黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

学科网（北京）股份有限公司 哈师大附中 2024—2025学年度高三上学期月考 数学试题 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知全集 {1,2,3,4,5,6}, {1,2} UU A A C B U  且 ,则满足条件的集合B有（ ） A．3个 B. 4个 C．15个 D. 16个 2. 已知命题 p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( ) A．p是假命题； p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命题； p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命题； p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命题； p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 3. 已知 2024sin cos 0 ), 2025       （ 则 2 是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4. 若函数 f(x)＝lnx－ax＋1的图象在 x＝2 处的切线与 y轴垂直，则函数 f(x)的图象在 x＝1处的切线方 程为( ) A．x＋y＝0 B．x－2y＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x－2y－2＝0 5.已知 ,a b是正数， 1a b  ，则① 1 4 ab  ，② 1 1 4 a b   ，③ 2 2 1 2 a b  ，④ 3 3 1 4 a b  四个结论 中正确的有（ ） A．1个 B. 2个 C．3个 D. 4个 6. 已知： 1 2 2 loga a ， 1 2 1( ) log 2 b b ，下面结论正确的是（ ） A．a b B. 1 4 a  C． 2 2 b  D. 1 2 a b  7. 已知函数 )(xf 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 )()1()1( xfxxxf  ，则 ) 2 5(f 的值是（ ） A . 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 5 8.已知函数 ( ) sin ( 0)f x x   的图像向左平移 12  后得到的图像关于 0 6  （ ，）对称， ( )f x 在 5 4 18   （ ， ） 上具有单调性，则的最大值为（ ） A．16 B. 18 C．32 D. 36 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知函数 2( ) ln( 1 )f x x x x   ,则下面正确的是（ ） A． (sin1) (cos1)f f B． (sin 2) (cos2)f f C． (sin1) (sin 2)f f D． (cos1) (cos2)f f 10.在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，若 , ,A B C成等差数列， 3b  ， D是 AC中点，则下面正确的是（ ） A． 3 3 2 ABC 面积的最大值为 B． 3ABC 周长的最大值为3 C． 3 2 BD中线 长度的最大值为 D． A若 为锐角，则 (1, 2]c 11. 已知函数 2( ) sin sin 2f x x x ，则下面说法正确的是（ ） A． 是 ( )f x 的一个周期； B． 0 2  （ ，）是 ( )f x 的对称中心; C． 4 x  是 ( )f x 的对称轴; D． ( )f x 的最大值为 3 3 8 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.不等式 1 2 ( 3)(2 1)(log 1) 0xx x    的解集为 ---------------- ； 学科网（北京）股份有限公司 13.锐角 的终边上有一点 ( sin 6,cos6)P  ，则 = ---------------- ； 14定义在 R上的函数 ( )f x 满足： (1 ) (1 ) 0, (2 ) (2 ) 2f x f x f x f x        . 下面四个结论：① ( )y f x 具有周期性；② ( 1)y f x  是奇函数； ③ ( ) 1y f x  是奇函数；④ (2025) 2024f  .其中正确的序号是 ---------------- 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分)已知 ABCV 的内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c， 3 sin cos 1A A  . (1)求角 A； (2)若 2 3a bc ，求cos � − 5�6 + sin � + � 2 的值； 16. （15分）已知函数� � = log1 2 2� + � + 1 2� . (1) 若� � 的定义域为 R，求 a的取值范围； (2)当 0a  时，判断  f x 的奇偶性，并解关于 t的不等式    1 1 2f t f t   . 17. （15分）已知函数   22 2cos 2 2sin cosf x x x x  − 2． (1) 求  f x 的单调区间； (2) 若∃� ∈ 0, 11� 24 ，使� � ≤ −�2 + 2� + 2成立，求�的取值范围． 18. （17分）已知� � = 1 + �� �� 1 + � − �. (1)当� = 2 时，求函数  y f x 的极值； (2)当 0x  时，   0f x  恒成立，求实数 a的取值范围. 19. （17分）已知集合M 是满足下列性质的函数  f x 的全体：存在实数 a、  0k k  ，对于定义域内 任意 x，均有    f a x kf a x   成立，称数对  ,a k 为函数  f x 的“伴随数对”. （1）判断函数   2f x x 是否属于集合M ，并说明理由； （2）若函数   sinf x x M  ，求满足条件的函数  f x 的所有“伴随数对”； （3）若  1,1 、 2, 1 都是函数  f x 的“伴随数对”，当1 2x  时，   cos 2f x x       ，当 2x  时，   0f x  ， 求当 2014 2016x  时，函数  y f x 的解析式和零点. 学科网（北京）股份有限公司 高三数学 10月测试答案 一．单选：BBCBD DAA 二．多选：9.ABD 10.BCD 11.ABD 三．填空：12. 1 ,3 2 （ ） 13. 36 2   14. ②③④ 四．解答题： 15.【详解】（1） π3 sin cos 1 2sin 1 6 A A A         ，故 π 1sin 6 2 A      ， 因为  0, πA ，所以 π π 7π, 6 6 6 A       ， 故 π 5π 6 6 A  ，解得 2π 3 A  ； （2）由余弦定理得 2 2 2 cos 2 b c aA bc    ， 又� = 2π 3 ， 2 3a bc ，所以 2 2 3 1 2 2 b c bc bc     ， 故  2 0b c  ，所以b c ， 故� = � = π 6 ， 所以cos � − 5� 6 + sin � + � 2 = cos � 6 − 5� 6 + sin � 6 + � 2 = 3−1 2 ； 16.【详解】（1）因为函数� � = log1 2 2� + � + 1 2� 的定义域为�， 所以 12 0 2 x xa   恒成立，所以 4 2 1 0 x xa    恒成立， 令 2xt  ，则 0t  ，所以 2 1 0t at   在 0, + ∞ 上恒成立， 即 0t  时， 1a t t        恒成立，令 1y t t        ，  0,t   ， 由     2 2 1 111 t t y t t            ，� ∈ 0,1 时， 0 y ，� ∈ 1, + ∞ 时， 0 y ， 因此 1y t t        在 0,1 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减，所以 max 2y   ， 故 2a   ，即 a的取值范围为  2,   ； （2）当 0a  时，� � = log1 2 2� + 1 2� ， 因为  f x 的定义域为�，定义域关于原点对称， 又因为� −� = log1 2 2−� + 1 2−� =log12 1 2� + 2� = � � ， 学科网（北京）股份有限公司 所以  f x 为偶函数. 当 0x  时，� � = log1 2 2� + 1 2� ，令 2 1 xm   ， 令   1h m m m   ，  1,m   ，     2 2 1 111 m m h m m m      ， 又  1,m   时，   0h m  ，所以   1h m m m   在  1,m   上单调递增， 即 12 2 x xy   在  0, 上单调递增，又� = log12 �在定义域上为减函数， 所以函数  f x 在 0, + ∞ 上单调递减，又函数  f x 在定义域上为偶函数， 所以函数  f x 在  ,0 上单调递增，在 0, + ∞ 上单调递减， 因为    1 1 2f t f t   ，所以 � + 1 < 1 − 2� ， 即 � + 1 2 < 1 − 2� 2，解得� > 2 或� < 0， 故原不等式解集为 −∞,0 ∪ 2, + ∞ . 17.【详解】（1）由题意可得：� � = 2 2 1+cos 2� 2 + 2sin 2� − 2 = 2 cos 2� + 2 sin 2� = 2 cos 2� − � 4 令 ππ 2 π 2 2 π, 4 k x k k     Z ，解得 3π ππ π, 8 8 k x k k     Z， 所以  f x 的单调递增区间为 3π ππ, π , 8 8 k k k       Z ． 