精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

重庆八中初三中考冲刺练习数学试题4 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案其中，只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】数据55000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件；根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：A． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放新闻 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 三角形三个内角的和等于 D. 明天会下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 根据随机事件和必然事件的定义判断即可． 【详解】解：A. 打开电视，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； B. 抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C. 三角形三个内角的和等于，是必然事件，符合题意； D. 明天会下雨，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 故选：D． 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法，无理数的估算，先计算出结果是估算的前提．先计算和的差，再估算结果的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 8. 如图，中，，过点作的平行线交过点的圆的切线于点，若，则的度数是（ ） A. 74° B. 67° C. 66° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．连接常用的辅助线是解题关键． 连接．从而可利用“SSS”证明，即得出，再根据等腰对等角可得出．由切线的性质可得出，从而得出，最后根据平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】如图，连接． ∵． ∵，， ∴()， ∴． ∵， ∴， ∵为切线， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选B． 9. 如图，正方形为中点，为对角线上一点，在延长线上，连接与交于点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，涉及到相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及解直角三角形和勾股定理的应用，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题的关键．本题过作交点，过作交于点，通过证明和导角得出，并设，，设，，利用勾股定理得出，以及运用锐角三角函数得出，进一步证明，从而得出以及，最终即可求出的值． 【详解】解：∵为中点， ∴， ∵为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 过作于点，过作交于点， ∵， 设，， ∵，， 设，， 在中，由勾股定理得： 得， 解得：或， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去）即，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴即， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故选：C． 10. 设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，三元一次方程组的整数解，不等式的性质；根据二次多项式得到，即可判断①错误；由且，得到，整理得到，②错误；由且，得到，，则，正整数或或，据此分情况讨论求解即可判断③正确． 【详解】解：①若表示为关于的二次多项式，则，不满足，故①错误； ②若且，则 ， ∴， 故②错误； ③∵且， ∴，， ∴， ∴正整数或或， 当时，，则或或或，一共4组正整数解， 当时，，则或，一共2组正整数解， 当时，，，一共1组正整数解， 综上，满足且的正整数解有7组， 故③正确． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的算术平方根，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，算术平方根，零指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：3． 12. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在一个不透明袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率．先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下， 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 共有9种可能，其中和为奇数的有4种， ∴两次数字之和为奇数的概率是． 故答案为：． 14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可． 【详解】解：关于x的不等式组整理得到： ， ∵不等式组的解集为， ∴； 分式方程两边都乘以得：，即． ∵y有非负解且， ∴且，解得：且． ∴且， ∴整数m为：它们的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 15. 如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得，若， ，则的半径为_____，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，交于点，则，得到，即，设，则，设的半径为，则，在中，由勾股定理得到，过点作于点，则四边形是矩形，，，得到，则，在中由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，则， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴，即， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得，，则， ∴， 根据题意，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 过点作于点，则四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 故答案为：； ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，解直角三角形的计算，合理作图是关键． 16. 对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，不定方程求解，整除，理解题意，表示出是解题的关键，根据题意列式计算，，求得，进而根据化简得出，根据的范围确定最大值与最小值，进而求得两数差，即可求解． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ； ∵，其中，均为整数）是“好事成双数” ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∵除以14余4， ∴除以14余4， 又∵ ∴ ∴除以14余4，且是的倍数， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴或 ∵ 当时，取得最大值，的千位为，百位为， 当时，取得最小值，的千位为，百位为， 又∵， ∴最大值为，最小值为： ∴取得最大值时，的十位为，个位为，取得最小值时，的十位为，个位为， ∴最大值为，最小值为 ∴最大值与最小值的差： 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，17、18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：垂直平分， 在和中 ______________________ 四边形为平行四边形 又______________________ 四边形为菱形 【答案】（1）见详解 （2）①；②；③；④； 【解析】 【分析】本题考查作垂直平分线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 证明：垂直平分， ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 又， 四边形为菱形． 19. 先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴时，原式 20. 某校对八、九年级学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：得分用表示，分成四组：A． ，B．，C． ，D．． 八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；九年级20名学生的成绩在组中的数据是：90，91，90，93，94，92，93： 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 九年级 90 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为在此次“环保知识竞赛”中哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）若八年级有500名学生，九年级有550名学生，学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 【答案】（1），， （2）九年级成绩更好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，用样本估计总体，熟知中位数，众数的概念是解题的关键． （1）根据八年级20名学生的成绩数据，即可解答；算出九年级组人数，再通过C组成绩数据，即可得到中位数及对应的百分数； （2）利用样本中九年级学生成绩的众数和中位数高于八年级的，即可解答； （3）算出八、九年级20名学生中，竞赛成绩不低于95分的占比，乘以各年级全部人数，相加即可． 【小问1详解】 解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故； 九年级A组人数为（人）， B组数据为（人），故中位数在C组， 为，故， D组所占的百分数为：，故 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：九年级成绩更好；理由如下， ∵九年级成绩的中位数和众数，都高于八年级， ∴九年级成绩更好 故答案为：九年级； 【小问3详解】 解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占， 八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人）， 答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有人． 21. 某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 【答案】（1）去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确找出数量关系是解题的关键． （1）设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元，根据“购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍”列方程即可求解； （2）先求出今年A、B两种品牌的单价，再设学校今年购买个A品牌足球，根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则去年B品牌足球的单价为（元）， 答：去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元． 【小问2详解】 解：今年A品牌足球的单价为（元）， 今年B品牌足球的单价为（元）， 设学校今年购买个A品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：学校至少要购买50个A 品牌足球． 22. 如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取的中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为． （1）请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0） （2）在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）图见详解，在时，随的增大而减小． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解直角三角形的相关运算，勾股定理，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用三角函数的性质列式算出，结合面积公式列式计算，得，然后运用三角函数的性质列式算出，，则的周长，的周长，即可得． （2）根据以及分别作图，再结合一次函数的性质，进行作答即可． （3）运用数形结合思想，得出结合图象，当时，则或． 【小问1详解】 解：过点F作，如图所示： ∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 则， ∴； ∵点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止． ∴， ∴，， 在时，； 在时，； 综上，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴； 则的周长，的周长， ． 【小问2详解】 解：如图所示： ∴ 依题意，在时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：结合图象，当时，则或． 23. 某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案： 方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟； 方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟． （1）求的长；（结果保留整数） （2）哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）方案一到达点所花时间更短 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）先证明，得到，，再中，根据，，求出，，最后根据中，，列方程求解即可； （2）由（1）可得，，，，再求出，，则，，最后分别求出两种方案所用时间，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 中，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵中， ， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：方案一到达点所花时间更短，理由如下： 由（1）可得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴方案一：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）； 方案二：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）； ∴方案一到达点所花时间更短． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值； （3）如图，在轴上取点，将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与 轴交于点，，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据题意写成交点式即可得出解析式； （2）先求出直线的解析式，设，则，，求得，根据二次函数的性质求得点的坐标，将点向左平移个单位，向下平移个单位得到，得出四边形是平行四边形，进而得出，则当在上时，取得最小值，勾股定理求得，即可得解； （3）根据平移的性质先求出新抛物线解析式，根据解析式得出是等腰直角三角形，根据直线与直线所成夹角为，则与平行或与平行，分别画出图形，求出的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，则， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， 此时，， 如图，将点向左平移个单位，向下平移个单位得到， ， ， 点和点是直线上的两个动点， 将点向左平移个单位，向下平移个单位得到， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当在上时，取得最小值， 最小值为． 【小问3详解】 解：，， ，， ， 将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点、，， 原抛物线的对称轴为直线，当时，， 将点平移到，即向左平移个单位，向上平移个单位， 而平移方向与水平方向夹角的正切为， 平移方向沿射线平移， 将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，平移后的新抛物线与轴交于点、，， 新抛物线解析式为， 当时，，， 当时，，， ，， ，重合， 又，， ， 是等腰直角三角形， ， 直线与直线所成夹角为， 或， ，， ，，． 当，如下图，过点作轴， 线段与线段关于线段对称， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，， 中，， ， 解得， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 线段与新抛物线交于点， ， 解得或， 点的横坐标为； 当时，如下图，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为， 线段与新抛物线交于点， ， 解得或， 点的横坐标为． 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边对等角、轴对称的性质、平移的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 25. 如图，和为等腰直角三角形，． （1）如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度： （2）如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究的数量关系并证明； （3）如图3，在（1）的条件下，将绕着点旋转度得到，连接，当最小时，求的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，利用为等腰直角三角形，，求出，，，证明为等腰直角三角形，得出，求出，再利用勾股定理求解即可； （2）延长至点，使得，连接，，可知等腰直角三角形，证明，得出，通过导角证明，再证明，即可证明； （3）由题可知点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，计算得出，在上取点，使得，得出，则，可得，， 则，由两点之间线段最短，可知，当、、依次共线时，最小，最小值为，此时过点作于点，过点作于点，求出，证明，得出，设，，利用，列式求出，再利用的面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点是绕点旋转而来， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆， ∵， ∴， ∴， 在上取点，使得， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短，可知，当、、依次共线时，最小，最小值为， 则此时最小， 此时点位置如图，过点作于点，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 设，， ∵， ∴， 即， 解得：（负值舍）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的定义，勾股定理，二次根式的计算，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中初三中考冲刺练习数学试题4 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案其中，只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣5绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 港珠澳大桥是世界上最长跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放新闻 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 三角形三个内角的和等于 D. 明天会下雨 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，过点作的平行线交过点的圆的切线于点，若，则的度数是（ ） A. 74° B. 67° C. 66° D. 60° 9. 如图，正方形为中点，为对角线上一点，在延长线上，连接与交于点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 13. 在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为___________． 14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是_____． 15. 如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得，若， ，则的半径为_____，___________． 16. 对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 三、解答题（本大题8个小题，17、18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：垂直平分， 在和中 ______________________ 四边形为平行四边形 又______________________ 四边形为菱形 19. 先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 20. 某校对八、九年级学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：得分用表示，分成四组：A． ，B．，C． ，D．． 八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；九年级20名学生的成绩在组中的数据是：90，91，90，93，94，92，93： 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 九年级 90 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为在此次“环保知识竞赛”中哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）若八年级有500名学生，九年级有550名学生，学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 21. 某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 22. 如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取的中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为． （1）请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0） （2）在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案： 方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟； 方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟． （1）求的长；（结果保留整数） （2）哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值； （3）如图，在轴上取点，将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与 轴交于点，，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 如图，和为等腰直角三角形，． （1）如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度： （2）如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究的数量关系并证明； （3）如图3，在（1）条件下，将绕着点旋转度得到，连接，当最小时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$