°. 3．D． 4．D． 5．D 【解析】其中的任意三根的组合有 3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种情况， 由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得 3＜x＜7，即 x＝4或 5或 6． ①当三边为 3、4、6时，其周长为 3+4+6＝13； ②当 x＝4时，周长最小为 3+4+4＝11，周长最大为 4+6+4＝14； ③当 x＝5时，周长最小为 3+4+5＝12，周长最大为 4+6+5＝15； ④若 x＝6时，周长最小为 3+4+6＝13，周长最大为 4+6+6＝16； 2 综上所述，x的取值可能有 3个，三角形周长最大为 16． 6．B 【解析】20232023﹣20232021 ＝20232021×（20232﹣1） ＝20232021×（2023﹣1）×（2023+1） ＝20232021×2022×2024 ∴能被 2022，2023，2024整除. 7．D 【解析】由数轴可知，﹣1＜a＜0，1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣2＜0， ∴ �2 + 2� + 1 − �2 − 4� + 4 = (� + 1)2 − (� − 2)2 = |� + 1| − |� − 2| = � + 1 − (2 − �) = � + � − 1. 8．D． 9．C 【解析】如图，连接 BD，由正十二边形，圆的对称性可知，BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°，∠CBD= 12∠COD= 360° 12 =30°， 在 Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝4﹣1＝3， ∴BC= 3CD＝3 3， ∴AB＝BC＝3 3． 3 10．C． 11．C 【解析】连接 DE，如下图所示： AD＝CD，E为 AC的中点， ∴DE⊥AB， ∵∠BAC＝90°， ∴DE∥AB， ∴DE为△ABC的中位线， ∴AB＝2DE， ∵DE∥AB， △DEF∽△ABF， ∴EF：AF＝DE：AB＝1：2， ∴S△AEF：S△ABF＝1：2， 4 ∴S△ABF＝2/3S△ABE， ∵AC＝12，点 E为 AC的中点， ∴AE= 12AC＝6， ∴S△ABE= 1 2AB•AE= 1 2 ×5×6＝15， ∴S△ABF= 2 3S△ABE= 2 3 ×15＝10． 12．B． 13．A 【解析】甲同学做法： 证明：如图，作∠BAC的平分线交 BC于点 D， 则∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BAD≌△CAD（SAS）， ∴∠B＝∠C； 故说法正确； 乙同学做法： 如图，作 BC边上的高 AD， 5 则∠BDA＝∠CDA＝90°， 在 Rt△BAD和 Rt△CAD中， �� = �� �� = ��， ∴Rt△BAD≌Rt△CAD（HL）， ∴∠B＝∠C； 故说法正确； 丙同学做法： 证明：如图，取 BC的中点 D，连接 AD， 则 BD＝CD， 在△BAD和△CAD中， �� = �� �� = �� �� = �� ， ∴△BAD≌△CAD（SSS）， ∴∠B＝∠C． 故说法正确. 14．C 6 【解析】作 AD⊥BC，垂足为 D， 当动点 P运动到点 D时，线段 AP的长度最短，此时点 P运动的路程为 2 3，即�� + �� = 2 3， 当动点 P运动到点 C时，运动结束，线段 AP的长度就是 AC的长度，此时�� = 2 213 ， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD， ∴�� + �� = 3�� = 2 3， ∴�� = 2 33 ，�� = 4 3 3 ， ∴�� = ��2 − ��2 = 2， 在 Rt△ABD中，�� = 2 213 ， ∴�� = ��2 − ��2 = 4 33 ， ∴�� = �� + �� = 2 3， ∴△ABC的面积为 1 2 �� × �� = 1 2 × 2 3 × 2 = 2 3. 15．D 【解析】∵∠D＝∠BAC＝90°， ∴AC∥DF， ∴∠ACE＝∠F＝30°， 7 ∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°． 又∵∠BCE+∠BCF＝180°， ∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°． 16．D 【解析】由题意，∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于点 M（m，0），N（m+2，0）， ∴抛物线为 y＝a（x﹣m）[x﹣（m+2）] ＝a[x2﹣（2m+2）x+m（m+2）] ＝a[x﹣（m+1）]2﹣a． ∴该抛物线顶点的纵坐标为﹣a． 17．y＝﹣x+9（答案不唯一）． 18．102；560 【解析】最小三位数百位为 1时，满足题意的十位数字与个位数字的和为 2， ∴十位为 0，个位为 2， ∴三位数为 102； “差一数”P满足 a+1＝b+c， ∴c＝a﹣b+1， ∴ 2�+2�+14 2�+� = 2�+2�+142�+�−�+1 = 2(�+�+1)+12�+�+1 ＝2+ 12�+�+1， ∵G（P）为整数， 8 ∴a+b+1为 12的因数， 想要让 P大， ∴a+b+1＝12， ∴a+b＝11， ∴P为 928，836，744，652，560， ∵P可以被 5整除， ∴P为 560． 19．120， 4 3 a 【解析】解：∵正六边形 ABCDEF， ∴∠BCD＝120°， ∴∠FCD＝60°， ∵∠CHG＝∠AHF， ∴∠AHF+∠HGC＝∠CHG+∠CGH＝180°﹣60°＝120°； 连接 DF， 则∠CDF＝90°， ∵∠FCD＝60°，CD＝AB＝a， ∴CF＝2a， ∵AF∥CG， ∴△AHF∽△GHC， ∴ �� �� = �� �� = 1 2 ， ∴FH= 23CF= 4 3a. 9 20．解：（1）根据题意得：商品 B降价后的出售价格为 400（1﹣a%）元． 故答案为：400（1﹣a% ）； （2）根据题意得：200×（1﹣20%）×20+400（1﹣a%）×10＝6000， 解得：a＝30． 答：a的值为 30． 21．解：（1）由题意得：（ax2+bx）﹣（x+1）（x﹣1）＝（x+1）2， ax2+bx﹣（x2﹣1）＝x2+2x+1， ax2+bx﹣x2+1＝x2+2x+1， （a﹣1）x2+bx+1＝x2+2x+1， ∴a﹣1＝1，b＝2， ∴a＝2，b＝2； （2）当 a＝5，b＝﹣4时， （ax2+bx）﹣（x+1）（x﹣1） ＝ax2+bx﹣（x2﹣1） ＝5x2﹣4x﹣x2+1 ＝4x2﹣4x+1 ＝（2x﹣1）2≥0， ∴当 a＝5，b＝﹣4时，（ax2+bx）﹣（x+1）（x﹣1）的结果为非负数． 10 22．解：（1）4÷0.08＝50（人）， 50×0.24＝12（人）， 故抽取的学生人数为 50人，补全的直方图如下： ． （2）8 × 1.2+1.42 + 12 × 1.4+1.6 2 + 16 × 1.6+1.8 2 + 10 × 1.8+2.0 2 +4× 2.2+2.2 2 ＝8×1.3+12×1.5+16×1.7+10×1.9+4×2.1 ＝83（米）， 83÷50＝1.66（米）， 答：求所抽取学生立定跳远的平均成绩为 1.66米． （3）0.32+0.2+0.08＝0.6， 0.6×600＝360（人）， 答：立定跳远成绩不低于 1.6m的学生人数有 360人． 23．解：以 OB所在的直线为 x轴，OP所在的直线为 y轴建立平面直角坐标系． （1）∵OA＝4， 11 ∴点 O坐标为（0，0），点 A坐标为（4，0）． ∴所得抛物线的对称轴为：直线 x＝2． ∵OB＝6， ∴点 B的坐标为（6，0）． ∴水线最高点与点 B之间的水平距离为：6﹣2＝4（m）； （2）①设喷水口在 P处时，喷出的抛物线形水线的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0）． ∵经过点 P（0，1.5），B（6，0），对称轴与过点 O的抛物线的对称轴相同， ∴ � = 1.5 − �2� = 2 36� + 6� + � = 0 ． 解得： � =− 18 � = 12 � = 1.5 ． ∴y=− 18x 2+ 12x+1.5． ∴当 x＝2时，y＝2． 答：水线的最大高度为 2m； ②当 y＝1.5时， 1.5=− 18x 2+ 12x+1.5． 1 8 x2− 12x＝0． 1 8 x（x﹣4）＝0． ∴x1＝0，x2＝4． ∴为了不被水喷到，该点与 O的水平距离 x应满足 0＜x＜4． 24．（1）证明：延长 AO交 BC于点 M， 12 ∵AB＝AC， ∴�� = ��， ∴AM⊥BC， ∵AD∥BC， ∴AM⊥AD， 又∵OA是半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵BC＝12， ∴BM= 12BC＝6， ∵AB＝10， ∴AM= ��2 − ��2 = 102 − 62 =8， 设 OA＝OB＝m，则 OM＝8﹣m， 在 Rt△BOM中，BM2+OM2＝OB2， ∴62+（8﹣m）2＝m2， ∴m= 254 ， ∴OA= 254 ； （3）解：∵∠AFB＝∠EFC，∠ABE＝∠FCE， 13 ∴△ABF∽△ECF， ∴ �� �� = �� �� = 10 6 = 5 3 = �� �� ， 设 AF＝5x，EF＝3x， ∵E为��的中点， ∴�� = ��， ∴∠ABE＝∠CBE， 又∵∠ABE＝∠ACE， ∴∠ECF＝∠CBE， ∵∠CEF＝∠BEC， ∴△CEF∽△BEC， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ 6 �� = 3� 6 ， ∴BE= 12� ， ∴BF＝BE﹣EF= 12� −3x， ∴ 12 �−3� 10−5� = 5 3 ， 解得 x1= 9 8，x2＝2（舍去）， 经检验 x= 98是原方程的根， ∴BE= 12� =12× 8 9 = 32 3 ． 故答案为： 32 3 ． 25．解：（1）设直线 AB的解析式为 y＝kx+b， 14 ∴ 6� + � = 0 2� + � =− 2， 解得： � = 1 2 � =− 3 ， ∴直线 AB的解析式为 y= 12x﹣3； 令 x＝0，则 y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． ∴OC＝3， ∵点 A坐标为（6，0）， ∴OA＝6， ∴AC= ��2 + ��2 = 62 + 32 =3 5； （2）①∵点 B与点 D关于 y轴的对称， ∴D（﹣2，﹣2）； 故答案为：（﹣2，﹣2）； ②当∠ACE＝90°时，如图， ∵EC⊥AC， ∴直线 EC的解析式为 y＝﹣2x﹣3， 令 y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2， ∴x=− 12， 15 ∴E（− 12，﹣2）； 当∠CAE＝90°时，如图， ∵EC⊥AC， ∴设直线 EC的解析式为 y＝﹣2x+m， ∴0＝﹣2×6+m＝0， ∴m＝12， ∴直线 EC的解析式为 y＝﹣2x+12， 令 y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12， ∴x＝7， E（7，﹣2）； 当∠AEC＝90°时，如图， 过点 E作 EF⊥x轴于点 F，过点 C作 CG⊥FE，交 FE的延长线于点 G， 16 ∵∠AEC＝90°， ∴∠FEA+∠CEG＝90°， ∵CG⊥FE， ∴∠GCE+∠CEG＝90°， ∠GCE＝∠FEA， ∵∠CGE＝∠AFE＝90°， ∴△CGE∽△EFA， ∴ �� �� = �� �� ． 由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1， ∴ 6+�� 1 = 2 �� ． ∴AF= 11 −3． ∴OF＝3+ 11， ∴E（3+ 11，﹣2）， 同理可求当点 E在 y轴左侧时，E（3− 11，﹣2）． 综上，在直线 BD上找点 E，使△ACE是直角三角形，点 E的横坐标为− 12或 7或 3+ 11或 3− 11． 故答案为：− 12或 7或 3+ 11或 3− 11． 17 26．解：（1）CC′＝AC′， 证明：如图 2，∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴CD= 12AC，∠ACD＝90°﹣∠DAC＝60°， 由旋转得 C′D＝CD，点 C′在 AC上， ∴△DCC′是等边三角形， ∴CC′＝CD= 12AC， ∴CC′＝AC′． （2）四边形 AEDC是菱形， 理由：如图 2，∵CC′＝AC′，∠ADC＝90°， ∴DC′＝AC′= 12AC， ∵△DCC′是等边三角形， ∴∠DC′C＝60°， ∵∠A′C′D＝∠ACD＝60°， ∴∠A′C′A＝180°﹣∠A′C′D﹣∠DC′C＝60°， ∴∠A′C′D＝∠A′C′A， ∴C′A′垂直平分 AD， ∴DE＝AE， ∵∠A′DC′＝∠ADC＝90°，点 E是 A′C′的中点， ∴DE＝C′E= 12A′C′， 18 ∴△DEC′是等边三角形， ∴DE＝DC′， ∴DC′＝AC′＝DE＝AE， ∴四边形 AEDC'是菱形． （3）点 A与点 A′之间的距离是 2 3或 6， 理由：如图 3，DC′∥AC，且点 C′与点 A在直线 A′D的异侧，连接 AA′， ∵∠ADC＝90°，∠DAC30°，CD＝AB＝2， ∴AC＝2CD＝4， ∴AD= ��2 − ��2 = 42 − 22 =2 3， ∵∠CDC′＝∠ACD＝60°， ∴∠ADA′＝∠CDC′＝60°， ∵A′D＝AD， ∴△ADA′是等边三角形， ∴AA′＝AD＝2 3， ∴点 A与点 A′之间的距离是 2 3； 如图 4，DC′∥AC，且点 C′与点 A在直线 A′D的同侧，连接 AA′， ∵∠ADC′＝∠DAC＝30°，∠A′DC′＝90°， ∴∠ADA′＝∠ADC′+∠A′DC′＝120°， ∵A′D＝AD， ∴∠DAA′＝∠A′= 12 ×（180°﹣120°）＝30°， 作 DL⊥AA′于点 L，则 A′L＝AL，∠ALD＝90°， 19 ∴DL= 12AD= 1 2 ×2 3 = 3， ∴AL= ��2 − ��2 = (2 3)2 − ( 3)2 =3， ∴AA′＝2AL＝6， ∴点 A与点 A′之间的距离是 6， 综上所述，点 A与点 A′之间的距离是 2 3或 6．