令 π2 π 2 π 2 π, 4 k x k k    Z ，解得 π 5ππ π, 8 8 k x k k    Z ， 所以  f x 的单调递减区间为 π 5ππ, π , 8 8 k k k      Z． （2）若∃� ∈ 0, 11� 24 ，使� � ≤ −�2 + 2� + 2 成立 等价为� � ��� ≤ �2 − 2� + 2 因为� ∈ 0, 11� 24 ，所以 2� − � 4 ∈ − � 4 , 2� 3 ，所以� � ∈ −1,2 ， 当� = 11� 24 时� � ��� =− 1 所以� � ��� =− 1 ≤ −�2 + 2� + 2 ， 所以�2 − 2� − 3 ≤ 0 所以� ∈ −1,3 18. 【详解】 学科网（北京）股份有限公司 （1）将� = 2 代入，对      1 2 ln 1f x x x x    求导， 可得      1 22 ln 1 1 2 ln 1 1 1 x xf x x x x x            ， 因为1 0x  ，所以 1x   ，即� = � � 的定义域为  1,   ， 令    2 ln 1 1 xh x x x     ，则        2 2 2 1 2 1 0 1 1 11 1 x xh x x x xx x             ， ， 所以ℎ � 在  1,   上单调递增，又     00 2 ln 1 0 0 1 0 f       ， 所以当  1,0x  时，�' � < 0，� = � � 单调递减， 当� ∈ 0, + ∞ ，�' � > 0，� = � � 单调递增， 则在  1,x    ，� = � � 无极大值，只有极小值为      0 1 0 ln 1 0 0 0f      ， 所以当� = 2 时，函数� = � � 的极小值为 0，无极大值. （2）根据题意知� � = 1 + �� �� 1 + � − �， 则�' � = � �� 1 + � + 1+�� 1+� − 1 = � �� 1 + � + �−1 � 1+� ， 设� � = �' � = � �� 1 + � + �−1 � 1+� ， 则�' � = � 1+� + �−1 1+� 2 ， 因为当 0x  时，   0f x  恒成立，且    0 0, 0 0f f   ， 所以�' 0 = 2� − 1 ≥ 0，得� ≥ 12， 故� ≥ 1 2 是原不等式成立的必要条件, 在证明必要条件也是充分条件， 当� ≥ 1 2 ， 0x  时，�' � = �1+� + �−1 1+� 2 ≥ 1 2 1+� − 1 2 1+� 2 = � 2 1+� 2 ≥ 0， 所以�' � 在[0, ) 上单调递增，且    0 0f x f   ， 所以  f x 在[0, ) 上单调递增，且    0 0f x f  ， 综上可得 a的取值范围为 1 2 , + ∞ . 19【详解】(1) 2( )f x x 的定义域为 R，假设存在实数 , ( 0)a k k  ，对于定义域内的任意 x均 有 ( ) ( )f a x kf a x   成立，则 2 2( ) ( )a x k a x   ， 学科网（北京）股份有限公司 化为 2 2( 1) 2 ( 1) ( 1) 0k x a k x a k      ，由于上式对于任意实数 x 都成立： 2 1 0 2 ( 1) 0 ( 1) 0 k a k a k         ， 解得 1, 0k a  (0,1) 是函数 ( )f x 的“伴随数对”， ( )f x M ； (2) 函数 ( ) sinf x x M  ， sin( ) sin( )a x k a x    ， (1 ) cos sin (1 )sin cos 0k a x k a x     ， 2 2 cos2 1sin( ) 0k k a x      ， x R  都成立， 2 2 cos 2 1 0k k a    ， 1 1 1cos 2 , 2 2 a k k k k          … ， | cos 2 | 1a … ，又 | cos 2 | 1a „ ， 故 | cos 2 | 1a  ， 当 1k  时， cos 2 1, , 2 a a n n Z     ， 当 1k   时， cos 2 1, ,a a n n Z   ， ( )f x 的“伴随数对”为 ,1 , ( , 1), 2 n n n Z        ； (3) (1,1), (2, 1) 都是函数  f x 的“伴随数对”， (1 ) (1 ), (2 ) (2 )f x f x f x f x        ， ( 4) ( ), 4f x f x T    ， 当0 1x  时，则1 2 2x   ，此时 ( ) (2 ) cos 2 f x f x x         ， 当 2 3x  时，则1 4 2x   ，此时 ( ) (4 ) cos 2 f x f x x          ， 当3 4x  时，则0 4 1x   ，此时 ( ) (4 ) cos 2 f x f x x         ， 学科网（北京）股份有限公司 cos ,0 1 2 cos ,1 2 2 ( ) cos ,2 3 2 cos ,3 4 2 0, 0,1,2,3,4 x x x x f x x x x x x                                         ， cos ,2014 2015 2 ( ) cos ,2015 2016 2 0, 2014,2015,2016 x x f x x x x                         ，  当 2014 2016x„ „ 时，函数 ( )y f x 的零点为 2014, 2015, 2016 .