专题4.6 三角形（10大知识点5大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.6 三角形（10大知识点5大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所形成的图形。 【知识点2】三角形的内角和：三角形的内角和等于 180°。直角三角形的两个锐角互余。 【知识点3】三角形三边关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【知识点4】三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 【知识点5】三角形的中线和重心：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的中线交于一点，这个交点就叫做三角形的重心。 【知识点6】三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【知识点7】全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 【知识点8】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。 【知识点9】三角形全等的判定条件： 1. SSS：三条边分别相等的两个三角形全等。 2. ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3. AAS：两角及一邻边分别相等的两个三角形全等。 4. SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 【知识点10】利用三角形全等测距离：（1）构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等来测量距离。如果两端都可以达到，用 SAS；如果只有一端可以达到，用 AAS；如果两端都不能达到，用 SAS；（2）全等三角形的形成方式：常见的全等三角形可以通过平移、旋转、翻折形成。 考点与题型目录 【考点一】认识三角形 【题型1】构成三角形的条件......................................................2 【题型2】确定第三边的取值范围..................................................4 【题型3】等腰三角形的定义......................................................6 【题型4】三角形内角和的证明....................................................7 【题型5】三角形内角和与平行线.................................................10 【题型6】直角三角形的性质与判定...............................................13 【题型7】三角形的中线、高线和角平分线.........................................15 【考点二】全等三角形 【题型8】全等三角形的性质.....................................................17 【考点三】探索三角形全等的条件 【题型9】全等的性质和全等三角形的判定综合.....................................20 【题型10】添加辅助线证明三角形全等............................................24 【题型11】全等三角形全等几何模型..............................................28 【考点四】利用三角形全等测距离 【题型12】利用三角形全等测距离................................................31 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型13】中考链接............................................................34 【题型14】拓展延伸............................................................36 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】认识三角形 【题型1】构成三角形的条件 ★【例1】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，C是射线上一点，点B在射线上运动（点B与点A不重合），，点C到的距离为4，的长度为a ，当a满足 条件时， 唯一确定． 【答案】或 【分析】本题考查点到直线的距离，三角形的存在性的问题，解题的关键是要确定点的位置． 过点作于点，根据与和的大小判断的存在性和唯一性即可解决问题． 解：如图，过点作于点，此时是直角三角形． ①当时，不能组成三角形； ②当时，即点与点重合时，是直角三角形，唯一确定； ③当时，在上总能找到与对称的两点和，使，即此时不唯一； ④当时，在上只能找到一点，使，即此时唯一， 综上所述，当或时三角形唯一确定， 故答案为：或． 【变式1】1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（  ） A．3，2，5 B．7，3，3 C．8，10，20 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系即可得到答案． 解：，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ，不能构成三角形，故选项B不符合题意； ，不能构成三角形，故选项C不符合题意； ，能构成三角形，故选项D符合题意； 故选D． ★【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质进行求解即可． 解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【题型2】确定第三边的取值范围 ★【例2】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键； 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可求解； 解：由三角形三边关系定理得：， 则， 即； 故选：C ★【变式2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． （1）求的取值范围： （2）若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【答案】（1）；（2）22或24 【分析】本题考查了非负性的性质，以及三角形三边的关系，利用非负数的性质，求得a、b的值是解题关键． （1）由非负数的性质，可得、的值，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的最长边为，可得答案； （2）由此三角形的周长为偶数，可知为奇数，则或11，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵三角形的最长边为， ∴，即：； （2）由（1）可知，，，， 则此三角形的周长为， ∵此三角形的周长为偶数， ∴为奇数，则或11， ∴或24， ∴此三角形的周长为22或24． 【题型3】等腰三角形的定义 ★【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3或13 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解． 解：分以下三种情况： ①当， 解得， ，， 三角形的三边分别为8、8、13，， ∴此时能组成三角形； ∴底边长为13； ②， 解得， ， 三角形的三边分别为13、13、3，， ∴此时能组成三角形，底边为3； ③， 解得，舍去 综上所述，该三角形的底边等于3或13． 故答案为：3或13 【变式1】（24-25八年级上·广西钦州·期末）若a，b是等腰的两边长，且满足关系式．求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性质，等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 解：由， 得． ，． 解得，． a，b是等腰的两边长， ①若是腰长，根据题意，此三角形的三边长为2，2，4．根据三角形的三边关系，不能组成三角形； ②若是腰长，根据题意，此三角形的三边长为2，4，4．根据三角形的三边关系，能组成三角形． 则周长为． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案． 解：当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 故选D． 【题型4】三角形内角和的证明 ★【例4】（23-24七年级下·河南郑州·期末）李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【答案】作图见分析，；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角的证明，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质． 根据尺规作图—做一个角等于已知角的方法和步骤进行作图即可；根据内错角相等，两直线平行得出，进而得出，最后根据平角的定义得出，即可得出结论． 解：证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（平角的定义）， ∴（等量代换）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． ★【变式2】（22-23七年级下·山东滨州·期中）如图，直线经过点A，，，． （1）分别求、及的度数； （2）通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是吗？ 【答案】（1），，；（2） 【分析】由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， 结合可得出结论． 解：（1）解：， ； ， ； 直线过点， ， ， ； （2）， ，， ， ， 即三角形内角和为． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型5】三角形内角和与平行线 ★【例5】（2021·河北唐山·二模）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °． 【答案】54 【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角∠D，∠DCB的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的内角和求解∠DEC，从而利用平行线的性质可得答案． 解：如图，标注字母， 由题意得：ABEC，∠D=∠DCB==108°，∠ABC=90°， ∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°， ∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°， ∵ABEC， ∴∠α=∠DEC=54°． 故答案为：54． 【点拨】此题考查了平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，解题的关键是掌握利用平行线结合内角和定理进行计算． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． ★【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 解：（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . ★【题型6】直角三角形的性质与判定 【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作角平分线，作垂线，利用矩形的性质，中垂线和角平分线和三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：58． 【变式1】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． ★【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（    ） 所以，（    ） 因为， 所以（    ）． 所以____________（    ）． 【答案】垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定即可得出答案． 解：证明：因为， 所以（垂直的定义） 所以，（直角三角形的两个锐角互余） 因为， 所以（ 等角的余角相等 ） 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 【题型7】三角形角平分线、中线、高线 【例7】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，是内一点，且平分，，连接，若的面积为，那么的面积是 .    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积，解题的关键是掌握相关的知识．延长交于点，证明，得到，和是等底等高的三角形，进而得到，即可求解． 解：延长交于点，   平分，， ，， 在和中， ， ， ，， 和是等底等高的三角形， ， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义；根据三角形重心的定义，三角形的中线等分面积，得出，再根据等式的性质判断． 解：∵F是的重心， ∴ ∴， ∴； 故选：A． ★【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 【考点二】全等三角形 【题型8】全等三角形的性质 ★【例8】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． （1）若，，求的长度； （2）①求的度数；②求证：． 【答案】（1）；（2）①；②见分析 【分析】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键． （1）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出； （2）①由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出； ②由①得．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明． 解：（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）证明：①∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②． 解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，直角三角形的性质．由全等三角形的性质推出，得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型9】全等的性质和全等三角形的判定综合 ★【例9】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． （1）如图1，点是上一点，连接，若，求证：； （2）如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和中全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 解：（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ★【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． ★【变式2】（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，，高，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质；先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案． 解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型10】添加辅助线证明三角形全等 ★【例10】1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． （1）如图①，求证：； （2）在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）不成立，见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 解：（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． ★【变式1】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． ★【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 【题型11】全等三角形全等几何模型 ★【例11】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识；由，，得，因为，所以，而，即可根据“”证明，得，因为，所以，于是得到问题的答案，推导出，进而证明是解题的关键． 解：于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：A． ★【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，边上的中线的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系；延长至E，使，连接，证明，再由三角形三边不等关系即可求解．倍长中线是关键． 解：延长至E，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， 即， 故． 故答案为：． ★【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； （2）如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 解：（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【题型12】利用三角形全等测距离 ★【例12】（24-25八年级上·山东济南·期末）某数学兴趣小组设计方案测量河两岸两点间的距离．如图所示：在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且，在的延长线上取点，使得，测得，，的长度为米．请你根据以上数据求出两点间的距离，并说明理由． 【答案】米，见分析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明得出，即可推出结果． 解：，， ． ． 在与中， ， ． ． ， ． 即米． 答：两点间的距离米． 【变式1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用．由证明得出，即可推出结果． 解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南漯河·期末）跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 ． 【答案】90 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解． 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是， 故答案为：． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型13】中考链接 ★【例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B ★【例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 【题型14】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·山西长治·期末）如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； （3）过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1）见分析；（2）8；（3），证明见分析 【分析】（1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明、，因此，，所以，，即可得的长； （3）在x轴的负半轴上取，可证明、，因此，所以，即可证明所得结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：过D作于N点，如图， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 证明：同（2）可得， 在x轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，有一定难度，正确作出辅助线是解决问题的关键． ★★【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见分析；（2）成立，见分析；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 三角形（10大知识点5大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所形成的图形。 【知识点2】三角形的内角和：三角形的内角和等于 180°。直角三角形的两个锐角互余。 【知识点3】三角形三边关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【知识点4】三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 【知识点5】三角形的中线和重心：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的中线交于一点，这个交点就叫做三角形的重心。 【知识点6】三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【知识点7】全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 【知识点8】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。 【知识点9】三角形全等的判定条件： 1. SSS：三条边分别相等的两个三角形全等。 2. ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3. AAS：两角及一邻边分别相等的两个三角形全等。 4. SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 【知识点10】利用三角形全等测距离：（1）构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等来测量距离。如果两端都可以达到，用 SAS；如果只有一端可以达到，用 AAS；如果两端都不能达到，用 SAS；（2）全等三角形的形成方式：常见的全等三角形可以通过平移、旋转、翻折形成。 考点与题型目录 【考点一】认识三角形 【题型1】构成三角形的条件......................................................2 【题型2】确定第三边的取值范围..................................................3 【题型3】等腰三角形的定义......................................................3 【题型4】三角形内角和的证明....................................................4 【题型5】三角形内角和与平行线..................................................5 【题型6】直角三角形的性质与判定................................................6 【题型7】三角形的中线、高线和角平分线..........................................7 【考点二】全等三角形 【题型8】全等三角形的性质......................................................7 【考点三】探索三角形全等的条件 【题型9】全等的性质和全等三角形的判定综合......................................8 【题型10】添加辅助线证明三角形全等.............................................9 【题型11】全等三角形全等几何模型..............................................10 【考点四】利用三角形全等测距离 【题型12】利用三角形全等测距离................................................11 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型13】中考链接............................................................12 【题型14】拓展延伸............................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】认识三角形 【题型1】构成三角形的条件 ★【例1】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，C是射线上一点，点B在射线上运动（点B与点A不重合），，点C到的距离为4，的长度为a ，当a满足 条件时， 唯一确定． 【变式1】1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（  ） A．3，2，5 B．7，3，3 C．8，10，20 D．4，5，6 ★【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 【题型2】确定第三边的取值范围 ★【例2】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． （1）求的取值范围： （2）若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【题型3】等腰三角形的定义 ★【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·广西钦州·期末）若a，b是等腰的两边长，且满足关系式．求的周长． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【题型4】三角形内角和的证明 ★【例4】（23-24七年级下·河南郑州·期末）李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（22-23七年级下·山东滨州·期中）如图，直线经过点A，，，． （1）分别求、及的度数； （2）通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是吗？ 【题型5】三角形内角和与平行线 ★【例5】（2021·河北唐山·二模）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. ★【题型6】直角三角形的性质与判定 【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（    ） 所以，（    ） 因为， 所以（    ）． 所以____________（    ）． 【题型7】三角形角平分线、中线、高线 【例7】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，是内一点，且平分，，连接，若的面积为，那么的面积是 .    【变式1】（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 ★【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【考点二】全等三角形 【题型8】全等三角形的性质 ★【例8】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． （1）若，，求的长度； （2）①求的度数；②求证：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【题型9】全等的性质和全等三角形的判定综合 ★【例9】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． （1）如图1，点是上一点，连接，若，求证：； （2）如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． ★【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． ★【变式2】（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，，高，交于点．若，，则 ． 【题型10】添加辅助线证明三角形全等 ★【例10】1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． （1）如图①，求证：； （2）在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． ★【变式1】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． ★【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型11】全等三角形全等几何模型 ★【例11】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 ★【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，边上的中线的范围为 ． ★【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； （2）如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【题型12】利用三角形全等测距离 ★【例12】（24-25八年级上·山东济南·期末）某数学兴趣小组设计方案测量河两岸两点间的距离．如图所示：在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且，在的延长线上取点，使得，测得，，的长度为米．请你根据以上数据求出两点间的距离，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南漯河·期末）跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 ． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型13】中考链接 ★【例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 ★【例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【题型14】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·山西长治·期末）如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； （3）过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． ★★【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$