精品解析：2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考八模数学试卷

陕西师大附中2024-2025学年度初三年级第八次适应性训练数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， ∵ ∴最接近标准质量的是， 故选：C． 2. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的旋转，熟练平面图形与立体图体的关系是解题的关键，根据面动成体，图形绕直线旋转是圆锥即可得到答案． 【详解】解：由图可得，将三角形沿着虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 4. 小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+×月数＞小明原来存款数+×月数，把相关数值代入即可； 【详解】解：根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键． 5. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．根据图像以及两交点，点的坐标得出即可． 【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点， ∴观察图像可知解集为， 故选：B． 6. 如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，再连接，交于点M，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意易证是的中位线，设，求出，，证明，推出，即可解答． 【详解】解：、E分别是、的中点， 是的中位线， ，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， E是的中点，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，为的直径，分别交于点D、E，点F在上，连接、．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，连接，则，可证明垂直平分，则，即可得到，则有，据此可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点位于y轴两侧，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随x值的增大而减小 C. 当时，该抛物线的顶点在第二象限 D. 抛物线与x轴必有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数、、的关系是解题的关键．根据二次函数的图象和性质，综合进行判断即可． 【详解】解：设抛物线与x轴的交点为、， ∴是方程的两个根， ∵这两个交点位于y轴两侧， ∴，即，， ∴，故A错误， ∵对称轴为直线， 当，对称轴在轴的左侧，在对称轴右侧，随的增大而减小，故B不正确 C. 当时，而，对称轴为直线，则该抛物线的顶点在第一象限，故C错误 D. 当， 又 ∴， ∴抛物线与x轴必有两个交点，故D选项正确， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个大于2的无理数__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 10. 命题“正方形是轴对称图形”的逆命题是_______． 【答案】轴对称图形是正方形 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换原命题的题设和结论后即可写出该命题的逆命题． 【详解】解：命题“正方形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是正方形， 故答案为：轴对称图形是正方形． 11. 如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正八边形的性质得出是它的一条对称轴，，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴是它的一条对称轴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，点A，B分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上，，将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，B点恰好落在函数的图象上，则a的值为______． 【答案】2或3##3或2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点B对应点的坐标，根据平移后点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点B的对应点分别为， ∴， ∵恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 13. 如图，在菱形中，点O为其对称中心，连接，点P为中点，，．若点E、F分别在边上的动点，满足，则四边形PEBF的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，连接，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点D作的垂线，垂足为T，由题意可得点O是的交点，利用勾股定理得到，则，利用等面积法求出，再求出，证明，得到，由对称性可得，证明，最后根据计算求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点D作的垂线，垂足为T， ∵在菱形中，点O为其对称中心， ∴点O是的交点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，零指数幂，根据二次根式的乘法法则，零指数幂的法则，绝对值的意义，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减乘除的混合运算下的化简求值，先对原式利用完全平方公式和单项式乘以多项式去括号，然后合并同类项化简，再将x的值代入计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题． 【详解】解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 17. 已知点A在直线l上，请用尺规作图法，作等腰直角三角形，使得点B在直线l上，点C在直线l外（作出满足条件的一个三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，过点作直线的垂线，再以为圆心，任意长为半径画弧，分别交和直线的垂线于点，即可． 【详解】略 18. 已知：如图，，且，点E在边上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据平行得到，然后利用证明，即可得到结论． 【详解】略 19. 习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某校联系研学社组织学生到博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1800元后，再每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 已知研学人数超过50，且上述两种方案的收费相同，求研学人数． 【答案】参加研学的总人数是90人． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：根据题意得：采用方案一的收费为元； 采用方案二的收费为元； 根据题意得：， 解得：． 答：参加研学的总人数是90人． 20. 某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． （1）在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． （2）已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查简单概率的计算，利用列表法或树状图求概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，得到所有等可等结果，然后找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，在50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人， 则随机选取1名学生，其中等级是A的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中恰好选取的是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率为． 21. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ∴， ， ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 22. 某校数学学科的学期综合成绩由过程性评价与终结性评价两部分组成．将每个学期过程性评价的分数记为，终结性评价的分数记为，学期综合成绩记为y．现统计了12位同学初二第二学期的数学成绩，具体数据如下： 38 38 38 20 27 38 35 38 35 38 30 38 60 65 70 70 72 80 83 85 88 90 93 95 y 74 77 80 62 70.2 86 84.8 89 87.8 92 85.8 95 根据以上数据，解答下列问题： （1）通过分析发现，当时，可以用一次函数刻画y与之间的关系，请求出此时y与之间的函数关系式． （2）根据表格数据可知，则k的值为_____； （3）在（2）的条件下，小王同学的过程性评价分数为33分，但他想要学期综合成绩y达到优秀（分），那么他的终结性评价分数至少应达到多少分？ 【答案】（1） （2） （3）至少应达到分 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，根军题意建立函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把，，，代入求出k值即可； （3）根据题意列不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设当时，，把和代入得： ，解得：， ∴， 【小问2详解】 解：把，，，代入可得， 解得：，即 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题可得：， 解得：， ∴小王同学的终结性评价分数至少应达到分． 23. 科学研究表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】20名同学听音乐前心率频数分布表： 心率x（次分） 频数 5 6 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 20名同学听音乐时心率扇形统计图 【数据分析】20名学生听音乐前和听音乐时心率分析： 平均数 中位数 方差 听音乐前 a 78 124.5 听音乐时 73 73.5 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）求这20名学生听音乐前心率的平均数； （2）请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心率较为平缓的是______；（填“听音乐前”或“听音乐时”） （3）如果兴趣小组再选择本年级200名同学开展试验，请估计这200名同学听该舒缓音乐时心率在A．组的人数． 【答案】（1）79 （2）听音乐时 （3）听该舒缓音乐时心率在A组的同学人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据加权平均数的公式即可解答； （2）根据方差做出判断即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴从方差看，心率波动小且心率较为平缓的是听音乐时， 故答案为：听音乐时； 【小问3详解】 解：人， 答：听该舒缓音乐时心率在A组的同学人数为人． 24. 如图，内接于，，过点O作，过点E作，与过点B的的切线交于点D，与延长线交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的切线， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数，垂径定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，利用切线性质得到，连接，根据得到证得，即可得到结论； （2）延长交于点G，设的半径为，则是矩形，然后利用解直角三角形和勾股定理求出，，进而得到和长，再在中利用勾股定理求出半径r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点G，设的半径为， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵O是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 又∵， 在中，，即， 解得：（舍去），， ∴的半径为． 25. 如图是一个动画设计示意图，轴上依次有，，、、五个点．在上方有四个台阶，，，，每个台阶均平行于轴，且水平宽度均为，各个拐角为，相邻两个台阶的竖直距离均为，第个台阶到轴距离．如图，为一个可以移动的斜坡，轴，，．从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光点． （1）请通过计算说明带光点会落在第几个台阶上； （2）当点落到台阶上后立即弹起后下落，又形成了另一条与抛物线形状相同的抛物线，且抛物线的最大高度为．要使沿抛物线下落的点能落在斜坡（包括端点）上，请求出点横坐标的最小值． 【答案】（1）第个台阶上； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质求解． 分别写出四个台阶右边端点的坐标，分别求出当、、、时，抛物线上的点对应的纵坐标，根据点的坐标判断点会落在哪个台阶上； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，设抛物线的解析式是，用待定系数法求出抛物线的解析式，当点落在点时，点的横坐标最小，根据可知点的纵坐标是，求出此时点的横坐标，再根据即可求出点的最小值． 【小问1详解】 解：相邻两个台阶的竖直距离均为，第个台阶到轴距离， 第个台阶右边端点的坐标是， 第个台阶右边端点的坐标是， 第个台阶右边端点的坐标是， 第个台阶右边端点的坐标是， 当时，， 此时抛物线经过点， 点不会落在第个台阶上， 当时，， 此时抛物线经过点， 点不会落在第个台阶上， 当时，， 此时抛物线经过点， 点会落在第个台阶上； 【小问2详解】 解：由可知点会落在第个台阶上， 当时， 可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 点落在第个台阶上的点的坐标是， 当点落到台阶上后立即弹起后下落，又形成了另一条与抛物线形状相同的抛物线，且抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式是， 把点代入解析式， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)或， 抛物线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 若点恰好落在点处，点的横坐标是， ， 点的横坐标最小值是． 26. 为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），其中点O为的中点，M在边上滑动，N在边上滑动，是与平行的伸缩横杆．已知窗子的边框米，米，，． （1）求窗子顶端E到底边的距离； （2）为提升换气效率，现要通风口面积尽可能大，请求出伸缩杆的端点M滑动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）窗子顶端E到底边的距离为 （2）点滑动到距离处时，面积最大，为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用： （1）过点作，垂足为，交于点，证明四边形为矩形，得到，解，求出的长，进而求出的长即可； （2）设与之间的距离为，的面积为，分和两种情况，求出函数解析式，利用一次函数和二次函数的性质，求最值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，交于点，则：， ∵矩形， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 答：窗子顶端E到底边的距离为； 【小问2详解】 设与之间的距离为，的面积为， 由（1）可知：，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 当时，点在线段上， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的面积为， ∴当时，有最大值为：； 当时，此时，点在线段上， ∴设交于点， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴当点滑动到距离处时，面积最大，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2024-2025学年度初三年级第八次适应性训练数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，再连接，交于点M，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 7. 如图，为的直径，分别交于点D、E，点F在上，连接、．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点位于y轴两侧，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随x值的增大而减小 C. 当时，该抛物线的顶点在第二象限 D. 抛物线与x轴必有两个交点 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个大于2的无理数__________． 10. 命题“正方形是轴对称图形”的逆命题是_______． 11. 如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则____°． 12. 如图，一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，点A，B分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上，，将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，B点恰好落在函数的图象上，则a的值为______． 13. 如图，在菱形中，点O为其对称中心，连接，点P为中点，，．若点E、F分别在边上的动点，满足，则四边形PEBF的面积为______． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解方程：． 17. 已知点A在直线l上，请用尺规作图法，作等腰直角三角形，使得点B在直线l上，点C在直线l外（作出满足条件的一个三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知：如图，，且，点E在边上，．求证：． 19. 习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某校联系研学社组织学生到博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1800元后，再每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 已知研学人数超过50，且上述两种方案的收费相同，求研学人数． 20. 某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． （1）在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． （2）已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 21. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 22. 某校数学学科的学期综合成绩由过程性评价与终结性评价两部分组成．将每个学期过程性评价的分数记为，终结性评价的分数记为，学期综合成绩记为y．现统计了12位同学初二第二学期的数学成绩，具体数据如下： 38 38 38 20 27 38 35 38 35 38 30 38 60 65 70 70 72 80 83 85 88 90 93 95 y 74 77 80 62 70.2 86 84.8 89 87.8 92 85.8 95 根据以上数据，解答下列问题： （1）通过分析发现，当时，可以用一次函数刻画y与之间的关系，请求出此时y与之间的函数关系式． （2）根据表格数据可知，则k的值为_____； （3）在（2）的条件下，小王同学的过程性评价分数为33分，但他想要学期综合成绩y达到优秀（分），那么他的终结性评价分数至少应达到多少分？ 23. 科学研究表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】20名同学听音乐前心率频数分布表： 心率x（次分） 频数 5 6 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 20名同学听音乐时心率扇形统计图 【数据分析】20名学生听音乐前和听音乐时心率分析： 平均数 中位数 方差 听音乐前 a 78 124.5 听音乐时 73 73.5 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）求这20名学生听音乐前心率的平均数； （2）请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心率较为平缓的是______；（填“听音乐前”或“听音乐时”） （3）如果兴趣小组再选择本年级200名同学开展试验，请估计这200名同学听该舒缓音乐时心率在A．组的人数． 24. 如图，内接于，，过点O作，过点E作，与过点B的的切线交于点D，与延长线交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 如图是一个动画设计示意图，轴上依次有，，、、五个点．在上方有四个台阶，，，，每个台阶均平行于轴，且水平宽度均为，各个拐角为，相邻两个台阶的竖直距离均为，第个台阶到轴距离．如图，为一个可以移动的斜坡，轴，，．从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光点． （1）请通过计算说明带光点会落在第几个台阶上； （2）当点落到台阶上后立即弹起后下落，又形成了另一条与抛物线形状相同的抛物线，且抛物线的最大高度为．要使沿抛物线下落的点能落在斜坡（包括端点）上，请求出点横坐标的最小值． 26. 为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），其中点O为的中点，M在边上滑动，N在边上滑动，是与平行的伸缩横杆．已知窗子的边框米，米，，． （1）求窗子顶端E到底边的距离； （2）为提升换气效率，现要通风口面积尽可能大，请求出伸缩杆的端点M滑动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $