广东省深圳市2024-2025学年八年级数学下学期期末培优卷

2024-2025年北师大版深圳市八下期末培优卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若x＞y，则下列不等式中错误的是（　　） A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．x﹣2＞y﹣2 D．﹣x＞﹣y 3．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+b）（a+b）＝（a+b）2 B．m2+4m+4＝（m+2）2 C．ax+ay+1＝a（x+y）+1 D．x2+x+1＝（x+1）2 4．（3分）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 5．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 6．（3分）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为▱ABCD，停放的小车可近似看成长方形EBFD，如图2所示．已知∠A＝45°，车长BE约为5米，宽BF约为2米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长AB至少为（　　） A．7米 B．米 C．米 D．米 7．（3分）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若m+n＝3，mn＝2，则m2n+mn2的值为 　 　 ． 10．（3分）如图，等腰△ABC中，AE为底边BC上的高，点F为AC的中点．若AB＝8，则EF＝　 　 ． 11．（3分）如图，已知函数y＝﹣2x+m（m为常数）和y＝nx﹣2（n为常数且n≠0）的图象交于点P（2，a），则关于x的不等式﹣2x+m＜nx﹣2的解集是 　 　 ． 12．（3分）我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的倍．如图，△ABC是“黄金三角形”，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE与△ABE的面积比为 　 　 ． 13．（3分）如图，△ABC中，，AB＝7，∠CAB＝45°，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连AD，则AD＝　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）解方程和不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，0）． （1）将△ABC沿x轴正方向平移8个长度单位得△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1），画出△A1B1C1； （2）作△ABC关于原点中心对称的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2）； （3）四边形A1B1A2B2的形状（填“是”或“不是”） 　 　 平行四边形； （4）△ABC的面积＝　 　 ． 17．（9分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，AE＝CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的长． 18．（10分）【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． （1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是 　 　 .同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 　 　 ． （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 　 　 元． 19．（10分）本学期，我们学习了“一元一次不等式与一次函数”，请利用所学知识来解决下面的问题：在函数y＝2|x﹣1|﹣1中，下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 7 m 3 1 n 1 3 … （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）在下面给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据图象，下列关于该函数性质的说法中正确的是 　 　 ；（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1． ②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小． ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1． （4）根据图象，直接写出不等式：2|x﹣1|﹣1≤3的解集 　 　 ． 20．（11分）如图1，▱ABCD绕点A旋转得到▱AEFG，当点E落在边CD上时，连接BE． （1）求证：BE平分∠AEC； （2）连接GB交AE于点M． ①如图2，若▱ABCD为长方形，则GM和BM之间的等量关系为 　 　 ，并说明理由； ②如图3，若∠BEC＝60°，AB＝5，EC＝4，请直接写出△GAB的面积． 2024-2025年北师大版深圳市八下期末培优卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D C A A A 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图形是中心对称图形，故A符合题意； B、C中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B、C不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2．（3分）若x＞y，则下列不等式中错误的是（　　） A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．x﹣2＞y﹣2 D．﹣x＞﹣y 【解答】解：A．∵x＞y，∴x+3＞y+3，因此选项A不符合题意； B．∵x＞y，∴2x＞2y，因此选项B不符合题意； C．∵x＞y，∴x﹣2＞y﹣2，因此选项C不符合题意； D．∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，因此选项D符合题意； 故选：D． 3．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+b）（a+b）＝（a+b）2 B．m2+4m+4＝（m+2）2 C．ax+ay+1＝a（x+y）+1 D．x2+x+1＝（x+1）2 【解答】解：A．左边不是多形式，故不是因式分解，不符合题意； B．该等式是因式分解，符合题意； C．右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D．x2+x+1≠（x+1）2，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 4．（3分）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【解答】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等， ∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 5．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意； B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意； C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意； D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意； 故选：C． 6．（3分）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为▱ABCD，停放的小车可近似看成长方形EBFD，如图2所示．已知∠A＝45°，车长BE约为5米，宽BF约为2米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长AB至少为（　　） A．7米 B．米 C．米 D．米 【解答】解：∵车长BE约为5米， ∴该车能完全停入车位内，BE的长至少是5米， ∵四边形EBFD是长方形， ∴∠DEB＝90°，DE＝BF＝2（米）， ∵∠DEB+∠AED＝180°， ∴∠AED＝90°， ∵∠A＝45°， ∴∠ADE＝45°， ∴AE＝DE＝2米， ∴AB＝AE+BE＝2+5＝7（米）， ∴该车能完全停入车位内，斜向车位的长AB至少是7米， 故选：A． 7．（3分）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，且原计划每天修建盲道x米， ∴实际每天修建盲道（x+10）米． 根据题意得：2． 故选：A． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长AB，DC交于E， ∵∠ABC＝∠BCD＝120°， ∴∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE＝CE＝BC＝4，∠E＝60°， ∴AE＝5，DE＝10， ∴AD5， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若m+n＝3，mn＝2，则m2n+mn2的值为 　6　 ． 【解答】解：∵m+n＝3，mn＝2， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝3×2＝6． 故答案为：6． 10．（3分）如图，等腰△ABC中，AE为底边BC上的高，点F为AC的中点．若AB＝8，则EF＝　4　 ． 【解答】解：∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BE＝CE， ∵点F为AC的中点， ∴AF＝CF， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAB＝4， 故答案为：4． 11．（3分）如图，已知函数y＝﹣2x+m（m为常数）和y＝nx﹣2（n为常数且n≠0）的图象交于点P（2，a），则关于x的不等式﹣2x+m＜nx﹣2的解集是 　x＞2　 ． 【解答】解：如图，函数y＝﹣2x+m（m为常数）和y＝nx﹣2（n为常数且n≠0）的图象交于点P（2，a），则关于x的不等式﹣2x+m＜nx﹣2的解集是x＞2． 故答案为：x＞2． 12．（3分）我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的倍．如图，△ABC是“黄金三角形”，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE与△ABE的面积比为 　（1）：2　 ． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵∠A＝36°， ∴∠ABE＝∠A＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C72°， ∴∠CBE＝72°﹣36°＝36°， ∴∠BEC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝AE，△BCE是“黄金三角形”， ∴CEBEAE， ∵△BCE中CE边上的高与△ABE中AE边上的高相同， ∴△BCE与△ABE的面积比为CE：AE＝（1）：2， 故答案为：（1）：2． 13．（3分）如图，△ABC中，，AB＝7，∠CAB＝45°，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连AD，则AD＝　10　 ． 【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB，交AB延长线于点N， ∴∠BMC＝∠DNB＝90°， ∵AC，∠CAB＝45°， ∴在Rt△ACM中，AM＝CM＝1， ∴BM＝AB﹣AM＝7﹣1＝6， 由旋转可知BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠CBM+∠DBN＝90°， 又∵∠CBM+∠BCM＝90°， ∴∠DBN＝∠BCM， 在△BCM和△DBN中， ， ∴△BCM≌△DBN（AAS）， ∴BN＝CM＝1，DN＝BM＝6， ∴AN＝AB+BN＝8， 在Rt△ADN中，AD10， 故答案为：10． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）解方程和不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘x﹣1得： 4x﹣1+x﹣1＝8， 5x﹣2＝8， 5x＝10， x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣1≠0， ∴x＝2是原分式方程的解； （2）， 由①得：x≤1， 由②得：x+1＜4， x＜3， 各个解集在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为：x≤1. 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 【解答】解： • • ， 当时，原式． 16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，0）． （1）将△ABC沿x轴正方向平移8个长度单位得△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1），画出△A1B1C1； （2）作△ABC关于原点中心对称的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2）； （3）四边形A1B1A2B2的形状（填“是”或“不是”） 　是　 平行四边形； （4）△ABC的面积＝　　 ． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）∵△ABC沿x轴正方向平移8个长度单位得△A1B1C1， ∴AB∥A1B1，且AB＝A1B1， ∵△ABC与△A2B2C2关于原点中心对称， ∴AB∥A2B2，且AB＝A2B2， ∴A1B1∥A2B2，且A1B1＝A2B2， ∴四边形A1B1A2B2是平行四边形． 故答案为：是． （4）△ABC的面积为1﹣1． 故答案为：． 17．（9分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，AE＝CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的长． 【解答】（1）证明：连接DE，BF，∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴DE∥BF， ∵DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴OD＝OB，OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴AE+OE＝CF+OF， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC＝5，OB＝ODBD＝3， ∵AD⊥BD， ∴AD4， ∵DE⊥AC， ∴OA•DE＝AD•OD， ∴DE． 18．（10分）【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． （1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是 　3　 .同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 　18　 ． （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 　520　 元． 【解答】解：（1）∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成， ∴平移的距离就是AD的长， ∵AD＝3， ∴平移的距离是3； 由平移的性质可知：平移前后不改变图形的大小， ∴由平行四边形经过两次切割平移而成的图4的面积与▱ABCD的面积相等， 如图1，过D作DE⊥BC于E， ∵▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°， ∴CECD＝1，BC＝AD＝3， 根据勾股定理可得：DE， ∴▱ABCD的面积＝BC×DE＝3， ∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形（图4）的面积等于3， ∵图5由6个基本图形组成， ∴图5的面积＝6×318， 故答案为：3；18； （2）设一块正三角形瓷砖的单价为x元，则一块正六边形瓷砖的单价为（x+40）元， 由题意得：， 去分母得：2500x＝500（x+40）， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解， x+40＝10+40＝50（元）， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块50元； （3）∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍， 每个边长为1的正六边形的单价等于边长为1的正三角形的单价的5倍， ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少， 如图7， 图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多， ∴总费用最少， ∵正六边形8个，正三角形12个， ∴最少费用＝8×50+12×10＝520（元）． 故答案为：520． 19．（10分）本学期，我们学习了“一元一次不等式与一次函数”，请利用所学知识来解决下面的问题：在函数y＝2|x﹣1|﹣1中，下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 7 m 3 1 n 1 3 … （1）m＝　5　 ，n＝　﹣1　 ； （2）在下面给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据图象，下列关于该函数性质的说法中正确的是 　①③　 ；（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1． ②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小． ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1． （4）根据图象，直接写出不等式：2|x﹣1|﹣1≤3的解集 　﹣1≤x≤3　 ． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝2|﹣2﹣1|﹣1＝5， 当x＝1时，n＝2|x﹣1|﹣1＝﹣1， 故答案为：5，﹣1； （2）函数的图象如图所示； （3）由图象得：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1，故①是正确的； ②当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大，故②是错误的； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1，故③是正确的； 故答案为：①③； （4）由图象得：当﹣1≤x≤3时，2|x﹣1|﹣1≤3， 故答案为：﹣1≤x≤3． 20．（11分）如图1，▱ABCD绕点A旋转得到▱AEFG，当点E落在边CD上时，连接BE． （1）求证：BE平分∠AEC； （2）连接GB交AE于点M． ①如图2，若▱ABCD为长方形，则GM和BM之间的等量关系为 　相等　 ，并说明理由； ②如图3，若∠BEC＝60°，AB＝5，EC＝4，请直接写出△GAB的面积． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， 则∠EBA＝∠BEC， ∵AB＝AE，则∠ABE＝∠AEB＝CEB， 即BE平分∠AEC； （2）解：①过点B作BT⊥AE于点T， 由（1）知，BE平分∠AEC， 则BT＝BC＝AG， ∵∠GAM＝∠BTM＝90°，∠AMG＝∠BMT， ∴△AMG≌△TMB（AAS）， ∴MG＝MB， 故答案为：相等； ②作射线DL， ∵∠BEC＝60°，AB＝AE， 则△ABE为等边三角形，则∠EAB＝∠AEB＝∠EBA＝60°＝∠CEB，AE＝BE， 故∠DEN＝60°＝∠AEB， 在AE上取EN＝ED，连接BN、GN， 则△ADE≌△BNE（SAS）， ∴BN＝AD＝AG，∠ADE＝∠BNE， 则∠ANB＝∠LDA， ∵AB∥CD，则∠LDA＝∠DAB 由图形的旋转知，∠DAB＝∠GAE， 则∠GAE＝∠BAN， ∵∠GMA＝∠BMN，BN＝AG， ∴△AMG≌△NMB（AAS）， 则∠AGB＝∠NBM， 则GA∥BN， 则四边形ABNC为平行四边形， 则△GAB的面积＝△NAB的面积， ∵AB＝5，EC＝4，则DE＝1＝EN， 过点N作NT⊥AB于点T， 在Rt△ANT中，∠NAB＝60°，AN＝AE﹣EN＝5﹣1＝4， 则NT2， 则△GAB的面积＝△NAB的面积AB×NT5×25． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/8 0:22:57；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$