山东省临沂市第二十四中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

1    2| log 1 , | 1A x x B x x    高二下学期 5 月月考数学测试题 2025.5.28 一．单选题 1. 已知集合 ，则 A B  （ ） A.  ,1 B.  0,1 C.  , 2 D.  0,2 2.“不等式�2 − � + � > 0在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( ) A.m>1 4 B.m<2 C.m>0 D.m≥2 3. 函数   2 1 lnf x x ax x     ，若  f x 在 0, 12       是减函数，则实数 a的取值范围为（ ） A. ( , 2] B. ( ,2) C. ( ,3] D. ( 3), 4. 已知函数  f x 为定义在R 上的奇函数，且当 0x  时，   2 9 1xf x x   ，则当 0x  时，  f x 等于（ ） A. 2 9 1x x   B. 2 9 1x x   C. 2 9 1x x   D. 2 9 1x x   5. 已知 0.90.9a  ， lg1.9b  ， 0.91.9c  ，则（ ） A. a b c  B. a c b  C. c b a  D. c a b  6. 甲、乙、丙、丁 4 人参加活动，4 人坐在一排有 12 个空位的座位上，根据要求，任意两人之间 需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（ ） A. 120 种 B. 240 种 C. 360 种 D. 480 种 7. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、 教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件 A为“恰有 2 名同学所报项目相同”，事件 B为 “只有甲同学一人报关怀老人项目”，则  |P B A （ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 2 3 D． 5 6 8．已知函数 f x = ax + b（a > 0，b > 0），g x = ln x + 2 ，若对∀x >− 2，不等式 f x ≥ g x 恒成立，则b a 的取值范围为（ ） A． 0, + ∞ B． 1, + ∞ C． 2, + ∞ D． e, + ∞ 二．多选题 2 9．下列说法中错误．．的有（ ） A．相关系数�越小，表明两个变量相关性越弱 B．决定系数�2越接近 1，表明模型的拟合效果越好 C．若随机变量�服从两点分布，其中� � = 0 = 2 3 ，则� 3� + 2 = 3，� 3� + 2 = 4 D．随机变量�～� 3, �2 ，若� � ≤ 5 = 0.7，则� � ≤ 1 = 0.3 10. 已知 2 nx x      的二项展开式中第 3 项和第 4 项的二项式系数最大，则（ ） A. 6n  B. 展开式的各项系数和为 243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 16 D. 展开式中有理项一共有 3 项 11. 已知 a，b为正实数， 2a b  ，则（ ） A. ab的最大值为 1 B. 2 2a b 的最大值为 2 C. 2 2 1 2 a b a b    的最小值为 4 5 D. 2b a b  的最小值 3 三．填空题 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,若函数 f(x+1)为偶函数,且 f(3)=0,则不 等式 xf(x)>0 的解集为______ 13．已知�1, �2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为 1 2 ， 该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变 量�，则� � = ． 14.满足下列三个性质的一个函数 f(x)＝______. ①若 xy>0，则 f(x＋y)＝f(x)f(y)；②f(x)＝f(－x)；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 四．解答题 15．某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. (1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取 50 件进行检验，其中甲车间优等品占 4 5 ，乙车间 优等品占 3 5 ，请填写如下列联表： 3 x exf ax 1)( 已知函数 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值 0.05  的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到 0.001)        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中n a b c d    . 下表是 X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)调查了近 10 个月的产量 ix （单位：万个)和月销售额 iy（单位：万元)，得到以下数据： 10 10 10 10 2 1 1 1 1 20 70 88 200i i i i i i i i i x y x x y           ， ， ， ，根据散点图认为 y.关于 x的经验回归方程为 ˆˆ ˆy bx a  ， 试求经验回归方程. 参考公式： ˆâ y bx  ，其中 1 1 2 2 2 1 1 ˆ ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                . 16. (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 ，求函数 的零点个数． 4 17. 某学校从全体师生中随机抽取 30 位男生、30 位女生、12 位教师一起参加社会实践活动. (1) 假设 30 位男生身高均不相同,记其身高不超过186的人数为24人 ,从学校全体男生中随机选取 3 人,记 � 为 3 人中身高不超过 186 的人数,以频率估计概率，求 � 的分布列及数学期望; (2)从参加社会实践活动的 72 人中一次性随机选出 30 位 ,记被选出的人中恰好有 � � = 1,2,⋯, 30 个男生的概率为 � � ,求使得 � � 取得最大值的 � 的值. 18．某企业打算处理一批产品,这些产品每箱 10 件,以箱为单位销售,已知这批产品中每箱都有废品. 每箱的废品率只有 1 10 或者 1 5 两种可能,且两种可能的产品市场占有率分别为 2 1, 3 3 .假设该产品正品 每件市场价格为 100 元,废品不值钱,现处理价格为每箱 840 元,遇到废品不予更换,以一箱产品中正品 的价格期望值作为决策依据.（运算结果保留分数） （1）在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买; （2）现允许开箱,不放回地随机从一箱中抽取 2 件产品进行检验,已发现在抽取检验的 2 件产品中, 其中恰有一件是废品 ①求此箱是废品率为 1 5 的概率; ②判断此箱是否可以购买,并说明理由. 19. 已知函数 2 1( ) ( 1) ln ( ) 2 f x m x x x   R ． （1）若 1m  ，求证： ( ) 0f x  ． （2）讨论函数 ( )f x 的极值； （3）是否存在实数m，使得不等式 1 1 1( ) xf x x e    在 (1 )， 上恒成立？若存在，求出m的最小 值；若不存在，请说明理由． 5 高二 5.28 月考数学答案 C、D、C、D、D、 C、A、B、 AC、BCD、ACD 12.（−∞, − 1) ∪ (0,3) 13. 3 16 14. 1 a|x| (a>1)(答案不唯一) 1. 由题得：    2| log 1 | 0 2A x x x x     ，且  | 1B x x  ，  , 2A B   .故选：C. 2. ∵不等式�2 − � + � > 0在 R 上恒成立,∴( − 1)2-4m<0,解得 m>14 , 这是其充要条件, 由于{m|m≥2}⫋ {m|m>1/4},∴其充分不必要条件可以是 m≥2,故选 D. 3.函数    2 11 ln , 2f x x ax x f x x a x           ，若函数在区间 0, 1 2       上是减函数， 则   0f x  在 0, 1 2       恒成立，即 1 2a x x   在 0, 1 2       恒成立，由对勾函数性质可知 1 2y x x   在 0, 1 2       单调递减，故 1 2 3y x x    ，所以 3a  . 故选：C. 4. 因为函数  f x 为定义在R 上的奇函数，且当 0x  时，   2 9 1xf x x   ， 则当 0x  时， 0x  ，所以，   2 9 1xf x x    ， 此时，     9 1 2 xf x f x x       . 故选 D 5. 因为 0.9xy  在定义域R 内单调递减，则 0. 01 90.9 0.9 0.9 ，即0.9 1a  ； 又因为 1.9xy  在定义域R 内单调递增，则 0.9 01.9 1.9 ，即 1c  ； 且 lgy x 在定义域R 内单调递增，则 1lg1.9 lg 10 2   ，即 1 0.9 2 b   ； 综上： c a b  .故选：D. 6. 先假设每个人坐一个位置相当于去掉 4 个位置， 再将 4 个人中间任意两个人之间放入 2 个空位，此时空位一共还剩 2 个， 若将这两个空位连在一起插入 4 人之间和两侧空位，有 5 种放法； 若将这两个空位分开插入 4 人之间和两侧空位，有 2 5 2 2 A 10 A  种放法， 故不同的就座方法共有  44A 5 10 360   种.故选：C. 7. 事件 AB 为“4 名同学所报项目恰有 2 名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”. 6   2 1 4 3 4 2 1 4 3 9 C CP A    ,   2 1 3 2 4 1 1 2 3 27 C CP AB    所以      2 127| 4 6 9 P AB P B A P A    ，故选 A. 8．由题意，f x ≥ g x ⇔ f x − g x ≥ 0，令 t(x) = f x − g x = ax + b − ln(x + 2)， 则∀x >− 2，f x ≥ g x 恒成立，即 t(x) ≥ 0恒成立，即 t(x)min ≥ 0， t′(x) = a − 1 x+2 = ax+2a−1 x+2 (x >− 2)，令t′(x) = 0，解得 x = 1−2a a = 1 a − 2 >− 2， 令t′(x) > 0 ∴ x > 1−2a a ，即 t(x)在( 1−2a a , + ∞)上单调递增； 令t′(x) < 0 ∴− 2 < x < 1−2a a ，即 t(x)在( − 2, 1−2a a )上单调递减. ∴ t(x)min=t( 1 a − 2) ≥ 0 ⇒ 1 − 2a + b + lna ≥ 0， ∴ b ≥ 2a − 1 − lna，∴ b a ≥ 2 − lna+1 a ，令ℎ(a) = 2 − lna+1 a ，∴ ℎ′(a) = lna a2 ， 令ℎ′(a) > 0 ∴ a > 1，即ℎ(a)在(1, + ∞)单调递增； 令ℎ′(a) < 0 ∴ 0 < a < 1，即ℎ(a)在(0,1)单调递减； ∴ ℎ(a)min = ℎ(1) = 1，∴ b a ≥ 1，即b a 的取值范围为 1, + ∞ . 故选：B. 9．对于 A： r 值越小，表明两个变量相关性越弱，故 A 错误； 对于 B，决定系数R2越接近 1，表明模型的拟合效果越好，故 B 正确； 对于 C，若 P X = 0 = 2 3 ，则 P X = 1 = 1 3 ，E X = 1 3 ，D X = 1 3 × 2 3 = 2 9 ， 所以 E 3X + 2 = 3 × 1 3 + 2 = 3，D 3X + 2 = 9D X = 9 × 2 9 = 2，故 C 错误； 对于 D，随机变量 X～N 3, σ2 ，若 P X ≤ 5 = 0.7，则 P X ≤ 1 = P X ≥ 5 = 1 − 0.7 = 0.3，故 D 正确； 故选：AC． 10. A 选项，二项展开式中第 3 项和第 4 项的二项式系数最大，即 n为奇数， 且 1 1 2C n n   与 1 2C n n  最大，所以 1 3 2 n   ，解得 5n  ，A 错误； B 选项， 5 2x x       中，令 1x  得， 5 5 321 3 24 1       ，故各项系数和为 243，B 正确； C 选项，展开式中的二项式系数和为 52 32 ，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 所以展开式中奇数项的二项式系数和为 16，C 正确； D 选项，展开式通项公式为 355 2 2 1 5 5C 2 C 2 r r r r r r r rT x x x        ，0 5r  ，且 r为整数， 7 当 0r  时， 35 5 2 r  满足要求，当 2r  时， 35 2 2 r  满足要求， 当 4r  时， 35 1 2 r   满足要求，综上，展开式中有理项一共有 3 项，D 正确.故选：BCD 11. 对于 A， a，b为正实数， 2a b  ，所以 2 1 2 a bab       ， 当且仅当 1a b  时， ab的最大值为 1，故 A 正确； 对于 B，由于  22 2 2 4 2a b aba b ab     ，由 A 选项可知0 1ab  ， 所以  2 2 4 2 2,4a b ab    ，所以 2 2a b 的最小值为 2，故 B 不正确； 对于 C，     2 22 2 1 1 4 4 1 41 2 1 2 1 2 1 2 a ba b a b a b a b a b                    1 4 1 43 1 1 2 1 2 a b a b a b             ， 因为 a，b为正实数， 2a b  ，所以    1 2 5a b    ，则       4 11 4 1 2 11 2 1 4 1 2 5 1 2 5 aba b a b a b                               4 12 2 91 1 2 5 1 5 2 5 5 ab a b           ， 当且仅当       4 12 5 1 5 2 ab a b     ，即 2 4, 3 3 a b  时， 2 2 1 2 a b a b    的最小值为 4 5 ，故 C 正确； 对于 D， 2 1 2 1 3b b a b b a a b a b a b           ，当且仅当 1a b  时， 2b a b  的最小值 3，故 D 正 确.故选：ACD. 12. 因为 f(x)定义域为 R,且 f(x+1)为偶函数,则 f(1+x)=f(1-x), 所以 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,因为 f(3)=0,则 f(-1)=f(3)=0, 则 x>0 时，由 f(x)>0 得 0<x<3, x<0 时，由 f(x)<0 得 x<-1 综上,不等式 xf(x)>0 的解集为(−∞, − 1) ∪ (0,3) 13．由条可知，X = 0,1，P X = 0 = 1 2 × 1 2 = 1 4 ，P X = 1 = 1 2 + 1 2 × 1 2 = 3 4 ， 则 E X = 0 × 1 4 + 1 × 3 4 = 3 4 ，D X = 0 − 3 4 2 × 1 4 + 1 − 3 4 2 × 3 4 = 3 16 . . 8 14.令 f(x)＝ 1 a|x| (a>1)，f(x＋y)＝ 1 a|x＋y| ，f(x)f(y)＝ 1 a|x| · 1 a|y| ＝ 1 a|x|＋|y| ＝ 1 a|x＋y| (xy>0)， 所以满足若 xy>0，则 f(x＋y)＝f(x)f(y).f(－x)＝ 1 a|－x| ＝f(x)，即 f(x)＝f(－x)成立. 又 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以 f(x)＝ 1 a|x| (a>1)符合题意. 15．【详解】（1） 设 0H ：车间与优等品无关.           2 2 2 0.05 (40 20 30 10) 100 100 4.762 3.841 70 30 50 50 21 n ad bc x a b c d a c b d                    根据小概率值 0.05  的独立性检验，能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下，认为车间与优等品 有关联. （2）依题意得： 10 1 1 2 10 ii x x    ， 10 1 1 7 10 ii y y    又因为 10 1 200i i i x y   ， 10 2 1 88i i x   ， 故 10 1 10 2 2 1 10 200 10 2 7 60ˆ 1.25 88 10 2 2 4810 i i i i i x y x y b x x                 ， ˆˆ 7 1.25 2 4.5a y bx      所以经验回归方程为 ˆ 1.25 4.45y x  . 16.（1）当 0a  时， 1( ) 1f x x   ，   2 1f x x    .则    1 1, 1 2f f   ， 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为  2 1y x    ，即 3y x   ； （2）令 1( ) e 0axf x x    ，则 1eax x   ，当 0x  时， 1e , 00ax x    ， 所以 0x  时，函数  f x 无零点； 当 0x  时，由 1eax x   ，得 1lnax x       ，所以  ln xa x    ， 则 0x  时，函数  f x 零点的个数即为函数  ln, xy a y x     图象交点的个数， 令      ln 0xh x x x     ，则    2 ln 1x h x x     ， 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 9 当 ex   时，   0h x  ，当 e 0x   时，   0h x  ， 所以函数  h x 在  , e  上单调递增，在  e,0 上单调递减，所以    max 1e e h x h   ， 又当 x时，   0h x  且   0h x  ，当 0x 时，  h x  ， 如图，作出函数  h x 的大致图象， 又 ea   ，由图可知， 所以函数    ln, xy a h x x     的图象只有1个交点， 即当 0x  时，函数  f x 只有1个零点； 综上所述，若 ea   ，函数 ( )f x 有1个零点． 17. 10 18．（1）在不开箱检验的情况下,一箱产品中正品的价格期望值为: 2 1 2600( ) 10 (1 0.1) 100 10 (1 0.2) 100 840 3 3 3 E              , 所以在不开箱检验的情况下,可以购买. （2）①设事件 A:发现在抽取检验的 2 件产品中,其中恰有一件是废品, 则   1 1 1 1 1 9 2 8 2 2 10 10 C C C C2 1 34 3 C 3 C 135 P A      , 设事件 1B :抽取的是废品率为 1 5 的一箱,则      1 1 2 8 2 1 10 1 C C1 3 C 8| 34 17 135 P AB P B A P A     , 则发现在抽取检验的 2 件产品中,其中恰有一件是废品的条件下,此箱是废品率为 1 5 的一箱的概率为 8 17 ; ②设正品价格的期望值为  ,则 800,900  ,    1 8800 | 17 P P B A    事件 2B :抽取的是废品率为 1 10 的一箱,则    2 8 9900 | 1 17 17 P P B A      , 所以   8 9 14500800 900 840 17 17 17 E        , 所以在已发现抽取检验的 2 件产品中恰有一件是废品的情况下,此箱可以购买. 19. （1） 1m  时， 2 1( ) ( 1) ln ( 0) 2 f x x x x    ， 21 1( ) mxf x mx x x      ，当 )1(0x ，， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减 当 (1 )x ， 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增 ∴ min( ) (1) 0f x f  ，故 ( ) 0f x  ． （2）由题知． 0x  ， 21 1( ) mxf x mx x x      ， ①当 0m  时， 2 1( ) 0mxf x x    ，所以 ( )f x 在 (0 ) ， 上单调递减，没有极值； ②当 0m  时， 2 1( ) 0mxf x x    ，得 1x m  ，当 10x m       ， 时， ( ) 0f x  ； 11 当 1 +x m        ， 时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 10 m       ， 上单调递减，在 1 + m       ， 上单调递增． 故 ( )f x 在 1x m  处取得极小值 1 1 1 1ln 2 2 2 f m m m         ，无极大值． （3）不妨令 1 1 1 1 1( ) x x x e xh x x e xe        ，不难证明 1 0xe x   ，当且仅当 1x  取等号， 所以，当 (1 )x ， 时， ( ) 0h x  ， 由（1）知，当 0m  ， 1x  时， ( )f x 在 (1 )， 上单调递减， ( ) (1) 0f x f  恒成立； 所以不等式 1 1 1( ) xf x x e    在 (1 )， 上恒成立，只能 0m  ． 当0 1m  时， 1 1 m  ，由（1）知 ( )f x 在 11 m       ， 上单调递减， 所以 1 (1) 0f f m        ，不满足题意． 当 1m  时，设 2 1 1 1 1( ) ( 1) ln 2 x F x m x x x e       ， 因为 1m  ， 1x  ，所以mx x ， 1 1xe   ， 1 10 1xe    ， 1 11 0xe      ， 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1( ) 1x x x xF x mx x x x e x x x               ， 即 2 2 (x 1)( 1)( ) 0xF x x     ， 所以 ( )F x 在 (1 )， 上单调递增， 又 (1) 0F  ，所以 (1 )x ， 时， ( ) 0F x  恒成立，即 ( ) ( ) 0f x h x  恒成立， 故当 1m  时，使得不等式 1 1 1( ) xf x x e    在 (1 )， 上恒成立． 此时m的最小值是 1． 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高二下学期 5 月月考数学测试题 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 一．单选题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二．多选题 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三．填空题 12. 13. 14. 四．解答题 15. 16. 17. 18. 19.