19.2.1 正比例函数课时1 正比例函数 课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数 课时1 正比例函数 1.理解正比例函数的概念； 2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.（重点、难点） 学习目标 新课讲解 问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变化． （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． 新课讲解 （3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的 变化而变化． （4）冷冻一个0℃的物体，使它每 分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化． (3)h=0.5n (4)T=-2t 新课讲解 问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量． 函数解析式 函数 常量 自变量 l =2πr m =7.8V h = 0.5n T = -2t 这些函数解析式有什么共同点？ 这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！ 2，π r l 7.8 V m h T t 0.5 -2 n 函数=常数×自变量 y k x ＝ 新课讲解 知识要点 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 思考 为什么强调k是常数， k≠0呢？ y = k x (k≠0的常数) 比例系数 自变量 正比例函数一般形式 注: 正比例函数y=kx(k≠0) 的结构特征 ①k≠0 ②x的次数是1 新课讲解 2.回答下列问题： (1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ；(2)当n 时，y=2xn是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k是正比例函数. 试一试 m≠1 =1 =0 新课讲解 函数是正比例函数 函数解析式可转化为y=kx （k是常数，k ≠0）的形式. 即 m≠1， m=±1， ∴ m=-1. 解：∵函数 是正比例函数， ∴ m-1≠0， m2=1， 例1 已知函数 y=(m-1) 是正比例函数，求m的值. 新课讲解 例3 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L． 所使用的汽油为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数； （2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？ 即 . 解： （1）y=5×15x÷100， （2）当x=220 时， 答：该汽车行驶220 km所需油费是165元． . y是x的正比例函数. 新课讲解 列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. y=4x 是正比例函数 （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元． y=12x 是正比例函数 （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3. y=3x 是正比例函数 做一做 课堂小结 正比例函数的概念 形式：y=kx（k≠0） 求正比例函数的解析式 利用正比例函数解决简单的实际问题 1.设 2.代 3.求 4.写 当堂小练 1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ） A.圆的面积S与它的半径r B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t C.正方形的面积S与边长a D.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t B 当堂小练 2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ） （4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（ ） × × √ 注意：（1）中k可能为0； （4）中2+k2＞0，故y是x的正比例函数. √ 当堂小练 3.填空 （1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______. （2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=____. （3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____. k≠1 2 4 （4）若 是关于x的正比例函数，m= . -2 当堂小练 4.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求 y与x之间的函数关系式. 解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx， ∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1. ∴y-3=x，即y=x+3. 拓展与延伸 5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割. （1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式； （2）求收割完这块麦田需用的时间. 解：（1）y=0.5x； （2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x. 解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时. 1．下列函数中，属于正比例函数的有(　　) ①y=x-1;　②y=x;　③y=; ④y=-x;　⑤S=πr2;　⑥y=． A．2个　 B．3个　 C．4个　 D．5个 2．已知函数y=xm-1是y关于x的正比例函数，则m=　　　　． B 2 课后练习 4．【例1】下列函数中，是正比例函数的是(　　) A．y=x2 　 B．y= C．y=　 D．y= 小结:正比例函数必须满足四个条件:①y关于x的式子是整式;②x,y的次数都是1;③比例系数k≠0;④常数项为0. C 5．【例2】若函数y=(m+1)x+1-m2是正比例函数，则m的值是(　　) A．m=-1 B．m=1 C．m=±1 D．m>1 小结:不要漏掉比例系数m+1≠0的条件. B 6．【例3】甲、乙两站相距20千米，汽车从甲站出发经过乙站后以每小时60千米的速度向前行驶，设汽车从乙站出发行驶t小时． (1)求汽车与甲站的距离s(千米)和t(小时)之间的函数关系式; (2)判断s是否是t的正比例函数． 解：(1)汽车与甲站的距离s(千米)和t(小时)之间的函数关系式为s=20+60t. (2)s不是t的正比例函数. 小结:读懂题意,明确等量关系:路程=两地的距离+行驶的距离. 7．【例4】已知y是x的正比例函数，且当x=2时，y=3，求y与x之间的函数解析式．   小结:设y=kx,将一组对应值代入即可求函数解析式. 解：设y=kx， 将x=2，y=3代入，得2k=3，解得k=， ∴y与x之间的函数解析式为y=x. 8．【例5】已知y-4与x+3成正比例，当x=2时，y=19，求y关于x的函数解析式． 小结:正比例函数y=kx(k≠0)也可以说成y与x成正比例,但成正比例关系不一定就是正比例函数. 解：∵y-4与x+3成正比例，∴设y-4=k(x+3)， 把x=2，y=19代入，得19-4=k(2+3)，解得k=3， ∴y关于x的函数解析式为y-4=3(x+3)，即y=3x+13. 9．(2024湛江模拟)下列函数中，y是x的正比例函数的是(　　) A．y=4x+1 B．y=2x2 C．y=-x D．y= C 10．(2024广州期末)当m=　　　　时，函数y=(m-2)是正比例函数．  -2 11．(人教8下P98、北师8上P79)已知某汽车行驶的速度为60千米/时，设行驶的时间为t小时，行驶的路程为s千米． (1)求s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围; (2)判断s是否是t的正比例函数． 解：(1)∵某汽车行驶的速度为60千米/时， 行驶的时间为t小时，行驶的路程为s千米， ∴s与t之间的函数关系式为s=60t，自变量t的取值范围是t≥0. (2)s是t的正比例函数. 12．某银行“半年期存款”年利率是2．25%，某人当年9月存入银行a元，经过半年到期时，得到利息b元．问利息b(元)是本金a (元)的正比例函数吗?如果是，求出这个比例系数． 解：利息b(元)是本金a (元)的正比例函数， 根据题意，得b=×2.25%×a=a，故比例系数为. ★13． (运算能力)若y=y1+y2，且y1与x成正比例，y2与x-3成正比例，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=9，当x=3时，求y的值． 0.55 解：设y1=ax，y2=k(x-3)， ∴y=ax+k(x-3). 由当x=1时，y=3，当x=-1时，y=9可得， ，解得， ∴y与x之间的关系式为y=-x-2(x-3)， 即y=-3x+6. ∴当x=3时，y=-3×3+6=-3. 请完成课本本节对应习题 布置作业 谢谢 $$