精品解析：重庆市第八中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

重庆八中2024－2025学年度（下）半期考试高一年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（ ） A. B. C. D. 6. 边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若两个锐角、满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 设、为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则的最大值为 9. 设的内角，，的对边分别为，，，已知，点为边上一点且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知函数，其中且的周期为．若关于的方程在区间内有两个不同的根，，则下列说法正确的是（ ） A. 图象对称轴方程为， B. 的单调增区间为， C. 取值范围是 D. 的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____ 12. 锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则_____ 13. 在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 的内角，，的对边分别为，，外接圆半径为，已知， （1）求； （2）若的面积为，求，． 15. 正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点． （1）当时，求实数值； （2）当时，求向量与夹角的余弦值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，． （1）求角的值； （2）求的取值范围． 17. 如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． （1）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； （2）求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； （3）若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 18. 如图，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．复数三角形式的乘法公式：棣莫佛提出了公式：，其中，． （1）已知，，求的辐角的主值； （2）复数，满足，，求； （3）设多边形是单位圆的内接正边形，点是单位圆上任意的一点，求的值． （参考公式：当．且时，有） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024－2025学年度（下）半期考试高一年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积． 【详解】解：扇形的圆心角为，弧长为， 扇形的半径， 扇形的面积． 故选：B． 3. 在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，解不等式组，即可得答案. 【详解】若这个三角形有两组解， 则， 因为，，所以. 故选：D． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的余弦与切化弦可求得，进而利用两角和的余弦公式可求值即可. 【详解】因为，由， 可得，所以， 则． 故选：A． 5. 已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据伸缩变换，以及平移变换，即可求得结果 【详解】把上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线的函数解析式为， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线． 故选：D． 6. 边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积运算律及定义求解即可. 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 7. 若两个锐角、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出，再利用两角和的余弦公式得出，结合诱导公式以及正弦函数的基本性质可得出，代入所求式计算即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为、为锐角，所以有， 所以，即， 所以，即， 因为、为锐角，则， 因为，故， 因为， 因为，所以，且余弦函数在上单调递减， 所以有，即， 所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 设、为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】特例法判断AD；根据复数的乘法运算与复数的模长公式判断B；根据复数的乘法运算，以及共轭复数、虚数的定义判断C. 【详解】对于A，因为令，，则，但，所以A不正确； 对于B，设，， 则， ， 所以， ，所以，所以B正确； 对于C，设，，所以，因为，所以为虚数，所以C正确； 对于D，当时，满足，此时，所以D不正确． 故选：BC． 9. 设的内角，，的对边分别为，，，已知，点为边上一点且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化解三角形，余弦定理解三角形，根据向量加法的几何方法，和向量数量积求模长的方法判断选项的正误. 【详解】由正弦定理得，所以，解得， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以是的角平分线，所以B不正确； 所以，所以C正确； 由题意可知，所以，因为，所以， 所以，所以．所以D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数，其中且的周期为．若关于的方程在区间内有两个不同的根，，则下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴方程为， B. 的单调增区间为， C. 的取值范围是 D. 的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期求出，再求出图象的对称轴方程可判断A；求出的单调递增区间可判断B；转化为在区间内有两个不同的根可判断C；转化为，是方程（其中，）在区间内有两个不同的解可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，所以， 令，，解得，， 即图象的对称轴方程为，，所以A正确； 对于B，令，解得，所以B不正确； 对于C，关于的方程， 即， 即，即， 即在区间内有两个不同的根，， ，解得，即的取值范围是．所以C正确； 对于D，因为，是方程（其中，）在区间内有两个不同的解， ，， 当时，，可得， ． 当时，，即， 即， 所以，的值为．所以D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____ 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用诱导公式及三角函数定义求解即得. 【详解】依题意，． 故答案为： 12. 锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，结合角的范围分析求解. 【详解】由题意可知 ，， 而． 故答案：． 13. 在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____ 【答案】8 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数的方程，求出参数关系. 【详解】因为，所以，则， 所以，， 因为为的中点，故． 又因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以， 所以，，故． 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 的内角，，的对边分别为，，外接圆半径为，已知， （1）求； （2）若的面积为，求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）利用正弦定理、三角形面积公式，结合和角的正弦列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 由余弦定理得，而，解得， 由，得，而，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由正弦定理得，， 由，得， 即，所以，. 15. 正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立直角坐标系，再利用向量平行的坐标表示可计算实数的值； （2）设，根据向量垂直的坐标表示可求，再利用向量夹角的计算公式可求. 【小问1详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， ，， 所以， 又因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为点是边所在直线上的一个动点，所以设，则， 因为，所以，所以， 所以，， 设与的夹角为，则. 16. 在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，． （1）求角的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理边角互化，结合恒等变换得到，则求解； （2）设，，，则，，在中，由正弦定理得到，在中，利用正弦定理并化简得到，利用正弦函数性质求解. 【小问1详解】 由，得 整理得， 因为，所以， 由为三角形内角得； 【小问2详解】 设，，，则，， 中，由正弦定理得， 故， 中，由正弦定理得， 故 因为，所以时， 当，即时，*式；当，即时，*式， 故的取值范围为 17. 如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． （1）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； （2）求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； （3）若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式； （2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动角速度约， 由题意可得，． 【小问2详解】 在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． 【小问3详解】 由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 18. 如图，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．复数三角形式的乘法公式：棣莫佛提出了公式：，其中，． （1）已知，，求的辐角的主值； （2）复数，满足，，求； （3）设多边形是单位圆的内接正边形，点是单位圆上任意的一点，求的值． （参考公式：当．且时，有） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法运算，及三角形式即可求解； （2）由复数三角形式的运算即可求解； （3）设在，间的劣弧上，设，得到，令，求得，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 所以的辐角的主值为； 【小问2详解】 不妨设，则， ， ， 所以，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 不失一般性，设在，间的劣弧上，设，则有： ， ， 令，显然有， 设， 则是复数的实部， 又， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $