精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市中考模拟试题(四)数学试卷

2025年黑龙江省哈尔滨市中考模拟试题（四）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（ ） A. 百 B. 党 C. 年 D. 喜 5. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ） A. 0.36×106 B. 3.6×105 C. 3.6×106 D. 36×105 6. 将二次函数y=(x−1)2+2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（） A. B. C. D. 7. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 10. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______. 12. 分解因式：=_________________________． 13. 如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________． 14. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是______． 15. 双曲线经过点，则______. 16. 不等式组，的解集是_______． 17. 定义：，则方程的解为_____． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 19. 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_____． 20. 如图，中，，取延长线上一点，取上一点，连接，且，则的面积为______． 三、解答题（其中题各7分，题各8分，题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中. 22. 如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长为l，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个等腰直角三角形ABC； （2）在图2中画出一个钝角三角形ABD，使△ABD的面为3. 23. 某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求这30名职工捐书本数的平均数； （3）估计该单位750名职工共捐书多少本？ 24. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. （1）求证：； （2）若为中点，，求菱形的周长． 25. 为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元． （1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元； （2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？ （原创） 26. 已知，为的直径，弦交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接并延长交于点，点在上，连接，过点作交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，交于点，若，求的长． （原创） 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于，连接 （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点为第三象限抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴的垂线，垂足为，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，，连接、，若，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年黑龙江省哈尔滨市中考模拟试题（四）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B是轴对称图形，不是中心对称图形； C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D不是轴对称图形，是中心对称图形； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，根据同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项进行计算即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（ ） A. 百 B. 党 C. 年 D. 喜 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 5. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ） A. 0.36×106 B. 3.6×105 C. 3.6×106 D. 36×105 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解： 360 000＝3.6×105， 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6. 将二次函数y=(x−1)2+2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的图像平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案． 【详解】解：将二次函数y=(x−1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到： y=(x−1)2+2+3，即：y=(x−1)2+5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线的图像的平移规律，掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，是解题的关键． 7. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案． 【详解】解： ，，，，，，…， 可记为： 第项为： 故选A． 【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 8. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴△AEF∽△ACD， ∴，故选项A错误； ∴， ∵， ∴△CEG∽△CAB， ∴， ∴，故选项B错误；，故选项D错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键． 9. 已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案. 【详解】如图，连接CD、CG， ∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F ∴EF垂直平分OC， 设EF交OC于点N， ∴∠ONE=∠ONF=90°， ∵OM平分， ∴∠NOD=∠NOG， 又∵ON=ON， ∴△OMD≌△ONG， ∴OD=OG， ∴△ODG是等腰三角形， 故选：C. 【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键. 10. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答． 【详解】对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项 对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项 开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快． 故选：C 【点睛】本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：=_________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 13. 如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到，从而得到，再根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵袋子中共有7个小球，其中红球有2个， ∴摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． 15. 双曲线经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴． 故答案为：． 16. 不等式组，的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，据此再求不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以不等式的解集为：； 故答案为： 17. 定义：，则方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列分式方程可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 19. 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_____． 【答案】20或20． 【解析】 【详解】试题分析：分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角， ①当30度角是等腰三角形的顶角时，如图1中， 当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a， 作BD⊥AC于D，∵∠A=30°， ∴BD=AB=a， ∴•a•a=5， ∴a2=20， ∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． ②当30度角是底角时，如图2中， 当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=30°， ∴∠BAC=120°，∠BAD=60°， 在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°， ∴BD=a， ∴•a•a=5， ∴a2=20， ∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． 考点：正方形的性质；等腰三角形的性质． 20. 如图，中，，取延长线上一点，取上一点，连接，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作，过点作，等边对等角结合三角形的外角的性质，推出，平行线的性质结合等量代换证明，证明，得到，勾股定理求出的长，设，证明，列出比例式求出的值，进而求出的长，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：过点作，过点作，过点作，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴的面积等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形． 三、解答题（其中题各7分，题各8分，题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据特殊角的三角函数值求得，然后把m的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 原式 22. 如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长为l，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个等腰直角三角形ABC； （2）在图2中画出一个钝角三角形ABD，使△ABD的面为3. 【答案】 （1）作图如下：三角形ABC即为所求； （2）作图如下：三角形ABD即为所求． ． 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接AB，以B点为圆心，以BA长为半径作圆弧交7×4正方形网格图与C点，再连接AC、BC即可； （2）作底边长为2，高为3的钝角三角形ABD即可． 试题解析：（1）略； （2）略 考点：应用与设计作图． 23. 某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求这30名职工捐书本数的平均数； （3）估计该单位750名职工共捐书多少本？ 【答案】（1）补全条形统计图如图： （2）6本 （3）4500本 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，条形统计图，用样本估计总体；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可． （1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可． （2）根据加权平均数公式可求得平均数； （3）用捐款平均数乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：D组的频数为（人）， 图略； 【小问2详解】 解：（本）， 答：这30名职工捐书本数的平均数为6本． 【小问3详解】 解：（本）． ∴估计该校750名职工共捐书4500本． 24. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. （1）求证：； （2）若为中点，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH=FG，EH∥FG， ∴∠GFH=∠EHF， ∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF， ∴∠BFG=∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF=∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG=DE； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）连接EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE=ED， ∵BG=DE， ∴AE=BG，AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AB=EG， ∵EG=FH=2， ∴AB=2， ∴菱形ABCD的周长=8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键． 25. 为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元． （1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元； （2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？ 【答案】（1）购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）这所中学最多可购买20副羽毛球拍． 【解析】 【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可． （2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可． 【详解】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元， 由题意得，， 解得：． 答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元． （2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副， 由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480， 解得：a≤20， 答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍． 考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． （原创） 26. 已知，为的直径，弦交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接并延长交于点，点在上，连接，过点作交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ． （2） 证明：连接，，如图， ， ． 设． 则． ， ． ． ． ， ． ． ． ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出结论． （2）设，则．进一步可求得．即可得出结论； （3）延长交于点，连接交于点，在上取点，连接，使证明，得，再证明．然后根据平行线等分线段定理得出，则，即，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交于点，连接交于点，在上取点，连接，使如图， ， ， ， ， 设AB与FK的交点为． ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线等要线段定理．此题属圆的综合题目，熟练掌握掌握相关性质定理是解题的关键． （原创） 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于，连接 （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点为第三象限抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴的垂线，垂足为，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，，连接、，若，求的长 【答案】（1） （2）证明：轴， ． 设． ． 在中，，在中，， ． ． ． 由（1）得． ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式得出，，进而可得，根据，即可求解； （2）设．在中，，在中，，得出，由（1）得，得出根据即可求解． （3）连接，作交轴于交延长线于，连接．则．证明，进而求得，，则，代入得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解： ．当时，． ． ，当时，． ． ． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，作交轴于交延长线于，连接．则． ∴ 将代入得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $