第4章《三角形》期末知识点复习题 2024--2025学年北师大版七年级数学下册试题

第4章《三角形》期末知识点复习题 【题型1 利用三角形的中线求面积】 1.如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 2.如图，在中，，，若的面积为4，则四边形的面积为 ． 3.如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ．    4.【问题情境】 有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】 1.如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（    ）    A．或 B． C． D．或 2.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 3.一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（    ） A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6 4.设表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中，若=2020，则满足此条件的三角形共有 个． 【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】 1.如图，已知点为内任意一点.证明： （1）. （2）. （3）若，，为三个城镇， ，要在内建造供水站向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？ 2.已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 3.如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 4.如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和最小，说明理由 【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】 1.如图1，在中，平分，平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，直线经过点． ①如图2，若MNAB，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）． 2.（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系； （2）如果图2中，，AP与CP分别是和的角平分线，试求的度数； （3）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 3.，点，分别在、上运动不与点重合． (1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； (3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数． 4.如图，，点A、分别在、上运动（不与点重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点． ①若，则______； ②猜想：的度数是否随A，的移动发生变化？并说明理由． (2)如图，若，，则______； (3)若将改为（如图3），，，其余条件不变，则______（用含，的代数式表示，其中）． 【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】 1.（1）问题情境：如图1，，，，求的度数； （2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由； （3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系． 2.如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．    (1)若点F在点E左侧且，求的度数； (2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形． 3.如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明； （3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）． 4.已知，点是直线上一定点． (1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点恰好落在射线上，此时，，求的度数； (2)现将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求的值； (3)若将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点． ①如图2，当时，________度； ②如图3，当时，________度． 【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】 1.有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处． (1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由． (2)当∠A′EB′=∠B′EB时，设∠A′EB′=x． ①试用含x的代数式表示∠FEG的度数． ②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由． 2.（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______； （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 3.我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在点的位置． (1)如图1，当点落在边上时，若，则______，可以发现与的数量关系是 ； (2)如图2，当点落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点落在外部时，若设的度数为，的度数为，请求出与，之间的数量关系． 4.将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落的位置，折痕为． (1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧． ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，请写出、和的关系并证明； (2)如图3，有一张三角形纸片，，，若点是边上的固定点），请在上找一点，将纸片沿折叠，为折痕点落在处，使 与三角形的其中一边平行，求的度数． 【题型7 全等三角形的动态问题】 1.如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 2.如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 3.如图，在中，， ， ， ，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如上图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，， ， ，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 4.如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒6个单位的速度，沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．与全等， ． 【题型8 全等三角形中的多结论问题】 1.如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，中，，，三条角平分线、、交于O，于H．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）    4.如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】 1.如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 2.如图，在Rt中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点G，若，，则四边形周长的最小值是 ． 3.如图，在四边形中，，，连接，，平分．若是边上一动点，则长的最小值为 ． 4.如图，在直角中，，，，，平分，是上一动点（不与重合），是上一动点（不与重合），则的最小值为 ． 【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】 1.回答问题 （1）【初步探索】如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是 　 　； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 2.已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F． (1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由． (2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由． (3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系． 3.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 4.如图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是    【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】 1.如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    2.如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    3.如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 4.已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】 1.如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 2.我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 3.综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．    实践操作 （1）尺规作图：作出符合上述条件的图形； 探究发现 （2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由； 探究应用 （3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长． 4.尺规作图之旅 下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题． 【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×． （1）过一点作一条直线．(　　　) （2）过两点作一条直线．(　　　) （3）画一条长为3㎝的线段．(　　　) （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　) 【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：∠AOB． 求作：使 作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，____________________； （4）过点画射线，则． 说理：由作法得已知： 求证： 证明： (　　　) 所以(　　　) 【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线与直线外一点A． 求作：过点A的直线，使得． 【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图． 【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】 1.中，，过点作．连接为平面内一动点． (1)如图1，若，则　 　． (2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．求证：； (3)如图3，连接，过点作于点，且满足，连接，过点作于点，若，求线段的长度的取值范围． 2.如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 3.定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 4.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 参考答案 【题型1 利用三角形的中线求面积】 1.A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    2.14 【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AF， ∵，的面积为4， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：14． 3.5 【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H，    ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：5． 4.（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】 1.A 【分析】根据的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：过点作交于点，作点关于的对称点，如图：    ∵点到射线的距离为， ∴， ∵垂直平分， ∴， 当，即点在线段上（不含端点）或点在线段上（不含端点）， 不能唯一确定； 当时，即点与点重合， 可唯一确定为直角三角形； 当时，即点与点重合或点与点重合， ∵点与点重合时不能构成三角形，故能唯一确定； 当时，即点在点的右侧，故能唯一确定； 综上，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是或． 故选：A． 2.5 【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x； 因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x， 因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x， 因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长， S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高， ∴6＞高＞3， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故答案为：5． 3.D 【详解】如图所示: AB=5，AC=7， 设BC=2a，AD=x， 延长AD至E，使AD=DE， 在△BDE与△CDA中， ∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE=2x，BE=AC=7， 在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6． 故选D． 4.2041210 【分析】已知，根据三角形的三边关系求解，首先确定出、三边长取值范围，进而得出各种情况有几个三角形． 【详解】解：，，表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中，如果，则，， 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2020个三角形； 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2019个三角形； 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2018个三角形； 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有1个三角形；三角形数量是：， 故答案为：2041210． 【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】 1.（1）在中，，① 在中，，② 在中，.③ 由，得. 故. （2），① 同理，，② .③ 由，得， 即. （3）由，点为内一点，及（1）（2）知 ∴ 故水管长度应在到之间. 2.解：∵a，b，c 是三角形的三边， ∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0， 由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0， 由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0， ∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c） ＝a+3b． 3.（1）解：，理由为： ， ∴ 即： （2），理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： （3），理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 4.解：H建在、的交点处，理由如下： 连接、相交于点H，任取一点，连接、、、， 在中，， 在中，， ， ， ， 最小， 即维修站H建在、的交点处，才能使它到四口油井的距离之和最小． 【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】 1.（1）∵ 平分，平分， ∴∠CBD=，∠BCD=， ∴∠CBD+∠BCD=+=， ∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴180°-∠BDC=， ∴∠BDC=， ∵∠A=60°， ∴∠BDC==120°， 故答案为：120°． （2）①∵∠NDC=180°-∠MDC， ∴=180°-∠MDC -∠MDB =180°-（∠MDC+∠MDB） =180°-∠BDC =180°-（） =． ②保持不变，恒等于90°-．理由如下： ∵∠NDC=180°-∠MDC， ∴=180°-∠MDC -∠MDB =180°-（∠MDC+∠MDB） =180°-∠BDC =180°-（） =． 故保持不变，且为． ③与的关系是+=．理由如下： ∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°， ∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC， ∵∠BDC=， ∴∠NDC+∠MDB=180°-（）=． 2.解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°， 且∠AOD=∠BOC， ∴∠A+∠D =∠C+∠B； （2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②， ∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， ， 又∵∠D=40°，∠B=36°， ∴40°+36°=2∠P， ∴∠P=38°； （3）存在的数量关系为：， 由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②， ∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， . 3.（1）解：∵、分别是和的平分线， ∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO， ∵， ∴∠EAB+EBA=90°， ∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°， ∴， ， ， ， ； （2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO=2α， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=45°+α， ∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD， ∴∠D=∠ABC -∠BAD=45°+α -α=45°； （3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E， ∴∠AOE=135°， ∴， ， ， ， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线， ∴， 在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍， 则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°； ②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°， 此时∠ABO=120°＞90°，舍去； ③当∠F=3∠E时，得， 此时∠ABO=45°；． ④当∠E=3∠F时，得， 此时∠ABO=135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO的度数为60°或45°． 4.（1）解：①，平分， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：； ②的度数不随，的移动发生变化，理由如下： 设， 平分， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， 的度数不随，的移动发生变化； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】 1.解：（1）过点P作， 如图，∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴． （2）分别过点P和点F作，， 如图，∵， ∴， ∴，，，， 由（1）得， ∵的角平分线与的角平分线交于点F， ∴， ∴， ∴． （3）当点P在上时，如原题图3，和（1）同理可得：； 当点P在延长线上时，如图所示，AP交CD于点E， ∵， ∴， 又∵， ； 当点P在延长线上时，如图所示，CP交AB于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，． 2.（1）解： ， ． 在中，， ． 平分， ． ， ， ， ． （2）解：如图，    ， ． 在中，， ． 平分， ． ， ， ， ． （3）， 当为直角三角形时，存在两种情况： 情况一：当时， 初始状态时， 旋转过的度数为． 转动的时间为（秒）． 情况二：当时，． 初始状态时， 旋转过的度数为． 转动的时间为（秒）． 综上：当为秒或秒时，为直角三角形． 3.（1）过点作， ， ， ， ． （2）根据题意，补全图形如下： 猜测， 由（1）可知：， 平分， ， ， ， ， 又平分， ， ， ． （3）①如图1， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又平分， ， ； ②如图2， ，（同①）； 若， 则有， 又， ， ， ， 综上所述：或， 故答案是：或． 4.（1）如图1，过点作， 图1 ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）依题意可知：，分以下三种情况讨论： ①如图4，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得．   ②如图5，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得． ③如图6，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得． 综上所述：的值为5或50或65． （3）依题意可知：，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， 由（1）的模型可得， ①当时，延长于于G， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：； ②当时，延长于于G， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：； 【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】 1.（1）解：∠FEG=90°． 由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG． 又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°， ∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°； （2）解：由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG． ①（i）如图，当点B′落在∠A′EG内部时， ∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB， ∴∠B′EB=3x． ∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB+∠A′EB′)=180°−4x， ∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90°−2x， ∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°+． （ⅱ）如图2，当点B′落在∠A′EF内部时， ∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB， ∴∠B′EB=3x， ∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB−∠A′EB′)=180°−2x， ∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90°−x． ∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°−． 综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+； 当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−． ②EB′可能平分∠FEG，理由如下： （i）当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+． ∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=∠FEG=45°+． 又∵∠B′EG=∠BEB′=， ∴45°+=，解得x=36°． 此时∠FEG=90°+=108°． （ⅱ）当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−． ∵EB′平分∠FEG， ∴∠B′EG=∠FEG=45°−． 又∵∠B′EG=∠BEB′=， ∴45°−=， 解得x=()°． 此时∠FEG=90°−=()°． 综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=108°； 当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=()°． 2.解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 3.（1）， ， 由折叠得：， ， ， 设， ， 由折叠得：， ， ， ∴； 故答案为：，； （2），， ，， 由折叠得：，， ， 方法二：连接 由①结论可知：， 同理，由①结论可知：， ． （3），， ，， 由折叠得：， ， ， 与，之间的数量关系：． 方法二：连接， 由①结论可知：， 同理，由①结论可知：， ． 4.（1）由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， ； ②由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， ； （2）解：①当时，如图所示， ∴， ∵由折叠可知， ，， ∵， ∴； ②当，在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 由折叠可知， ， ∴， ∴； ③当，在下方时，如图所示，， 则， ∴， ∴， 由折叠可知， ， ∴， 综上所述， 或或． 【题型7 全等三角形的动态问题】 1.1或或12 【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得． ，符合题意； ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或12． 2.D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 3. 或 或或或 【分析】（1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：∵的面积等于面积的一半， ∴P点运动到BC的中点， 此时， 当P点运动到AC边上时， 此时， ∴此时P点在AC边的中点， 此时， 综上所述，当或时，的面积等于面积的一半； （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为 或 或 或 ． 故答案为：或或或． 4.或或 【分析】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，当与全等时，分,或,分别列方程计算即可得解． 【详解】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y， , , ∵与全等， ∴， ,或, ，，，有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动， ∴， ①当点F由点C到点B，即时， 由得， 解得；， 由得， 解得：（舍去）， ②当点F由点C到点B，即时， 由得， 解得：， 由得， 解得：， 综上，或或， 故答案为：或或 【题型8 全等三角形中的多结论问题】 1.B 【分析】先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①符合题意； ∴， 如图，记的交点为， ∵， ∴，故③符合题意； ∵在上可以是个动点，仍然满足中，， ∴不一定等于，故②不符合题意； 如图，作于，作于． ∵， ∴由全等三角形的对应高相等可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故④符合题意； 故选B 2.C 【分析】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 在上截取，连接，由得，即要证明，再证明，得，则，所以，即可证明，得，所以，可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 故④正确， 故选：C． 3.①③④ 【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解． 【详解】解：∵的角平分线、相交于点O， ∴，， ， 故①正确； 延长交于H，如图所示：    ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比， ∴， 故④正确； 因此正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 4.D 【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴，故②正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， ∵， ∴． 故③正确． ∵，，， ∴，故⑤正确． 故选：D． 【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】 1. 【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果． 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当，，三点不共线时，； 当，，三点共线时，． 的最小值是的长， ，， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 2.22 【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解． 【详解】解：， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴，， ∵，， ∴四边形的周长， ∴当最小时，即时四边形的周长有最小值， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：22． 3.3 【分析】过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD≌△BED，从而得到DE的长度． 【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值， 由题意知在△BAD和△BED中，， ∴△BAD≌△BED， ∴ED=AD=3， 故答案为3． 4. 【分析】在取点E，使，连接，过点C作于点F，证明，可得，即当点C，M，E三点共线时，的值最小，再由点到直线，垂线段最短，可得当点E与点F重合时，的值最小，即的最小值为的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，在取点E，使，连接，过点C作于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点C，M，E三点共线时，的值最小， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当点E与点F重合时，的值最小， 即的最小值为的长， ∵， 即， 解得：，即的最小值为． 故答案为： 【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】 1.解：（1）结论：． 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）结论：．理由： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 2.解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B， ∴∠BDE＝∠FEC， 又∵BD＝CE， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3； （2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H， ∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°， ∴∠F＝∠BED， 又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC， 即BD＝CF﹣3； （3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I， ∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC， ∴∠BDE＝∠CEF， 又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3； ②若E在BC延长线上， ∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°， ∴∠BDE＝∠FEC， 又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3； 综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3． 3.解：（1）如图1， ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）． 如图2， 证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中． ． ∴， ∴， ∴； （3）证明：过E作于M，的延长线于N． ∴， 由（1）和（2）的结论可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴I是的中点． 4. 【分析】延长至点，使，先求得，进而证得，得到，结合即可求得答案． 【详解】如图所示，延长至点，使．    ∵，， ∴． ∴． ∵，是的平分线， ∴． ∴， ． ∴． 在和中 ∴．   ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】 1. 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即；   ， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：． 2. 【分析】如图，将逆时针旋转到，连接、，则，，，证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，将逆时针旋转到，连接、，    ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3. 【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为， ∵，而， ∴， ∴， 故； 又∵， 而， ∴， ∴， ∴， 而，则， ∵， ∴， 而， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 4.或 【分析】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解． 【详解】如图，过作于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 如图，过作交延长线于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 故答案为：或． 【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】 1.35° 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：． 【详解】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：， 在和中 AH平分 故答案为：． 2.（1）解：如图所示： （2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等， 故答案为：2，； （3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． 3.（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于，如图为所求图形：    （2）理由如下： 在和中， ∴． ∴，． ∴． （3）由（2）得，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴线段的长为9． 4.解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作； （2）过两点作一条直线．可以求作； （3）画一条长为3cm的线段．不可以求作； （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作； 故答案为：√，√，×，√； [回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C； （3）以点C为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′； （4）过点D画射线OB，则∠AOB＝∠AOB． 说理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD， 求证：∠AOB＝∠AOB． 证明：在△OCD和△OCD中， ∴△OCD≌△OCD（SSS）， ∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）， 故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等； [小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一）， ；   [创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏， ． 【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】 1.（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，如图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴当点，点，点共线时，最大值为，最小值为， ∴． 2.（1），， ， 平分， ， ； （2）如图1，过点作，交的延长线于， ，， 点为中点， ， ， ，， 在中，，， ， ； （3）如图2，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值， 的最大值． 3.（1）解：，理由如下： ，， ， 即； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：在上取一点，使，连接交于点， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ，， ， 即， ， ． 4.（1）解：由题意可得： ∵， ∴， 故答案为； （2），理由如下 延长到Q使，连接 ∵是的中线 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ （3），，理由如下 在下图中，延长到Q使得，连接 由（2）知， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴， 延长交于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 综上：， 学科网（北京）股份有限公司 $$