精品解析：福建福州市平潭县新世纪学校2026-2027学年高二上学期第一次月考质量检测数学试题

2026-2027学年第一学期平潭新世纪学校 高二数学第一次月考质量检测 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 2. 已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案. 【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即， 所以，解得， 故选：D. 3. 如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，利用基底表示向量，即可得解. 【详解】由已知，所以， 则， 即，，所以， 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即． 故选：C. 5. 已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标. 【详解】空间向量，，则， 故以为单位正交基底时的坐标为. 故选：B. 6. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 7. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 8. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答. 【详解】四面体满足，即两两垂直， 以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 因为，，则， 于是，， 所以点到直线的距离. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 11. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 13. 已知空间直角坐标系中的点M，N的坐标分别为，.则线段MN的中点到坐标原点的距离为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据M,N的坐标求得中点坐标,结合空间中两点间距离公式即可求解. 【详解】空间直角坐标系中的点M,N的坐标分别为, 则中点坐标为 由空间中两点距离公式可知, MN的中点到坐标原点的距离为 故答案为:7 【点睛】本题考查了空间直角坐标系中点公式,两点间距离公式的用法,属于基础题. 14. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. 已知空间三点，，，设，． （1）设，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1） 或 （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及共线向量的定义列式求解. （2）利用空间向量夹角的公式，结合向量的坐标运算求解. （3）利用垂直关系的向量表示，并借助（2）的信息列式求解. 【小问1详解】 由点，得， 由，设，由，得，解得， 所以  或 . 【小问2详解】 由（1）得，，， 则，所以与的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由与互相垂直，得，即， 由（2）得，解得或，所以或. 17. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. （1）以为基底表示； （2）若，且，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 由图可得，; 【小问2详解】 由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 18. 如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取中点H，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为，中位线，所以， 则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以可得，，，，，，，， 向量，且平面的法向量为， 则，所以，又因为平面， 所以平面. （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用空间垂直关系可证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，利用线向量与法向量的数量积为零来证明线面平行即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值即可； （3）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由向量，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以，又因为平面的法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由，，， 则向量， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期平潭新世纪学校 高二数学第一次月考质量检测 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 13. 已知空间直角坐标系中的点M，N的坐标分别为，.则线段MN的中点到坐标原点的距离为______. 14. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 已知空间三点，，，设，． （1）设，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 17. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. （1）以为基底表示； （2）若，且，，，求. 18. 如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $